导数知识点归纳及应用习题

PAGE1导数知识点归纳及应用一、相关概念1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？答：函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；导数运算1.常见的函数导数公式：函数导函数0例1：下列求导运算正确的是（）A．(x+B．(log2x)′=C．(3x)′=3xlog3eD．(x2cosx)′=-2xsinx例2：设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（） A．sinx B．－sinxC．cosxD．－cosx2.导数的运算法则：和差的导数运算积的导数运算;商的导数运算特别地：三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。例：函数是减函数的区间为 ()A． B． C． D．（0，2）(3)用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数②令>0,解不等式，得x的范围，就是递增区间.③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。2.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。(2)求函数f(x)的导数(3)求方程=0的根(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.例：函数已知时取得极值，则=()A．2 B．3 C．4 D．53．最值：(1)在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。(2)利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在上的极值；⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；常考题型一、求切线方程分两类：1.求曲线在某点(切点)处的切线方程:步骤：1)求；2)点斜式求方程求过某点(非切点)的切线方程:步骤：1)设切点，则2)，3)解，4)点斜式求方程例试求过点P(3,5)且与曲线相切的直线方程。●经典例题选讲例1.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是()例2.已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M