专题2.2 图形规律问题（压轴题专项讲练）2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）（解析版）

第第页专题2.2图形规律问题【典例1】国庆节期间，人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，…，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：（1）第10层有个盆栽，前5层共有个盆栽；（2）观察图计算1+3+5+7+⋯+17=；（3）拓展应用：求51+53+55+⋯+2023的值．【思路点拨】（1）后面一层比前面一层多2个盆栽，结合图形，根据规律可求出其值；（2）图形刚好构成正方形的面积，求面积即可；（3）先算出1+3+5+…+49+51+…+2023的和，1+3+5+…+49的和，再求它们的差即可．【解题过程】（1）解：根据题意可得，2×(10−1)+1=19，∴第10层有19个盆栽，5×5=25，∴前5层共有25个盆栽，故答案为：19；25．（2）解：观察图形可得，第9层盆栽数量为：2×9−1=17，∴1+3+5+7+⋯+17=9故答案为：81．（3）解：根据题意可得，第1012层盆栽数量为：2×1012−1=2023，∴1+3+5+⋯+49+51+53+55+⋯+2023=1012第25层盆栽数量为：2×25−1=49，∴1+3+5+⋯+49=25∴51+53+55+⋯+2023=(1+3+5+⋯+51+53+55+⋯2023)−(1+3+5+⋯+49)，=1012∴51+53+55+⋯+2023的值为1023519．1．（2022秋·江苏·七年级期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是（）A．38 B．46 C．61 D．64【思路点拨】根据第1个图中点的个数是4＝1+32×1×2，第2个图中点的个数是10＝1+32×2×3，第3个图中点的个数是19＝1+32【解题过程】解：∵第1个图中点的个数是4＝1+32第2个图中点的个数是10＝1+32第3个图中点的个数是19＝1+32…，∴第n个图中点的个数是1+32∴第6个图中点的个数是：1+32故选：D．2．（2022秋·浙江·七年级阶段练习）如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上；先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．若数轴绕过圆周99圈后，数轴上的一个整数点刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是（）A．297 B．298 C．299 D．300【思路点拨】根据题意先找出正半轴上的整数与圆周上的数字建立的对应关系，找出规律进行解答即可．【解题过程】解：∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上数字0、1、2与正半轴上的整数每3个一组0、1、2，3、4、5，6、7、8，…分别对应，∴数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是3n+1．当n＝99时，3×99+1＝298．故选：B．3．（2023春·全国·七年级开学考试）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知第506个正方形的左上角标的数是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【思路点拨】观察图形可知每个正方形上标4个数，则有506×4=2024，即第506个正方形左下角的数是2024，从而可求第506个正方形左上角的数．【解题过程】解：由题意可知每个正方形上标4个数，且所有图形标注的数字都是从右下角开始，沿逆时针依次标注四个连续的且依次增大的正整数，且第一个图形右下角是从1开始标注，∴第506个正方形标注的最大数字是：506×4=2024，即第506个正方形的左下角的数是2024，∴第506个正方形左上角的数是2024−1=2023．故选：D．4．（2022秋·湖南·七年级期末）如图是由边长为1的木条组成的几何图案，观察图形规律，第一个图案由1个正方形组成，共用的木条根数S1＝4，第二个图案由4个正方形组成，共用的木条根数S2＝12，第三个图案由9个正方形组成，共用的木条根数S3＝24，以此类推…那么第100个图案共用的木条根数S100为（）A．19600 B．20400 C．20200 D．20000【思路点拨】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn＝4n＋2n×（n−1），得出结论即可．【解题过程】解：观察图形可知：第1个图案由1和小正方形组成，共用的木条根数S1＝4×1，即S1＝4×1＋2×1×（1−1）；第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数S2＝4×2＋2×2；即S1＝4×2＋2×2×（2−1）；第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数S3＝4×3＋2×3；即S1＝4×3＋2×3×（3−1）；第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数S4＝4×4＋2×4；即S1＝4×4＋2×4×（4−1）；…由此发现规律是：第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数Sn＝4n＋2n×（n−1），当n＝100时，S100＝4×100＋200×（100−1）＝20200，故选：C．