特训05压轴题题型01用导数解决恒成立问题（解析版）

特训05压轴题题型01用导数解决恒成立问题一、解答题1．已知函数且为常数）.(1)当，求函数的最小值；(2)若函数有2个极值点，求的取值范围；(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值；（2）首先求函数的导数，再设函数，利用导数分析函数的图像，转化为直线与的图像有2个交点，即可求得的取值范围；（3）首先不等式转化为对任意的恒成立，再构造函数，利用二次导数，结合零点存在性定理，分析函数的单调性，求得函数的最小值，即可求的取值范围.【解析】（1）当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得最小值；（2）函数的定义域为，，设，，由，得，列表如下：减极小值增当时，，当时，，做出函数与的图像，如下图，当时，直线与的图像有2个交点，设这两个交点的横坐标分别为，且，有图可知，当或时，，当时，，此时函数有2个极值点，所以的取值范围是；（3）不等式对任意的恒成立，等价于对任意的

恒成立，所以对任意的恒成立，令，其中，则，令，其中，则，对任意的恒成立，所以在上单调递增，因为，，故存在，使得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，因为，则，因为，则，因为函数在上单调递增，由可得，故，可得，所以，故.2．己知函数．(1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；(2)设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围；(3)对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用导数的几何意义求过点的直线方程，结合直线过，即可求得的值；（2）由函数在区间上单调递减，可知其导数恒成立，分离参数，求解函数的最大值即可；（3）依题意可知有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可将问题转化为恒成立问题，进而利用导数求的最大值即可.【解析】（1）由得,所以过点切线的斜率为,因为切线过点,所以,解得：.（2）由得，依题意对区间上的任意实数恒成立，即对区间上的任意实数恒成立，易得在区间单调递减，在上单调递增，，，所以在上的最大值为，所以，实数a的取值范围为（3）依题意：在上有两个不同的根，即在上有两个不同的根,所以，可得，由于不等式，可得又.令,所以，又,所以，即在区间上严格递减，所以,所以.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．已知函数，，其中为自然对数的底数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)令，求证：对，有成立；(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）利用导数求函数的最小值，利用基本不等式求的最大值，由此证明；（3）由已知可得在上恒成立，设，则在上恒成立，利用导数求函数的最大值，可求的取值范围．【解析】（1）因为，所以，所以，，所以曲线在点处的切线的斜率为2，故切线方程为，即；（2）因为，当时，，故在上单调递增，所以，又，因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，即当时，，由于的最小值等于的最大值，且不是在同一点取得，故有成立（3）由不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，得在上恒成立，令，由(2)在上单调递增，所以，则在上恒成立，在上恒成立，令，则在递减，所以实数的取值范围是【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立⇔；(2)恒成立⇔.4．已知函数(1)求的最小值；(2)函数的图象是一条连续不断的曲线，记该曲线与轴围成图形的面积为，证明：；(3)若对于任意恒成立，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，利用导函数的正负确定单调性，进而可求最值，（2）通过单调性和最值可知当时，，进而可证明围成的面积在梯形内部，进而可求解，（3）对式子进行变形为，构造函数利用单调性将其转化为只需要即可求解.（1）当时，由题知：当时，在上单调递减当时，在上单调递增.所以当，又因为所以最小值为.（2）因为，由（1）知：当时，.因为，所以在点处的切线方程为令，则所以在上单调递减，所以.所以曲线在轴､轴､和之间设原点为轴与交点为和的交点为，点为，所以曲线在梯形内部所以.（3）因为，所以所以①当时，因为，所以，所以②当时，令则在时恒成立所以在时单调递增由题知：所以.