人教B版（2023）必修第二册《6.3 平面向量线性运算的应用》同步练习（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知是的外心，，，若，且，则的面积为

A.B.C.D.

2.（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则

A.或B.C.或D.

3.（5分）在直角三角形中，，，为斜边的中点，则的值为

A.B.C.D.

4.（5分）在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为

A.B.C.D.

5.（5分）如图所示，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于米，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为

A.米B.米C.米D.米

6.（5分）如图，、、是直线上的不同的三点，且有，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

7.（5分）平面上有三点，，，设，，若，的长度恰好相等，则

A.，，三点必在同一直线上B.必为等腰三角形且为顶角

C.必为直角三角形且D.必为等腰直角三角形

8.（5分）在中，设，则动点的轨迹必通过的

A.垂心B.内心C.重心D.外心

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是

A.B.

C.D.

10.（5分）中，，边上的中线，则下列说法正确的有

A.为定值B.

C.D.的最大值为

11.（5分）已知，，，，下述四个结论中正确的是

A.B.四边形为平行四边形

C.D.

12.（5分）判断下列物理量哪些是向量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨动量．其中是向量的有

A.速度，位移B.力，加速度C.动量，质量D.路程，密度，功

13.（5分）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为

A.北偏西B.北偏西C.D.

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）在平面内，已知，且，，若，则的取值范围是______．

15.（5分）已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点，点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______．

16.（5分）已知平面上不重合的四点，，，满足且，那么实数的值为______．

17.（5分）如图，边长为的菱形中，交于点，，，分别为对角线，上的点，满足，则______．

18.（5分）如图，在正方形中，为边中点，若，则______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）是边长为的等边三角形，，过点作交边于点，交的延长线于点

当时，设，，用向量，表示；

当为何值时，取得最大值，并求出最大值．

20.（12分）在中，，，与边相交于点，的中线与相交于点，设，，试用，表示．

21.（12分）一辆汽车从出发向西行驶了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，又改变方向，向东行驶了到达点．

作出向量，，；

求

22.（12分）如图，直角三角形的斜边，，点是以点为圆心为半径的圆上的动点．

Ⅰ当点在三角形外，且时，求；

Ⅱ求的取值范围．

23.（12分）设是边长为的正三角形，点，，，四等分线段如图所示

为边上一动点，求的取值范围？

为线段上一点，若，求实数的值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：取的中点，则，

如图所示，

，

，

，

，

，

当时，

，

，

当时，则，

，

，

点，，共线，

即点为的中点，

三角形以为直角的直角三角形，

，

故选：

取中点为，则，把写为，然后用两种方法写出，由数量积相等结合，需要分类讨论，当求得，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形的面积，当时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决

本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．

2.【答案】C;

【解析】

此题主要考查二倍角公式，诱导公式，两角和差公式的运用，向量的几何运用，向量的数量积运算，余弦定理解三角形的实际应用考查分析和运用能力，属于中档题.

根据即可得到或再根据点是的重心，得到，即，即可得到，再根据正弦定理即可求解．

解：，

，

整理得，

解得或舍去，即或

又点是的重心，，

，，

，

整理得

当时，，得，

此时，解得；

当时，，得，

此时，解得

故选

3.【答案】D;

【解析】解：如图，由向量的运算法则可得，

为斜边的中点，，

故选D

由平面向量基本定理和向量的运算法则，用向量，表示所求向量，再由数量积的运算可得．

该题考查平面向量数量积的运算，以及平面向量基本定理，用向量，表示所求向量是解决问题的关键，属中档题．

4.【答案】B;

【解析】

此题主要考查向量的数量积，三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最值，属于难题.

依题意，求得，，，得出，可得，，根据基本不等式求最值即可.

解：由题意，设的内角，，的对边分别为，，，

由，得，

又，得，

可得，

根据同角三角函数的基本关系得，，

由，根据正弦定理得，

又，

解得，，

所以，

因为，

所以，

又，，三点共线，且为线段上的动点，

所以，，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，

故选

5.【答案】B;

【解析】

此题主要考查了解三角形中余弦定理的应用，属于基础题.

根据条件作出方位图，根据题意，结合余弦定理可得结果.

解：由图可知，，由余弦定理得，

所以米

故选

6.【答案】A;

【解析】解：由题意可得，再由，，

故选：

由题意可得，再由，由此求得的取值范围．

本题主要考查定比分点分有向线段成的比的定义，把它转化为线段的长度比的相反数，数形结合可得实数的取值范围．

7.【答案】C;

【解析】

此题主要考查平面向量的数量积，以及向量在几何中的应用，属于基础题.

先根据题意得到，再平方即可顺利得解.

解：，

，

，

，

，

故选

8.【答案】D;

【解析】【分析】

本题主要考查向量的几何应用，熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义是解题的关键属于中档题.

用向量的运算法则、数量积与垂直的关系判断出，根据三角形的外心定义即可得出.

【解答】

解：如图所示：

设线段的中点为，则

，

，

，即

，且平分

因此动点的轨迹必通过的外心．

故选

9.【答案】BC;

【解析】此题主要考查向量的简单运算，考查数形结合的思想方法，是中档题.

根据题意，作出图象，由模的计算方法可得，，向量数量积可判断根据三角形法则和平行四边形法则判断，解：如图，为正三角形重心，则为中点.

则，，，

选项，故错误.

选项，，故正确.

选项，

，故正确.

选项，，

，故错误.

故选

10.【答案】ABC;

【解析】此题主要考查了向量数量积的运算，正弦定理，考查了计算能力，属于中档题．

可画出图形，根据题意可得出，，两边平方联立即可判断，两个选项，由数量积公式判断选项，由正弦定理即可判断出选项.解：如图，是边上的中线，

，且，

，①

且

，②

①②得，，即，故正确.

①②得，，故正确.

由得出，则，

当且仅当时等号成立，

则，

所以故正确；

在中，由正弦定理得：，

所以，

故的最大值为，故错误.

故选

11.【答案】BD;

【解析】

此题主要考查平面向量垂直的判断、几何应用、概念和模，属于基础题.

由数量积与垂直的关系可判断，由向量的几何应用可判断，由平面向量的概念可判断，由模长公式可判断

解：由题意，得，

则，故与不垂直，故错误

故，且，

故四边形为平行四边形，故正确

因为向量不能比较大小，故错误

因为，故正确，

故选

12.【答案】AB;

【解析】

此题主要考查向量的概念，属于基础题.

确定一个量是不是向量，就是看它是否同时具备大小与方向两个要素，逐个判断即可.

解：由物理知识可知，速度、位移、力、加速度，动量都是由大小和方向确定的，所以是向量，

而质量、路程、密度、功，只有大小而没有方向，不是向量.

故选

13.【答案】AC;

【解析】

此题主要考查了向量在速度，位移的合成中的应用，属于基础题.

利用向量合成画出图可以根据直角三角形的几何性质，求出速度，方向，进而得到正确答案.

解：如图：

船从点出发，沿方向行驶，才能垂直到达河的对岸，

，则

，所以

即船以的速度，向北偏西方向行驶，才能垂直到达对岸.

故选

14.【答案】[2，];

【解析】解：由，，

可得四边形为矩形，

在矩形中，有

则

又，

所以，即，

故答案为：

根据条件有四边形为矩形，根据矩形中的一个特殊性质，平面内任一点，有可得答案．

该题考查向量的几何性质，向量运算，属于难题．

15.【答案】[0，8];

【解析】解：由题意，是直径的两端点，可得，，

则

，

即求正四面体表面上的动点到的距离的范围．

当位于切点时，取得最小值；

当位于处时，即为正四面体外接球半径最大即为．

设正四面体的边长为，由为正四面体的中心，

可得直角三角形中，，，，，

综上可得的最小值为，最大值为．

则的取值范围是．

故答案为：．

运用向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，讨论位于切点和顶点时分别取得最值，即可得到所求取值范围．

此题主要考查向量在几何中的运用，考查向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．

16.【答案】;

【解析】解：由题意，根据向量的减法有：，，

，

；

，

，

，

．

故答案为

利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．

本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题．

17.【答案】;

【解析】解：边长为的菱形中，，

，，

故答案为：

先利用边长为的菱形中，，可得，，，再利用向量的加法与数量积运算，即可得到结论．

该题考查向量的加法与数量积运算，考查学生的计算能力，正确表示向量是关键，属于中档题．

18.【答案】;

【解析】

该题考查了正方形的性质、向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用正方形的性质、向量三角形法则、平面向量基本定理即可得出．

解：，

，

，，

则，

故答案为：．

19.【答案】解：由题意可知：，且，

，故，

由题意，，

，

，

当时，

有最大值;

【解析】

，，通过向量的线性运算，用向量，表示；

用表示与的模，然后求解数量积，利用二次函数的最值求解即可．

本题考查平面向量基本定理，向量共线定理，向量的数量积，二次函数最值等知识，考查运算求解能力，考查数形结合、转化与化归的思想方法．

20.【答案】解：如图，△ABC中，

∵=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，

△ABC的中线AM与DE相交于点N，

∴=，==

∵=，=，

∴=-，

∴=（-）．;

【解析】

由平行线等分线段定理及中线的定义知，，由此能求出结果．

该题考查平面向量的加法法则的应用，是基础题，解题时要注意平行线等分线段定理的灵活运用．

21.【答案】解：向量，，，如图所示．

由题意，易知与方向相反，

故与共线．

又，

所以在四边形中，，

所以四边形为平行四边形，

所以;

【解析】【解析】

本题属于向量的物理运算，主要要求掌握向量的基本知识，属于基础题.

在平面直角坐标系中画出向量；

利用共线向量和平行四边形进行计算.

22.【答案】解：当点在三角形外，且时，，

又，，．

在中，由正弦定理得，即，

解得．

以点为原点，以，为坐标轴建立平面直角系如图：

则，，设，

则，，

．

，

．;

【解析】

在中，使用余弦定理求出，再使用正弦定理计算；

以点为原点，以，为坐标轴建立平面直角系，设，求出，的坐标，代入数量积的坐标运算求出的取值范围．

此题主要考查了正余弦定理，向量在几何中的应用，属于中档题．

23.【答案】解：（1）以BC所在直线为x轴，AP2所在直线为y轴，

P2为坐标原点，建立直角坐标系，

则A（0，2），B（-2，0），C（2，0），P1（-1，0），

设P（t，0）（-2≤t≤2），则=（-t，2），=（2-t，0），

可得=-t（2-t）+20=-2t=（t-1）2-1，（-2≤t≤2），

t=1时，取得最小值-1；t=-2时，取得最大值8．

则的取值范围为[-1，8]