5．（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行．若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（）上．A．CD B．AD C．AB D．BC【思路点拨】根据甲、乙运动方向结合速度间的关系即可得出甲、乙第1次相遇在边CD上，甲、乙第2次相遇在边AD上，甲、乙第3次相遇在边AB上，甲、乙第4次相遇在边BC上，甲、乙第5次相遇在边CD上，…，甲、乙相遇位置每四次一循环，再根据2022=505×4+【解题过程】解：∵甲的速度是乙的速度的3倍，∴甲、乙第1次相遇时，乙走了正方形周长的12∴甲、乙第1次相遇在边CD上，∵甲的速度是乙的速度的3倍，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，∴甲、乙第2次相遇在边AD上，甲、乙第3次相遇在边AB上，甲、乙第4次相遇在边BC上，甲、乙第5次相遇在边CD上，…，∴甲、乙相遇位置每四次一循环，∵2022=∴甲、乙第2022次相遇在边AD上．故选：B．6．（2022秋·湖南娄底·七年级统考期中）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第42个图中小圆点的个数为．【思路点拨】观察图形的变化并寻找规律，最后按规律解答即可．【解题过程】解：观察图形可知：第1个图中小圆点的个数为1个，即1＝0+12；第2个图中小圆点的个数为5个，即5＝1+22；第3个图中小圆点的个数为11个，即11＝2+32；第4个图中小圆点的个数为19个，即19＝3+42；…第n个图中小圆点的个数为（n﹣1）+n2；所以第42个图中小圆点的个数为41+422＝1805．故答案为1805．7．（2023秋·全国·七年级课堂例题）观察并找出如图图形变化的规律，则第2025个图形中黑色正方形的数量是个．【思路点拨】仔细观察图形可知：当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为3n2个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为3n+1【解题过程】解：第1个图形中有3×1+12=2个黑色正方形，第2个图形中有第3个图形中有3×3+12=5个黑色正方形，第4个图形中有第5个图形中有3×5+12∴当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为3n2个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为3n+1∴当n=2025时，黑色正方形的个数为3×2025+12故答案为：3038．8．（2022秋·浙江杭州·七年级期末）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，……，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an(n≥3)，当1a3+【思路点拨】结合图形观察数字，发现：a3=12=3×4，a4=20=4×5，a5【解题过程】解：结合图形观察数字，发现：a3=12=3×4，a4=20=4×5，a5∴1==1解得n=673，故答案为：673．9．（2022秋·全国·七年级期中）正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为．【思路点拨】根据图形可得每行的第一列的数是行数的平方，每行横向箭头数字个数等于行数，因此，第29行第30列的数字应该为第30行第30列上面的数字，列式计算即可.【解题过程】解：根据图表分析如下：第一行：首个数字1，横向箭头共有1个数字，第二行：首个数字4，横向箭头共有2个数字，第三行：首个数字9，横向箭头共有3个数字，第四行：首个数字16，横向箭头共有4个数字，可以发现每行首个数字是行数的平方，每行横向箭头数字个数等于行数，因此，第29行第30列的数字应该为第30行第30列上面的数字，302﹣30＝870．故答案为：870．10．（2023·全国·七年级假期作业）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）图5有多少颗黑色棋子？（2）若第n+2个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值．【思路点拨】（1）按规律数黑色棋子的个数，找到规律，代入求解即可；（2）根据（1）中的规律，列方程求解即可．【解题过程】（1）解：图1中有1个黑色棋子；图2中有1+2+1=4图3中有1+2+3+2=8图4中有1+2+3+4+3=13图5中有1+2+3+4+5+4=19∴图5有19颗黑色棋子；（2）解：由（1）得：第n+2个图形比第n个图形中多n+3+∴2n+5=2021，解得：n=1008，所以n是值为：1008．11．