所以由（1）知：所以【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求解不含参的最值问题比较常规，处理起来也比较容易，对于含参问题，利用导数求解时，往往需要合理变形，然后根据式子特征构造函数，利用导数求解构造的函数的单调性.5．已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若存在时，使成立，求的取值范围.(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)函数有极小值，无极大值；(2)；(3).【分析】（1）由题可得，然后根据导数与函数极值的关系即得；（2）由题可得存在，成立，构造函数，利用导数求函数的最值即得；（3）设，由题可得对任意恒成立，利用导数可得，进而可得只需在上单调递增，即在上恒成立，即得.（1）因为，∴，由，可得，由，可得，∴在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，函数有极小值，无极大值；（2）由，可得，即存在，成立，设，则，所以函数在上单调递增，，所以；（3）由题可知对任意恒成立，即对任意恒成立，设，则对任意恒成立，下面证明对任意恒成立，设，，则在上恒成立，且仅在时取等号，所以在上单调递减，∴，即，所以对任意恒成立，只需在上单调递增，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以，即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.6．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)设，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为(2)【分析】（1）用导数法求单调区间即可；（2）等价于，根据不等式的特征，结合导数法分别讨论、、时的恒成立问题即可（1）当时，，定义域为，，当；当.故单调增区间为，单调减区间为（2）等价于，令，，则，i.当时，对于不等式，∵，故不等式恒成立；ii.当时，，故，不等式恒成立；单调递减；单调递增，要使不等式成立，只需，解得，iii.当时，，，故，不等式恒成立；，单调递减；，单调递增，要使不等式成立，只需即，解得，综上，【点睛】本题考查含参不等式恒成立问题，解题关键是分离常量，构造函数讨论.本题中等价于，恒成立，故关键是对式子的分析，可看作二次函数，则通过作为依据对a分类讨论，最后结合导数法讨论各分类的恒成立情况即可.7．已知函数．(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值；(2)当时，，且，求证．(3)若，对任意，，不等式恒成立，求的取值范围；【答案】(1)(2)证明见解析；(3)【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义列出相应方程，求得；（2）时求导数，判断的单调性，不妨设，则要证明，即证，，即证，结合，即只需证明，从而令，求其导数，判断单调性，即可证明结论；（3）利用导数判断函数单调性，从而将可化为，构造函数，判断其单调性，可得在上恒成立，分离参数，求函数最值，即可求得答案.（1）,∵曲线在处的切线的方程为，所以，∴；（2）当时，，则，当时，，递减，当时，，递增，由于，且，故不妨设，则要证明，即证，而，当时，递增，故即证，由于，即只需证明，令，则，当时，，即单调递减，故，即时，，即有，故原命题成立，即；（3）因为，，所以，故函数在上单调递增，不妨设，则可化为，设，则，所以为上的增函数，即在上恒成立，等价于在上恒成立，即在上恒成立，又，所以，所以，对于函数，，当时，，故在上是增函数，所以，所以，即m的取值范围为.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用以及不等式的证明和根据不等式恒成立求参数的范围问题，综合性较强，计算量较大，解答时要注意能熟练应用导数的相关知识，比如利用导数解决切线问题和判断函数单调性以及最值问题，解答的关键是将不等式恒成立求参数范围转化为构造函数，利用函数的最值问题加以解决.8．已知函数．(1)从下列条件中选择一个作为已知条件，求的单调区间；①在处的切线与直线垂直；②的图象与直线交点的纵坐标为．(2)若存在极值，证明：当时，．【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为；(2)详见解析.【分析】（1）由题可得，结合条件可得，进而可得，然后利用导数与单调性的关系即得；（2）令，分类讨论利用导数研究函数的性质可得，当时，存在极值，进而利用导数求的极小值，结合条件即证.（1）∵，定义域为，∴，选①，由在处的切线与直线垂直，∴，故，所以，由，可得，所以当时，，当时，，故函数的单调减区间为，单调增区间为；选②，，令，可得，即，所以，由，可得，所以当时，，当时，，故函数的单调减区间为，单调增区间为；（2）由上可知，令，则，由，可得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，，函数单调递增，没有极值，当时，，且，因为，故有唯一的零点，且，由可得，即，当时，，，当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，，所以，即.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.9．已知函数，且.(1)求实数a的值；(2)求证：存在唯一的极小值点，且；(3)设，.对，恒成立，求实数b的取值范围.（参考结论：，）【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由，得到，令，求得，根据，求得，进而确定的值；（2）求得，令，得到，求得函数的单调性，结合零点的存在定理，得到，使得，得到的单调性，得到存在唯一极小值点，设，利用导数求得的单调性，结合单调性，即可作出证明.（3）转化为恒成立，当时，得到，令，求得，令，求得，构造新函数，利用导数求得函数的单调性，结合结论，即可求解.(1)解：由题意，函数，可得其定义域为，因为，且，可得，且时函数的一个极值点，令，可得，因为，且，可得，解得，当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，符合题意.所以实数的值为.(2)证明：由函数，可得，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，，，所以，使得，当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增，所以存在唯一极小值点.因为，所以，又因为，所以设，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，因为，所以，综上可得：.(3)解：对，恒成立，即恒成立，即不等式恒成立.当时，不等式对任意实数b都成立；当时，，所以，令，可得，令，则，令，则，所以在上单调递减，所以，所以，单调递减，所以，所以，单调递减，又由当时，，所以，所以，即实数的取值范围是.10．已知函数.(1)若，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；(2)若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求函数的导数，再求出曲线在点（1，f（1））处的切线斜率，可得答案；（2）将关于x的不等式进行分离参数，构造新函数，从而将不等式在上恒成立转化为函数的最值问题求解,然后利用导数，求解新函数的最值，可得答案.(1)依题意，故,故,而，故所求切线方程为.(2)依题意，令,则令则当时，则在上单调弹增，因为，,所以存在，则，则，故,令，，则,所以在上单调递增，则,因为当时，，当时，,即函数在上单调递减，在上单调通增，所以,故a的取值范围为.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，考查数学运算，逻辑推理的核心素养,解答的关键在于能对函数式进行合理的变形，从而构造新函数，确定最值问题，从而最终解决问题.11．已知函数，x∈[0，π]．(1)求f(x)的最大值，并证明：；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；证明见解析(2)[，＋）【分析】（1）构造新函数去证明一个较为复杂的不等式是一个快捷方法；（2）构造新函数去证明不等式，并不重不漏地进行分类讨论是本小题亮点.(1)∵，x∈[0，π]，∴，∴f(x)在[0，π]上单调递减，∴．

要证，只要证，即证＞f(x)，令g(x)＝，x∈[0，π]，则g′(x)＝，故g(x)在（0，2）上单调递减；g(x)在（2，π）上单调递增，所以g(x)≥g(2)＝-，又f(x)≤-，且等号不同时取到，所以(2)f(x)＋2ax3＋≥0，等价于xcosx－sinx＋2ax3≥0，令h(x)＝xcosx－sinx＋2ax3，x∈[0，π]，则h′(x)＝－xsinx＋6ax2＝x（6ax－sinx），令，则，①当a≤－时，，∴在[0，π]上递减，∴，∴h′(x)≤0，∴h(x)在[0，π]上递减，∴h(x)≤h（0）＝0，∴不合题意．②当a≥时，，∴在[0，π]上递增，∴∴h′(x)≥0，∴h(x)在[0，π]上递增，∴h(x)≥h（0）＝0，∴符合题意．③当－＜a＜时，因为，，且在[0，π]上递增，∴∈[0，π]，使得，∴当x∈（0，x0）时，，此时在（0，x0）上递减，∴，∴h′(x)＜0，∴h(x)在（0，x0）上递减，∴h(x)＜h（0）＝0，∴不合题意．综上得：a∈[，＋）．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．12．已知函数的图象在点处的切线为.