广义poisson超代数上同调群

广义poisson超代数上同调群

1有限维单李超分辨率的分类众所周知，代际接近理论和上议院理论可以看作是一般表达理论的扩展。作为一门独立的研究主题，李氏家族的上同调最早出现在卡坦的工作中。这一理论的基础是由cheentan、koszil、hochschild和serrye完成的。上、代、李三代的统一处理是由kat和eienburg提供的。值得注意的是，在超对称出生的初期，研究主要集中在李超代的结构和经典的结果上。之后，letes和fuks在文本中计算了具有普通系数的李超代的上同调。kac完成了具有零维单元的有限维单李超代的分类，并以无限维单线性跟踪李超代的分类。schent和zhang合作的文章详细介绍了李超代的上同调，介绍并研究了更一般的李超代的上同调。文本显示了李超世代的指导和中心轮廓的扩展。此外，李超代的上同调结果也是非常罕见的，与上同调的非普通系数无关，因此很难进行研究。广义Poisson超代数是由Cantarini和Kac引入并进行研究的.它是Jordan代数的基础,并且与李超代数和广义Leibniz代数有着深刻的联系.鉴于这种代数的重要性,本文研究它的同调和上同调群理论,刻画了低阶上同调群.最后,决定了5-正合列以及它的泛中心扩张的核.2广义poisson超金相本文中,K表示特征为0的代数闭域,所有的向量空间都假定为K上的.分别用Hom和表示HomK和.称V为超空间,如果V是Z2-阶化向量空间:如果a∈Vα,,则称a是次数为α的齐次元素,并记a的次数为|a|,即α=|a|.的元素称为偶的,的元素称为奇的.为了方便,我们约定如果表达式中出现次数函子,相应的元素都假设为齐次元素.本文中结合超代数A都被认为是交换的(即对于a,b∈A,都有ab=(-1)|a‖b|ba),并且有单位元.结合超代数A上的双模M是一个向量超空间,并且有两种线性运算满足通常的条件.对于结合超代数A和它上面的双模M,令则Der(A,M)是由A到M的所有导子组成的集合.定义2.1超代数A被称为是广义Poisson超代数,如果A上定义的两种运算分别使得A是交换的结合超代数和李超代数,并且满足广义Leibniz规则,即对于任意a,b,c∈A,有其中D是A的相对于两种运算的偶导子.如果D=0,则(2.2)变成通常的Leibniz规则.在这种情况下,A被称为Poisson超代数.广义Poisson超代数A被称为是完全的,如果注2.1如果A是有单位元的广义Poisson超代数,e是它的单位元,则D(a)=[e,a](在(2.2)中令b=c=e).例2.1考虑结合超代数O(2κ,n)有次数为偶的未定元p1,…,pk,q1,…,qk和次数为奇的未定元ξ1,…,ξn.在O(2κ,n)上定义如下括积(f,g∈O(2κ,n)):则O(2k,n)是一个Poisson超代数,用P(2κ,n)来表示这一代数.例2.2考虑结合超代数O(2κ+1,n)有次数为偶的未定元p1,…,pk,q1,…,qk和次数为奇的未定元ξ1,…,ξn.在O(2κ+1,n)上定义如下括积(f,g∈O(2κ+1,n)):其中是Eu1er算子,{f,g}如上所定义,则O(2k+1,n)是一个广义Poisson超代数,并且,用P(2κ+1,n)表示.定义2.2有单位元的广义Poisson超代数A上的表示是一个双模M,并且有两种线性运算:满足其中m∈M,a,b∈A.下面给出表示的一个例子.例2.3(1)如果A是一个有单位元的广义Poisson超代数,则A上的括积给出自身上的一个表示.(2)设A是广义Poisson超代数,M是A上的双模.令[a,m]=[m,a]=0,m∈M,a∈A.用这种方式,我们获得了A上的一个表示,并且M[A,A]=0=[A,A]M.定义2.3设A是广义Poisson超代数,M是A上的表示,d是次数为α的从A到M的导子.如果d:A→M是线性映射,并且满足,而且我们用GPSA表示广义Poisson超代数,用DerGPSA(A,M)表示从A到M的所有的导子组成的向量空间.定义2.4假设A是广义Poisson超代数,M是A上的表示,定义它们的半直积使得M⊕A是一个广义Poisson超代数,而且运算满足其中a1,a2∈A,m1,m2∈M3广义上的复合花群体假设A是GPSA,M是A的表示.本节给出系数在M上的A的上同调群的定义.3.1广义poisson上同调群的生成假设A是有单位元的结合超代数,M是A的一个表示.设C*(A,M)是系数在M上的A的Hochschild链复型,即.上界算子b*定义如下:其中a0,…,an∈A.Hochschild上同调群用符号Hoch*(A,M)表示,并定义为为了给出广义Poisson超代数的上链复型的定义,我们需要在Hochschild上链复型上做一些改变.为此,用(A,M)表示如下定义的上链复型:因而并且令Me=Hom(A,M)表示从A到M的A-模同态,则向量空间Me按如下定义的模运算是A-双模:3.2n维上同调群的n-1维上同调群假设A是一个GPSA,M是A的一个表示.特别地,M是结合超代数A的双模.因而,C*(A,M),Me和C*(A,Me)都是A的双模.定义下列线性映射:引理3.1α是上链映射.证根据上链映射的定义,通过一个直接但是很长的计算,可获得所需要的结论.从文中,我们知道任意一个上链映射α都有一个锥,它也是一个复型.