高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第32讲 第四章 指数函数与对数函数 章末重点题型大总结（学生版）

第10讲第四章指数函数与对数函数章末题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01有关指数、对数的运算【典例1】（2023春·四川雅安·高二统考期末）计算：(1)；(2).【典例2】（2022秋·四川成都·高一石室中学校考期中）求下列各式的值：(1)计算：；(2)若，求的值．【变式1】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）（1）已知，求实数的值；（2）【变式2】（2023·全国·高三专题练习）计算(1).(2).题型02数的大小比较问题【典例1】（2023春·贵州六盘水·高一统考期末）设，，，则，，的大小关系（

）A． B．C． D．【典例2】（2021秋·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）设，，，则（

）A． B．C． D．【变式1】（2023春·广西北海·高二统考期末）设，则（

）A． B．C． D．【变式2】（2023春·河南安阳·高二统考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．题型03定义域问题【典例1】（云南省红河哈尼族彝族自治州2022-2023学年高一下学期期末学业质量监测数学试题）函数的定义域为（

）．A． B．C． D．【典例2】（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是.【变式1】（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考期末）函数的定义域为.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数m的取值范围是．题型04值域问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为．【典例2】（2023春·陕西榆林·高一统考期末）已知函数，.(1)判断函数的奇偶性并予以证明；(2)若存在使得不等式成立，求实数的最大值.【典例3】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知函数，且．(1)求实数a的值，并用单调性定义证明在上单调递增；(2)若当时，函数的最大值为，求实数m的值．【典例4】（2023春·河南焦作·高一统考期末）已知函数，．(1)若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；(2)若a＞1，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是.【变式2】（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数.(1)当时，求的解集；(2)求函数在区间上的最小值.【变式3】（2023春·河南新乡·高一统考期末）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【变式4】（2023春·新疆昌吉·高二统考期末）已知（实数b为常数）．(1)当时，求函数的定义域D；(2)若不等式当时恒成立，求实数b的取值范围．题型05指数（型）函数的图象与性质【典例1】（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数,若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数.(1)试判断函数的单调性，并加以证明；(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.【典例3】（2023春·福建·高二统考学业考试）函数，.(1)求函数的定义域；(2)若为奇函数，求m的值；(3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围.【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．【变式2】（2023春·湖北荆州·高一校联考期中）已知函数，且，当的定义域是时，此时值域也是.(1)求的值；(2)若，证明为奇函数，并求不等式的解集.【变式3】（2023春·江苏南京·高二统考期末）已知函数.(1)当时，解不等式；(2)当对恒成立时，求整数的最小值.题型06对数（型）函数的图象与性质【典例1】（2023春·湖北荆门·高二统考期末）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是．【典例3】（2023春·浙江丽水·高二统考期末）已知函数是偶函数．(1)若，求的值；(2)若实数满足，求的取值范围．【典例4】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数为奇函数.(1)求实数的值，判断函数的单调性并用定义证明；(2)求关于的不等式的解集.【变式1】（2023春·广西北海·高二统考期末）设，若，则的最大值为.【变式2】（2023春·山东日照·高二统考期末）已知函数是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程有解，求实数m的取值范围．【变式3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数为定义在上的偶函数，当时，的图象过点．(1)求a的值：(2)求的解析式；(3)求不等式的解集．题型07函数与方程【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知函数，则函数的零点的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（多选）（2023春·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）已知函数，若函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是（

）A．m的取值范围为 B．的取值范围为C． D．最大值为1【典例3】（2023春·山东烟台·高二统考期末）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．【变式1】（多选）（2023春·山东德州·高二统考期末）已知函数，，下列说法正确的是（

）A．若是偶函数，则B．的单调减区间是C．的值域是D．当时，函数有两个零点【变式2】（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数满足，当时，.函数(且)，若函数在区间上恰有20个零点，则实数的取值范围为.【变式3】（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知函数.(1)若函数，，求函数的最小值；(2)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.题型08函数模型及其应用【典例1】（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户，如果教师用户人数与天数t之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布的时间，则教师用户超过30000名至少经过的天数为（

）（参考数据：）A．11 B．12 C．13 D．14【典例2】（2023·全国·高一假期作业）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现，当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为51200，则当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（

）A．400 B．800 C．1600 D．3200【典例3】（2023·全国·高三专题练习）科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量（单位：克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：（单位：克）02610…－488…已知当时，，其中为常数．当时，和的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②且；③且；其中均为常数．(1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式；(2)求该新材料的含量为多少克时，产品的性能达到最大．【典例4】（2023秋·广东清远·高一统考期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.2353.54.55.5(1)当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式.(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：）(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.【变式1】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（

）（参考数据：取）A．9 B．10 C．11 D．12【变式2】（2023·全国·高三对口高考）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（

）1.953.003.945.106.120.971.591.982.352.61A． B． C． D．【变式3】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时，）的一些数据如表．为了描述汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米时）的关系，现有三种函数模型供选择：，，．040608008.418.632.8(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过米，求行驶的最大速度．三、数学思想01数形结合的思想1．（2023春·广东广州·高一校联考期末）已知是定义上的奇函数，且在上单调递减，且为偶函数，若在上恰好有4个不同实数根，则．2．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）定义在R上的函数满足，，当时，，则函数有个零点．02分类讨论的思想1．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）已知函数（，且）是指数函数．(1)求，的值；(2)求解不等式．2．（2023秋·高一单元测试）已知函数（且）．(1)求函数的定义域．(2)判断函数的奇偶性并给出证明．(3)求使成立的x的取值范围．03换元的思想1．（2023春·湖北·高二统考期末）已知函数，记函数.(1)若成立的必要条件为，则实数的取值范围；(2)若，且，求的取值范围.2．（2023