第01讲 整数和整除的意义（教师版）

第01讲整数和整除的意义回’【知识梳理】一、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数.负整数二、整除的意义整除：整数a除以整数b,若除得的商是整数且余数为零.即称：a能被b整除；或b能整除a.整除的条件:除数、被除数都是整数;商是整数且余数为零.整除的条件:除数、被除数都是整数;商是整数且余数为零.，三整一零.lq"整除：被除数、除数、商都是整数，旦余数为零；整除与除尽的关系 1除尽：被除数、除数、商不一定是整数，没有余数.联系：整除是除尽的特殊形式.【考点剖析】一、整数的意义和分类例1.判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）.（1）最小的自然数是1；（2）最小的整数是0：（3）非负整数是自然数：（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数.【答案】（1）X；（2）X；（3）V；（4）x；（5）X.【解析】（1）错误，最小的自然数是0; （2）错误，不存在最小的整数；（3）正确：（4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数;（5）错误，最小的正整数是1,最大的负整数是一1.【答案】9,26；-53,-1；9,0,26；【解析】解：在9,0,0.23,-53,—,26,-1中，其中正整数有：9,26；负整数有：-53,-1：自然9数有9,0,26.2().先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？正整数 负整数【答案】整数：一1，2,15,0,1,-8,10；自然数：2,15,0,1,10；正整数：2,15,1,10； 负整数：一1,-8；从小到大排序为：一8,-1,-0.7,-0.3,0,0.3,1,2,3.83,4.732732......,10,15；其中最小的正整数是1,最小的自然数是0,最大的负整数是一1..是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的止整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数.【答案】最小的正整数是1，最小的负整数不存在，最小的自然数是0,不存在最大的正整数，最大的负整数是一1,不存在最大的自然数..把表示下列算式的序号填入适当的空格内.(1)304-10；(1)304-10；(3)35・0.1：(5)0.4+2；27・9；(2)74-25；(4)18・3；3.9+0.3；16+4.除数能整除被除数的:能够除尽的： 【答案】除数能整除被除数的:(1)(4)(7)(8)；能够除尽的：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别..有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？【答案】一组、三组、五组、十五组均可.不能平均分成4个小组，因为4不能整除15.【解析】因为15=1x15=3x5,所以可分为一组、三组、五组或者十五组.【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用..一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个.小马虎的统计对吗？为什么？【答案】不对，因为4不能整除342.【解析】342+4=85......2,余数不为0.【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用..在1〜600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？【答案】300,400,200【解析】在广600这600个数中，能被2整数的数有2,4,6,8600,共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3,6,9,12,600,共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个：既能被2整除,又能被3整除的数有6,12,18600,共有100个.能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个.【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变.【总结】本题主要考查与整数有关的概念.例2.把卜.列各数放入相应的圈内：整数整数自然数【答案】整数：15,—1,0,-63,13；自然数：15,0,13：正整数：15,13； 负整数：一1,-63.【解析】整数包括正整数、零、负整数：自然数包括正整数和零.【总结】本题主要考查整数的分类.例3.（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系：（2）试比较正整数、负整数、零的大小：（3）试比较负整数、自然数的大小.【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零；（2）正整数大于0,负整数小于0,正整数大于负整数；（3）自然数大于负整数；例4.五个连续的自然数，已知中间数是a,那么其余四个数分别是这五个连续自然数的和是20,试求这五个数.【答案】。一2、。一1、。+1、6/4-2.这五个数是：2、3、4、5、6.【解析】列方程：（々-2）+（4-1）+〃+（。+1）+（〃+2）=20解得：4=4，这五个数是：2、3、4、5、6.【总结】本题主要考杳如何利用已知的字母去表示与其连续的整数.例5.有三个自然数，其和是13,将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：()-1=()+5=()+2,试求这三个自然数.【答案】3,10,0.【解析】设这三个数分别为左+1,5k,k-2；则Z+1+5Z+攵-2=13解得：k=2这三个数是3,10,0.【总结】本题主要是对题目中条件的理解•，同•个数可以用不同的形式去表示.二、整除的意义例6.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是( )A.5和2()；B.7和2；C.34和17； I).1.2和3.【答案】C；【解析】解：A、20能被5整除，故A不符合题意；B、没有整除关系，故B不符合题意；C、34能被17整除，故C符合题意；D、1.2不是整数，故D不符合题意；因此答案选C.3例7.在数18,-24,0,2.5, 2005,3.14,TO中，整数有( )4A.2个；B.3个；C.4个；D.5个.【答案】D；【解析】解：在上述数中，其中整数有18,-24,0,2005,-10共5个，故答案选D.例8.老师问：“当。=4.5时，〃=0.9时，。能被〃整除吗？'‘一个同学回答：“因为商是5,是整数，所以a能被〃整除你认为对吗？【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0,忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件.例9.下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的( )内打7"，不能整除的打“x”.18和9( ) 15和30( ) 0.4和4( )14和6( ) 17和35( ) 9和0.5( )【答案】横向：VXXXXX【解析】整除的意义：整数。除以整数。，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说。