于是K*(A,M)是α的锥.从而,系数在M中的GPSA的n维上同调群可定义为复型K*(A,M)的n-1维上同调群,并用表示.于是,由定义,有应用长正合列引理可得如下结果:引理3.2如果A是有单位元的超代数,使得对于任意的幺双模M,有Hochn+1(A,M)=0,而且存在一个幺双模M,有Hochn(A,M)≠0,则称A的Hochschild维数是n,并用Dim(A)=n表示.推论3.1设A是有单位元的GPSA,M是A幺双模,则当n≥Dim(A)时,有.证当n≥Dim(A)时,Hochn(A,M)=0.利用Hochn(A,M)和Hochn(A,Me)之间的关系,有因此,当n≥Dim(A)时,存在下列正合列:即,n≥Dim(A).推论3.2设A是有单位元的GPSA,M是A幺双模.如果A还是拟自由结合超代数,则有,n≥1.3.3自适应的双重性和同构的方法现在将要决定低维上同调群.假设A是有单位元的GPSA,M是A的表示.我们回忆DerGPSA(A,M)是GPSA的导子的集合.引理3.3证应用α的定义及上述的正合列,结论可直接获得.设A,B是2个有单位元的GPSA.A的阿贝尔扩张是一个短正合列:.而且,对于m,n∈M,有i(m)i(n)=0.于是,存在唯一的A的表示M,使得对于任意的b∈B,m∈M,有对于表示M,用ExtGPSA(A,M)表示A通过M的阿贝尔扩张的等价类,于是有引理3.4证我们只要构造从第一上同调群到扩张的映射,然后去证明它是一个同构.由(f,g)∈Kerd0及K*(A,M)的定义,有f:是Hochschild复型C*(A,M)上的一个2上循环,并且g:A→Me是一个线性映射,满足令B=A⊕M,则B是一个超空间,并且可定义两种运算直接计算可得B是一个广义Poisson超代数,而且给出了阿贝尔扩张i(m)=0和p(a,m)=a,即是一个短正合列.引理3.5如果A是自由的GPSA,则当n≥1时,有证由于A是一个自由的结合超代数,并且作为GPSA也是自由的,因而当n≥2时,有Hochn(A,-)=0.再由引理3.2知,当n》2时,有.因为自由的GPSA的扩张都是可分的,所以有ExtGPSA(A,M)=0.在文中,Quillen给出了任意的代数对象的上同调的理论,设A是GPSA,M是A的表示,应用这一理论得到了系数在M中A的Quillen上同调群,用表示.定理3.1设A是GPSA,M是A的表示,则有一个自然的同构4fhom-1-1,2应用VanOsdol发展的一般理论,我们可以获得与GPSA的扩张相关的广义Poisson超代数的上同调群的一个5-正合列.对于满同态d0:X0→X,存在一个长正合列因此有其中p:B→A是一个满同态.令H=Kerp,考虑半直积H⊕B,有是一个短正合列,其中q(h,b)=h+b,h∈H,b∈B.设Hab=H/[[H,H]]是由下列运算给出的A=B/H的一个表示:,其中p(b)=a,a∈Ab∈B,h∈H,而[[H,H]]是H的导代数.设线性空间的线性映射f:Hab→M满足.我们把这种线性映射组成的线性空间记为HomA(Hab,M).定理4.1.证由VanOsdol的概念,有,其中K*是文第273页中定义的上链复型.再由文中的定理3.5,这一复型自然同构到系数在M中的T(π,g)上链复型.利用文中的定理3.8,有(π,q;M).最后,我们证明.设f∈Hom-1(π,q;M),则f是一个导子,满足fk1=fk0+fκ2,并且有f(h2,b)=f(h1,b)+f(h2-h1,h1+b),,h2∈H,b∈B,其中κ0(h1,h2,b)=(h1,b),κ1(h1,h2,b)=(h2,b),k2(h1,h2,b)=(h2-h1,h1+b).定义.由于f(h2,b)=f(h1,b)+f(h2-h1,h1+b),,h2∈H,b∈B,则有h1=h2=0并且f(0,b)=0,.利用这一事实可知,f是一个导子,并且f([[H,H]],0)=0.因为,所以.反过来,对于g∈HomA(Hab,M),定义.直接验证可知是可逆的同态.设V是一个超空间.令R1(V)=V,(n≥2).为了区分这些张量幂,Rn(V)的前一部分的元素用表示,后一部分用a1a2…an表示.假设A是一个GPSA.我们把K作为A的平凡表示,即aκ=κa=[a,κ]=[κ,a]=0,κ∈K.定义复型它的上界算子定义为定义4.1复型()的同调称为GPSA的平凡系数的同调,记为或简记为.由定义4.1,容易推得设H*(A)是基础结合超代数A的Hochschild复型.明显地,H*+1(A)是的子复型.于是有复型的短正合列其中.从而得到一个长正合列为了说明复型D*(A),我们考虑A是有限维可分代数的情形,则有Hochn(A,K)=0,n≥1.因此,n≥1.定理4.2假设A是有单位元GPSA,M是A的平凡表示,则有证复型是自由的超空间,使用文中的定理3.3(a)可获得所需结论.引理4.1设Cn(n≥0)是一个向量空间的正合列,dn:Cn→Cn-1是同态,则C*是复型(d2=0)当且仅当对于任意的X,有Hom(C*,X)是复型.利用文中定理3.3(a)和Y=0当且仅当对于X,有Hom(Y,X)=0这一事实,可获得引理的证明,此处省略证明.定理4.3假设是GPSA的正合列,则有5-正合列证应用正合列(4.2)和有平凡A表示的M的正合列,我们获得了正合列又因为有下列同构成立: