第四章 导数的应用及微分中值定理和泰勒公式

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4.1函数的单调性4.1.1函数单调性定理

设函数y?f(x)在?a,b?是连续函数，并且在(a,b)上可导（1）函数y?f(x)在?a,b?上单调增加，则f?(x)?0，x??a,b?；（2）函数y?f(x)在?a,b?上单调减少，则f?(x)?0，x??a,b?.4.1.2函数单调性几何意义

函数y?f(x)单调增加（减少）时，那么函数y?f(x)的切线的倾角为锐角（钝角），如图4.1.

求函数f(x)?xx的单调增加区间.eex?xex1?x?x解：由于f?(x)?e2xe若f(x)单调增加，则f?(x)?0，即4.2函数的凹凸性和拐点4.2.1函数的凹凸的定义

1?x?0，所以x?1.xe设f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，若对?x0,x?(a,b),x?x0恒有

f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(?)f(x)，则称f(x)在?a,b?上是凹（凸）的.4.2.2函数凹凸性的几何意义

如图4.3，若曲线y?f(x)在定义域(a,b)上任意一点的切线除切点外都在曲线下

方，则曲线y?f(x)在定义域(a,b)上是凹的；反之，曲线y?f(x)在定义域(a,b)上是凸的.4.2.3拐点的定义

设f(x)在x?x0的某个邻域内连续，函数f(x)在点?x0,f(x0)?的左右侧凹凸性正好相反，那么称?x0,f(x0)?为曲线y?f(x)拐点.4.2.4求函数的凹凸区间由图4.3可以看出，函数在某个凹区域内曲线的切线斜率单调增加，反之单调减少.我们知道切线斜率为f?(x)，那

么f(x)可二次求导时（可以有个别单个点不可导），切线斜率的单调性可以用

f??(x)表示，由此可知满足f??(x)?0时的x区间范围都为凹区间，反之都为凸区

间.假使f(x)不可二次求导，则f(x)没有凹凸性.4.2.5求函数的拐点

求出f??(x)?0的根和f???x?不存在的点，对于每一个这样的点x0，若f???x?在x0的两侧异号，则P0?x0，f?x0??是拐点；否则P0不是拐点.

求函数y?3x3?3x?x?(0,??)?的单调区间和极值点，凹凸区间与拐点.解：函数y?3x3?3x在定义域(0,??)上四处连续，先求出y?，y??和它们的零点及不存在的点:

y??(x?3x)(x2?1)(x?3)

3?23y????2x(x?3)(x2?1)(x?3)

2?53?53y??0得x?1或x?3，由于x?3，所以x?1；y???0得x?3，由于x?3，所以无y???0的点.

列出下表：

x(0,1)10?(1,3)?3(3,??)?y?y????不存在不存在连续??↗?（凸）y↘?（凹）微小值↗?（凹）因此得y?3x3?3x单调减少区间是(0,1)，单调增加区间是(1,?)；(1,3?2)是微小值点；凹区间是(0,3)，凸区间是(3,??)；(3,0)是拐点.4.3函数的极值与最值4.3.1函数的极值（1）函数极值的定义

给定函数f(x)?x?D?，设点x0?D，假使x0有一个邻域U?x0??D，使得

???f(x)?f(x0)或f(x)?f(x0)??x?U(x0)?，则称x0是函数f(x)的极大值点或微小

??值点，f(x0)称为f(x)的极大值或微小值.极大值点或微小值点统称为函数的极值点，函数的极大值或微小值统称为函数的极值.（2）函数极值的求法

连续函数的极值点必是函数的f?(x)?0时求出的驻点和不可导点，但这两种点不一定是极值点.不可导点可能需要我们联系图形等来判别，但驻点是否是极值点，有下面具体两种方法：

方法1（函数单调性判别法）：设函数f?x?在点x0的一个邻域U?x0,??上连续，在去心邻域U?x0,??上可导，则

①若x??x0??,x0?时，f??x??0，而x??x0,x0???时，f??x??0，则f?x0?为f?x?的微小值；

②若x??x0??,x0?时，f??x??0，而x??x0,x0???时，f??x??0，则f?x0?为f?x?O的极大值；

③若f??x?在U?x0,??上恒正或恒负，则f?x0?不为f?x?的极值.方法2（函数凹凸性判别法）：设f?x?在点x0有二阶导数，则①当f???x0??0时，f?x0?是f?x?的微小值；②当f???x0??0时，f?x0?是f?x?的极大值；③当f???x0??0时，不能判定f?x0?是否是极值.4.3.3函数的最值（1）函数最值的定义

函数的最值分为最大值和最小值，是指函数在定义域内的最大值和最小值.（2）函数最值的求法

极值点是函数在除了端点外的定义域上各段区域的最大值或最小值，又由于所有的驻点和不可求导的点包含了所有极值点，所以只要把驻点、不可导点和端点的函数值进行比较就可得到最

大值和最小值.如图4.2，我们可以看出不可导A点为定义域?a,b?上的最大值，右端B点为定义域?a,b?上的最小值.4.4微分中值定理4.4.1罗尔定理

设函数f?x?在?a，b?上连续，在?a，b?上可导且f?a??f?b?，则????a，b?，使得f?????0.

（1）罗尔中值定理的证明

函数f?x?在?a，b?上连续，所以存在最大值?M?和最小值?m?.若M?m，则函数f(x)在?a，b?上必然为常数，结论显然成立.

如M?m，则由于f?a??f?b?使得最大值M与最小值m至少有一个在?a，b?内某一点?处取得，从而?是f?x?的极值费马引理点，由条件f?x?在?a，b?上可导，故得f?????0.（2）罗尔中值定理的几何意义

如图4.4，若连续的曲线y?f?x?在?a，b?上所对应的弧段AB，除两端外四处具有不垂直于x轴的切线，且在弧

的两个端点A,B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点P，使曲线在P点处的切线平行于x轴.4.4.2拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理的特别形式.设函数f?x?在?a，b?上连续，在?a，b?上可导，则

????a，b?使得

f(b)?f(a)?f?(?).

b?a（1）拉格朗日中值定理的证明辅助函数法:

f(b)?f(a)?x?a?，验证可得h?a??h?b??0.又由于函数

b?af?b??f?a?h?x?在?a，b?上连续在?a，b?上可导，且h??x??f?????根据罗尔定理b?af?b??f?a??????f???0,由此可得??a，b??hx?0可知在内至少有一点使，即

b?af?b??f?a?f?????.b?a令h?x??f(x)?f(a)?（2）拉格朗日中值定理的几何意义

若连续的曲线y?f?x?在A?a，