（2022秋·安徽合肥·七年级校联考期中）下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的．（1）根据规律，第4个图中共有___________个小正方形，其中灰色小正方形共有___________个．（2）第n个图形中，白色小正方形共有___________个．（用含n的式子表示，n为正整数）（3）白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个吗？如果可能，求出n的值；如果不可能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据前三个图观察规律解答即可；（2）根据（1）中规律解答即可；（3）根据题意列方程求解即可．【解题过程】（1）解：∵第1个图共有小正方形：3×4=2×1+1×4=12个，其中灰色小正方形有：第2个图共有小正方形：5×4=2×2+1×4=20个，其中灰色小正方形有：第3个图共有小正方形：7×4=2×3+1×4=28个，其中灰色小正方形有：第4个图共有小正方形：9×4=2×4+1×4=36个，其中灰色小正方形有：故答案为：36；8．（2）解：由（1）可知，第n个图形中，小正方形共有：2×n+1×4=8n+4个，其中灰色小正方形有：∴白色小正方形共有：8n+4−2n=6n+4故答案为：6n+4．（3）解：白色小正方形可能比灰色小正方形正好多2024个．设第n个图形中，白色小正方形比灰色小正方形正好多2024个，由题意得6n+4−2n=2024，解得n=505，所以第505个图形中，白色小正方形比灰色小正方形正好多2024个．12．（2023秋·安徽六安·七年级统考期末）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形12345…火柴棒根数5913…（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要根火柴棒．（用含n的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．【思路点拨】（1）由图可以看出，图1火柴棒根数为5，图2火柴棒根数为5+4，图3火柴棒根数为5+4+4⋅⋅⋅⋅⋅，由此可以得出图4，图5中火柴棒根数；（2）根据图示规律可得，第n个图形需要5+4(n−1)，即(4n+1)根火柴棒；（3）用4n+1=200求解，可得n=1994，因为【解题过程】（1）解：由图可以看出，图1中火柴棒根数为：5；图2中火柴棒根数为：5+4=9；图3中火柴棒根数为：5+4+4=13；图4中火柴棒根数为：5+4+4+4=17；图5中火柴棒根数为：5+4+4+4+4=21．故答案为：17；21．（2）解：根据（1）中的规律可得，第n个图形中火柴棒根数为：5+4(n−1)=4n+1，故答案为：(4n+1)；（3）解：不可能，理由如下：设第n个图形用了200根火柴棒，其中n为正整数，则4n+1=200，解得n=199故不可能用了200根火柴棒按这种方式搭出来的一个图形．13．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推……（1）第5个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．（2）第n个图案中正方形有______个，等边三角形有______个．（3）若此类图案中有2023个等边三角形，该图案中正方形有多少个？【思路点拨】（1）观察第1个图案可知：中间的一个正方形对应4个等边三角形，第2个图案可知增加一个正方形，变成了7个等边三角形，增加了3个等边三角形，•••，依次计算可解答；（2）观察第1个图案，有1个等边三角形；第2个图案，有3+4个等边三角形；•••，依次计算可解答；（3）根据等边三角形的个数求出图形的个数，即可确定正方形的个数．【解题过程】（1）解：观察第1和2个图案可知：图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加3个，∴第5个图案中正方形有5个，等边三角形有4+3+3+3+3=16(个)．故答案为：5，16；（2）解：第1个图案：正方形有1个，等边三角形有：4(个)，第2个图案：正方形有2个，等边三角形有：4+3=7(个)，第3个图案：正方形有3个，等边三角形有：4+2×3=10(个)，第4个图案：正方形有4个，等边三角形有：4+3×3=13(个)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n个图案：正方形有n个，等边三角形有：4+3(n−1)=(3n+1)个，故答案为：n，3n+1；（3）解：∵3n+1=2023，解得：n=674，∴按此规律镶嵌图案，该图案中正方形有674个．14．（2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）下列图形是由边长为1的小正方形按照一定的规律组成的．观察图形．回答下列问题：（1）按上述规律排列，第⑤幅图中，图形的周长为______﹔（2）按上述规律排列，第n幅图中．图形的周长为______；（3）按上述规律排列，是否存在第n幅图形的周长为60，请说明理由．【思路点拨】（1）第1幅图形的周长为：3×2+4=10，第2幅图形的周长为：5×2+4=14，第3幅图形的周长为：7×2+4=18，第4幅图形的周长为：9×2+4=22所以第5幅图形的周长为：11×2+4=26；（2）由以上规律可得第n幅图形的周长为∶22n+1（3）先假设存在求出n的值后即可判断．【解题过程】（1）∵第1幅图形的周长为：3×2+4=10，第2幅图形的周长为：5×2+4=14，第3幅图形的周长为：7×2+4=18，第4幅图形的周长为：9×2+4=22∴第5幅图形的周长为：11×2+4=26；故答案为26；（2）由（1）的求解可得第n幅图形的周长为∶22n+1+4故答案为4n+6；（3）不存在，若某幅图形的周长为60，则：4n+6=60．解得n=27因为n为正整数，所以n=2715．（2023春·四川成都·七年级成都外国语学校校考开学考试）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）有4张桌子，用第一种摆设方式，可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？（2）用含有n的代数式表示：有n张桌子，用第一种摆设方式可坐多少人？用第二种摆设方式，可坐多少人？（3）一天中午，餐厅要接待80位顾客共同就餐，但餐厅只有20张这样的桌子可用，且每4张拼成一张大桌子．若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，并说明理由．【思路点拨】（1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；（2）旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题；（3）结合（2）中的结论，进行分析即可．【解题过程】（1）有4张桌子，用第一种摆设方式，可以坐的人数为：4×4+2=18；用第二种摆设方式，可以坐的人数为：4×2+4=12；答：用第一种摆设方式，可坐18人；用第二种摆设方式，可坐12人；（2）第一种：1张桌子可坐的人数为：2+4；2张桌子可坐人数为：2+2×4；3张桌子可坐人数为：2+3×4；故当有n张桌子时，能坐的人数为：2+n×4=(4n+2)人；第二种：1张桌子能坐的人数为：4+2；2张桌子能坐的人数为：4+2×2；3张桌子能坐的人数为：4+3×2；故当有n张桌子时，能坐的人数为：4+n×2=(2n+4)人；（3）选择第一种方式来摆餐桌．理由如下：第一种方式：4张桌子拼在一起可坐18人，20张桌子可拼成5张大桌子，共可坐：18×5=90（人)．第二种方式：4张桌子拼在一起可坐12人．20张桌子可拼成5张大桌子，共可坐：12×5=60（人)．∵90>80>60，∴选择第一种方式来摆餐桌．16．（2023·全国·七年级假期作业）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1

（1）2节链条的总长度为______cm；3节链条的总长度为______cm；4节链条的总长度为______cm；（2）根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）（3）一根链条的总长度能否为73cm【思路点拨】（1）结合图形计算即可；（2）根据（1）中规律求解即可；（3）利用（2）中结论列方程求解即可．【解题过程】（1）解：由题意得：1节链条的长度=2.8cm2节链条的总长度=[2.8+(2.8−1)]=4.6cm3节链条的总长度=[2.8+(2.8−1)×2]=6.4cm4节链条的总长度=[2.8+(2.8−1)×3]=8.2cm故答案为：4.6；6.4；8.2；（2）根据（1）可得，n节链条的总长度为2.8+2.8−1（3）一根链条的总长度可以为73cm设该链条由x节组成，根据题意得1.8x+1=73，解得x=40，∴总长度为73cm17．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）有一列数1、3、5、7……有无数项（无数个数），请观察其规律后写出其中第20项（从左往右数第20个数）是，第n项是；（2）二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式．请观察下图，用二算法推导出1＋3、1＋3＋5、1＋3＋5＋7的计算结果，猜测1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）的计算结果；（3）由（2）推导出2＋4＋6＋……＋2n的结果．【思路点拨】（1）由所给的数字可得第n个数为2n﹣1，据此解答即可；（2）对所给的图形进行分析，总结出规律即可；（3）利用（2）的方式进行求解即可．【解题过程】解：（1）∵一列数1、3、5、7…，∴第n个数为：2n﹣1，∴第20个数为：2×20﹣1＝39，故答案为：39，2n﹣1；（2）第（2）图中，分层小正方形的个数是（1+3）个，而整体计算小正方形的个数是22，所以，1+3＝22；第（3）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5）个，而整体计算小正方形的个数是32，所以，1+3+5＝32；第（4）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5+7）个，而整体计算小正方形的个数是42，所以，1+3+5+7＝42；猜测1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2；（3）2+4+6+8+…+2n＝1+1+3+1+5+1+7+1+…+（2n﹣1）+1＝1+3+5+7+…+（2n﹣1）+n＝n2+n．