(1)求；(2)求证：；(3)已知，若对恒成立，求正实数的取值范围.【答案】(1)；(2)证明见详解；(3)【分析】（1）求出导数，由可求解.（2）分与两种情况求的最大值可得证.（3）由可变形为，由可得到，再利用（2）结论求解即可.(1)由题意得：，故(2)由（1）知：令当时，当，因为，，，所以当，因为，，，所以所以在区间上单调递减又因为当，因为，所以在上单调递增，当，因为，所以在上单调递减，所以当时，当，因为，，，所以当，因为，，，所以所以在区间上单调递减又因为，所以有唯一的零点当，因为，所以所以在上单调递增，当，因为，所以在上单调递减，所以又因为所以因为，，所以所以当时，综上知，当时，(3)因为，所以即因为所以由（2）知，当时，因为所以当时，若，则，不合题意综上，13．已知函数，（）.(1)求函数在点（e，e）处的切线方程；(2)已知，求函数极值点的个数；(3)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，从而可得切线方程；（2）求出导函数，对的中部分函数求导，确定其最小值，单调性，从而确定其变号零点个数，得的变号零点个数，得极值点个数；（3）不等式恒成立，变形为.引入，由其恒成立的必要条件得，然后利用导数证明时，恒成立，即得结论．（1）由已知，所以，所以，切线斜率，所以函数在，点处的切线方程为，即.（2），令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，由得，所以当时，由，函数有两个变号零点，函数有两个极值点.当时，函数有一个变号零点，函数有一个极值点.当时，函数没有变号零点，函数没有极值点.（3）不等式等价于.令，则在上恒成立，所以必须有，所以.又，显然当时，，则函数在上单调递增，所以，所以.综上可知，的取值范围为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数极值点个数问题，不等式恒成立问题．注意函数极值点的个数就是其导函数的变号零点个数，因此可以通过导数研究函数的单调性，结合零点存在定理判断．不等式恒成立问题的方法常常是转化为求出函数的最值，由最值满足的不等式得出结论，本题方法是由必要条件（特殊化）得出参数范围，然后证明这个范围也是充分的，从而得出结论．14．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，其中shx＝，chx＝分别称为双曲正弦、余弦函数．(1)若对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．(2)若a＞0，存在，使得成立，试比较a﹣1与(e﹣1)lna的大小，并证明你的结论．【答案】(1)；(2)答案见解析﹒【分析】（1）不等式左边构造为函数g(x)，g(x)为偶函数，∴不等式恒成立转换为g(x)的最大值小于等于零，故对g(x)的单调性进行讨论，求其最大值；（2）该存在性问题转化为，故对函数y＝chx和函数h(x)＝的单调性进行讨论，分别求它们的最小值和最大值，由此即可得到参数a的取值范围；要比较a﹣1与(e﹣1)lna的大小，构造函数t(a)＝(e﹣1)lna﹣a＋1，根据前步求出的a的范围求其单调性进行研究﹒(1)设，∵g(x)为定义域R上的偶函数，∴只需x≥0时g(x)≤0即可；∵g(0)＝0，，g′(0)＝0；令，则．①当时，m′(x)≤0，∴对任意x≥0，g′(x)单调递减，g′(x)≤g′(0)＝0，g(x)单调递减；∴对任意x≥0，g(x)≤0恒成立；②当λ≥0时，m′(x)＞0，∴任意x≥0，g′(x)单调递增，g′(x)≥g′(0)＝0，g(x)单调递增；∴对任意x≥0，g(x)≥0恒成立，不满足题意；③当时，若，则m′(x)＞0，g′(x)单调递增，g′(x)＞g′(0)＝0，g(x)单调递增，g(x)＞g(0)＝0，不满足题意；综上知，实数λ的取值范围是．(2)若a＞0，存在，使得成立，则；∵，∴当x≥1时(chx)′＞0；∴y＝chx在[1，＋∞)上单调递增，∴chx≥ch1，即；令h(x)＝a(﹣ch2x＋4shx﹣1)，则h(x)＝a(﹣1﹣sh2x＋4shx﹣1)＝a[﹣(shx﹣2)2＋2]；∵a＞0，x≥1，y＝shx在[1，＋∞)上单调递增，∴，∴＝2a；∴，即．设t(a)＝(e﹣1)lna﹣a＋1，则，因为；当时，t′(a)＞0，t(a)单调递增，当a＞e﹣1时，t′(a)＜0，t(a)单调递减；∴t(a)至多有两个零点；又t(1)＝t(e)＝0，∴当a＞e时，t(a)＜0，即(e﹣1)lna＜a﹣1；当a＝e时，t(a)＝0，即(e﹣1)lna＝a﹣1；当时，t(a)＞0，即(e﹣1)lna＞a﹣1．综上，a＞e时，(e﹣1)lna＜a﹣1；a＝e时，(e﹣1)lna＝a﹣1；时，(e﹣1)lna＞a﹣1．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．15．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若不等式对恒成立，求实数a的范围；(3)证明：当．