能被人整除:者说能整除只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件.二、整除与除尽例10.已知下列除法算式：574-7=8……1： 214-7=3； 224-0.2=110：224-5=4.4； 0+3=0； 24-4=0.5.(1)表示能除尽的算式有哪几个？(2)哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【答案】(1)21+7=3； 22+0.2=110； 22+5=4.4；0+3=0； 2+4=05(2)214-7=3； 0+3=0.【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别.例II.把表示下列算式的序号填入适当的空格内.(1)30+10；(3)35+0.(1)30+10；(3)35+0.1：(5)0.4+2；(7)27・9；(4)18-5-3；(6)3.9+0.3：(8)16・4.除数能整除被除数的:能够除尽的： 【答案】除数能整除被除数的:(1)(4)(7)(8);能够除尽的：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别.四、整除的实际应用例12.若两个整数〃、都能被整数c整除，它们的和、差、积也能被c整除吗？为什么？【答案】能，原因略;【解析】设。="7C,b=nc（m、〃是整数,且〃7W〃）：则：a+b=（m+n）c：a-b={tn-n）c；ab=nvic；J它们的和、差、积也能被c整除.【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运用.例13.15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？【答案】两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支.【解析】将15分解可得：15=1x15=3x5=5x3=15x1题目要求每人不止1支，排除掉1和15,故有两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支.【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题.例14.2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？【答案】星期六【解析】2016是闰年，故2016年的二月有29天，2015年的教师节与2016年的教师节间隔366天,则:366+7=52…2,•••2016年的教师节是星期四后面两天，是星期六.【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题.【过关检测】一、单选题1.（2021秋•上海奉贤•六年级校联考期末）下列各式中，是整除的算式是（）A.114-5=2 1B.27+3=9 C.18+4=4.5D.2.44-0.6=4【答案】B【分析】根据整除的定义逐项判断即可.【详解】解：A选项，11+5=2 1中有余数，不是整除的算式，不合题意；B选项，27+3=9是整除的算式，符合题意；C选项，18+4=4.5中商不是整数，不合题意；D选项，24+0.6=4中被除数与除数不是整数，不合题意；故选B.【点睛】本题考查整除算式的识别，解题的关键是掌握整除的定义，若整数」除以非零整数界商为整数，且余数为零，我们就说4能被人整除（或说》能整除4）.（2022秋•上海•六年级专题练习）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A.14和7 B.2.5和5 C.9和18 D.0.4和8【答案】A【分析】由整除的定义，可得14・7=2.【详解】解：因为14+7=2,故选：A.【点睛】本题考查有理数的除法：熟练掌握有理数的整除的意义是解题的关键.（2022秋•上海•六年级校考阶段练习）第一个数能整除第二个数的是（）A.2和9； B.12和3； C.5和10； D.6和2.4【答案】B【分析】根据整除的定义逐项验证即可得到答案.【详解】解：由题意可知，12+3=4,故选：B.【点睛】本题考查整除定义，熟记整除定义是解决问题的的关键.（2022秋・上海徐汇•六年级校考阶段练习）用0,1,4,7组成的所有四位数都能被（）A.3整除 B.2整除 C.5整除 D.7整除【答案】A【分析】利用所有位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除【详解】团组成的四位数如果是1047,团就不能被2或5、7整除，团组成的四位数各个位上的数的和都为12,团组成的所有四位数能被3整除，故选：A【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握数的整除是解决问题的关键（2023秋•上海徐汇•六年级上海市徐汇中学校考期末）M能整除19,那么A7是（ ）A.19 B.38 C.19的倍数 D.19的因数【答案】D【分析】根据整除的概念，即可求解.【详解】解：M能整除19,那么M是19的因数，故选：D【点睛】此题考查了整除的概念，掌握整除的概念是解题的关键，整除是指整数〃除以自然数加除得的商正好是整数而余数是零，就说。能被b整除（或说b能整除a）.（2022秋•上海徐汇•六年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（）①能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除②最小的素数是2③合数•定是偶数④没有最大的素数A.①、② B.②、③ C.②、@D.③、④【答案】C【分析】利用整除的定义、素数定义及合数定义判断即可【详解】解：能够除尽的算式，商为整数，叫做被除数能被除数整除，故①错误；最小的素数是2,故②正确；合数不一定是偶数，例如：15是合数但是15不是偶数，故③错误；没有最大的素数，故④正确，故选：C【点睛】本题考查了有理数的除法，整除，素数，合数，解题的关键是掌握有理数的除法和整除，理解素数和合数的定义二、填空题（2022秋•上海•六年级专题练习）4.8+3=1.6,填"能"或"不能〃）说3能整除4.8【答案】不能【分析】整除是指整数。除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零，就说。能被匕整除（或说〃能整除。）.【详解】解：因为4.8,1.6都是小数，不是整数，故不能说3能整除4.8.故答案为：不能.【点睛】本题考查的是数的整除性问题，理解整除的概念是解题的关键.（2022秋•上海•六年级校考阶段练习）如果15+3=5,那么能整除.【答案】 3 15【分析】整数〃除以整数〃（人工0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说〃能被〃整除（也可以说力能整除。），根据整除的意义解答.【详解】解用如果15+3=5,那么3能整除15,故答案为国3、15.【点睛】此题主要考查整除的意义，掌握整除的意义是解决有关的问题的关键.（2022秋•上海宝山•六年级统考期中）如果〃表示一个正整数，那么4〃+3被4除的余数是.【答案】3【分析】根据4"+3表示〃的4倍加3,可知4〃+3被4除的余数.【详解】因为〃表示一个正整数，所以（4〃+3）+4=〃3,即4〃+3被4除的余数是3,故答案为：3.【点睛】本题考查了整除问题，掌握4〃+3的含义是解题的关键..最小的自然数是.【答案】0；【解析】解：最小的自然数为0..最小的正整数是.【答案】1.数23具有下列性质：被2除余1,被3除余2,被4除余3,求具有这个性质的最小三位数是.【答案】107；.如果8能被a整除，那么a的值是【答案】1,2,4,8；TOC\o"1-5"\h\z7 15.在+5,-9「g，-6.5，w中，是非负正整数的是 .o 5【答案】+5,梳；【解析】解：因为£=3,