18．（2022秋·广西北海·七年级统考期中）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：（1）当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；（2）以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；（3）【规律总结】若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含n的代数式表示）．（4）【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？【思路点拨】（1）根据图形进行求解即可；（2）观察图形1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案；（3）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3＋2×1＋1＝4＋2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3＋2×2＋1＝4＋2×2；图n：4＋2n（即2n＋4）；（4）根据现有2022块等腰直角三角形地砖，可得：2n＋4＝2022，即可求得答案．【解题过程】（1）解：由图形3可知，等腰直角三角形地砖有8块，故答案为：8；（2）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；故答案为：2；（3）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3＋2×1＋1＝4＋2×1，图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3＋2×2＋1＝4＋2×2，归纳得：4＋2n（即2n＋4），∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（2n＋4）块，故答案为：2n＋（4）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n＋4，是偶数，由题意得：2n＋4＝2022，解得：n＝1009，∴这条人行道正方形地砖有1009块．19．（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）用火柴棒按图中的方式搭图形：（1）按图示规律填空：图形编号①②③④⑤火柴棒根数712_________________________________（2）按照这种方式搭下去，请写出搭第n个图形需要的火柴根数；（3）小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用2022根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？【思路点拨】（1）由已知图形中火柴棒的根数是序数的5倍与（2（3）先根据使用2022根火柴搭图形得出图形序号，再利用图n中正方形的个数为【解题过程】（1）解：图①中火柴棒的根数7=2+5×1，图②中火柴棒的根数12=2+5×2，图③中火柴棒的根数2+5×3=17，图④中火柴棒的根数2+5×4=22，图⑤中火柴棒的根数2+5×5=27，故答案为：17；22；27（2）解：由（1）中的规律可得，搭第n个图形需要的火柴根数为：2+5n（3）解：根据题意，得：2+5n=2022，解得：n=404，∵图①中正方形的个数2=2+3×1−1图②中正方形的个数5=2+3×2−1图③中正方形的个数8=2+3×3−1图④中正方形的个数11=2+3×4−1图⑤中正方形的个数14=2+3×5−1⋯⋯以此可得，图n中正方形的个数2+3n−1∴第404个图形中，正方形的个数为3×404−1=1211（个）．20．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）现有一个长方形ABCD的宽为1，长为aa>1的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应a的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应a【思路点拨】a有四个值：当a=4时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1；当a=52时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为12，余下的正方形边长为12；当a=53时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为23，第三个正方形边长为13，余下的正方形边长为【解题过程】解：①如图，a=1+1+1+1=4；②如图，a=1+1+1③如图，a=1+1④如图，a=1+121．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