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】对于（1），求出，结合点斜式可得答案.对于（2），对两次求导后，分类讨论a的范围结合对恒成立可得答案.对于（3），由（2）可得，令，其中.则可得，又令，则有，后通过累加可证明【解析】（1）由题，则.得，故在点处的切线方程为：.（2）由题，，令，则.①当，即时，，有在上单调递增，则，得在上单调递增，此时，故满足题意.②当，即时，令，得，则在上单调递减，又，得在上单调递减，此时，故不合题意.综上可得：.（3）由（2），当时有.注意到，则令，其中.则由可得，当且仅当取等号.其中.则令，其中，得.又代换后原不等式中的等号已经取不到（需），故有即，其中.则有故原式得证.【点睛】关键点点睛：本题涉及求曲线在一点切线方程，恒成立问题，及通过已知结论证明不等式.（1）较为基础，解决（2）类问题，常利用分离参数，但本题分参后对应函数较为复杂，故利用分类讨论求的范围.解决（3）问，常需利用前面所涉问题结论，因本题涉及，故首先令，后结合所证，逐步调整结论形式，最终解决问题.16．已知函数(1)当时，求的极值；(2)若

且

恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)极大值为，极小值为；(2)．【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数的正负求出函数的极值情况；（2）不等式变形为，构造，求导后得到，对分类讨论，求出每种情况下的实数a的取值范围，即得.【解析】（1）当时，，定义域为，则令，得，或．当x变化时，的变化情况如下：x+0-0+单调递增单调递减单调递减因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；（2）因为等价于，令，则，（ⅰ）若，对于函数，有，所以恒成立，故当时，不等式恒成立；（ⅱ）若，当时，，所以，故不等式恒成立；现探究当时的情况：当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，要使不等式成立，只需，解得：，故当时，不等式恒成立；（ⅲ）若，当时，，所以，故不等式恒成立；现探究当时的情况：当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，要使不等式成立，只需，即．设，则化为，因为，所以在上为增函数，于是，由及，得，故当时，不等式恒成立；综上，实数a的取值范围为．【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.17．已知函数，，已知是函数的极值点．(1)求曲线在处的切线方程，并判断函数的零点个数；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；(3)设函数．证明：．【答案】(1)，在定义域上存在唯一零点(2)(3)证明见解析【分析】（1）首先求导数，再求，即可求得切线，然后求出函数单调区间,利用零点存在定理即可判断函数零点个数.（2）首先参变分离，求函数的单调区间，设出零点，分析函数单调区间，求最小值，然后整体换元，即可求解.（3）首先确定定义域，再令换元，然后对进行单调性分析，求出参数的值，从而求出的表达式，再对进行分析，即可求证.【解析】（1），所以，又所以切线方程为：，即切线方程为：；根据，可知在上为正，因此在区间上为增函数，又，，因此，即在区间上恰有一个零点，由题可知在上恒成立，即在上无零点，则在定义域上存在唯一零点．（2）原不等式可化为，令，则，由（1）可知在上单调递减，在，上单调递增，，设的零点为，即，下面分析，设，则，可得，即若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能．因此，即．（3）证明：由题意，的定义域为，令，则，，则，因为是函数的极值点，则有，即，所以，当时，，且，因为，则在上单调递减，所以当时，，当时，，所以时，是函数的一个极大值点．综上所述，；所以，要证，即需证明，因为当时，，当时，，所以需证明，即，令，则，所以，当时，，当时，，所以为的极小值点，所以，即，故，所以．【点睛】(1)切线方程的求法主要利用导数求解切线斜率，其次需要注意题目中的关键字眼“在”与“过”的不同.(2)函数零点的个数的判断主要利用零点存在定理，利用函数在某区间端点值异号来判断.(3)导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．18．已知且在上单调递增，.(1)当取最小值时，证明恒成立.(2)对，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先利用条件可得在恒成立，参变分离后可得，代入后构造函数解不等式即可；（2）根据题意只需不等式左边的最小值小于等于右边