2021-2022学年初中数学讲义-全等三角形方法课之倍长中线法

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之倍长

中线法（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，在等腰直角三角形ABC中，NC=9（r,AC=8,尸为AB边的中点，点。，E

分别在AC,BC边上运动，且保持45=CE,连接DE、DF,EF.在此运动变化的过程中，

下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③

AD+BE>DE.其中正确的是（）

A.①②③B.①C.②D.①②

【答案】A

【分析】

连接CF,利用SAS可证^ADF^CEF,从而得出DF=FE,ZAFD=NCFE,从而求

出/EFD=90。，即可判断①；根据全等三角形的性质可得1.「=5q一从而得出四边

形CDFE的面积为;S,.pc，从而判断②；延长。6到G使F、G=OF,连接EG,BG,证

出AD=3G和OE=EG,最后根据三角形的三边关系即可判断③.

【详解】

解：如图，连接CF.

VAC=BC,尸为A8的中点，

/.CFA.AB,ZACF=ZBCF=-ACB.

2

,/ZACB=90°,

：.ZA=ZACF=ABCF=45°,

/.CF=AF.

又•.•?!£>=*

:.&ADF/&CEF.

:.DF=FE.AAFD=ZCFE,

•.*ZAFD+ZCFD=90°,

・•・NCFE+NCFD=90°,

・•・ZEFD=90°,

・・・△。印是等腰直角三角形.①正确.

•：AADFRCEF,

,,SJDF=SACEF，

=

・、四边形CDFE的面积为SqCDF+SdCEF=SACDF+SAMDF=^AFC耳^ABC-

，

,-5“,slfclC=-2ACxfiC2=-x8x8=32,

四边形CW芯的面积为16,为定值.②正确.

延长。尸到G使FG=DF,连接EG,8G.

VAF=BF,ZAFD=ZBFG,DF=FG,

：./XADF^/XBCF,

：.AD=BG.

•；NEFD=90°,

；•EFLDF,

DE=EG.

在AEBG中，

BG+BE>EG,

：.AD+BE>DE.③正确.

①②③均正确，

故选A.

【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定及性侦、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系,

掌握构造全等三角形的方法是解决的关键.

2.在AABC中，AC=5,中线AZ>=7,则A8边的取值范围（）

B

A.2<AB<i2B.4<AB<\2C.9<AB<19D.10<AB<19

【答案】C

【分析】

延长A£>至E,使。E=A£>,然后利用“边角边”证明△ABO和△EC。全等，根据全等三

角形对应边相等可得A8=CE,再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任

意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为A8的取值范围.

【详解】

解：如图，延长至E,使

A

是△ABC的中线，

：.BD=CD,

在△A8O和△ECO中，

BD=CD

<NAD芹NEDC,

AD=DE

:.AABDWAECD(SAS),

：.AB=CE,

\'AD=7,

；.AE=7+7=14,

V14+5=19,14-5=9,

：.9<CE<19,

即9<AB<\9.

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任

意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键.

3.如图，在△ABC中，AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4,则△ABC的面积

为()

A.30B.24C.2()D.48

【答案】B

【分析】

延长AD到E,使DE=AD,连接CE,利用SAS得出△ADB^AEDC全等，得至I]AB=CE,

利用勾股定理的逆定理得到△ACE为直角三角形，△ABC的面积等于△ACE的面积,

利用三角形的面积公式即可得出结果.

【详解】

解：延长AD到E,使DE=AD,连接CE,如图所示：

：D为BC的中点，

；.DC=BD,

AD=AE

在4ADB与EDC中，■^ADB=ZEDC,

CD=BD

.".△ADB^AEDC(SAS),

ACE=AB=6.

XVAE=2AD=8,AB=CE=6,AO10,

AAC2=AE2+CE2,

/.ZE=90°,

贝SAABC=SAACE=|CE«AE=^X6X8=24；

故选：B.

【点睛】

本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的

逆定理是解题的关键.

4.如图，在平行四边形A8CD中，CD=249=8,E为AD上一点,F为0C的中点，

则下列结论中正确的是()

A.BF=4B.ZABC>2ZABFC.ED+BC=EB

D.S四边形OT7)C=

【答案】D

【分析】

根据平行四边形的性质可以得到CD=24)=2BC=8,且F为0c的中点，所以

CF=BC=4,由此可判断A选项；再结合平行线的性质可以得到NCEB=NER4,由此

可判断8选项；同时延长所和BC交于点P,DF=CF,NDFE=NPFC,ND=NFCP可

以证得△。自所以£O+8C=CP+8C=8P,由此可以判断C选项；由于

△DFE=^CFP,所以S四边形DEBC=SvBEP，由此可以判断D选项：

【详解】

••・四边形ABCO是平行四边形

:.CD=2AD=2BC=8

CF=BC=4

由于条件不足，所以无法证明8尸=4,故A选项错误；

CF=BC=4

NCFB=NFBC

DC//AB

NCFB=ZFBC=NFBA

ZABC=2ZABF

故8选项错误；

同时延长所和BC交于点P

AD\\BP

ZD=ZFCP

DF=CF

■■在ADFE和ACFP中：,NDFE=NPFC

ZD=ZFCP（ASA）

ADFE.CFP

ED+BC=CP+BC=BP

由于条件不足，并不能证明外=BE,故C选项错误;

•••ADFEWACFP

S四边形DE8c

F为£>C的中点

SyBEP=2SVB"=S四边形。EBC

故。选项正确;

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线

是求解本题的关键.

5.如图，在A4BC中，AB>AC,A"是中线，AE是角平分线，点厂是AE上任意一

ADFR

点(不与A,E重合)，连接8尸、CF.给出以下结论：①芸=笠；②

ACEC

ZDAE=(ZACB-ZABC)；③;(AB-AC)<40<g(AB+AC)；④

AB+CF>AC+BF.其中一定正确的有()

A

BDEC

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】

SA8SBE

①根据面积法可得1=1=7万，从而可得①正确；②由AD是中线，无法

dAAC£AC匕

得出/D4E=1(/AC8-ZABC),故可判断②错误；③运用SAS证明AA£>C=AA〃出得

2

AC^MB,在AAM8中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在AB上截取

AN=AC,连接尸N,运用SAS证明A4/W三A4FC得NF=CF,在ABM■中运用三角形

三边关系可得结论，从而判断④.

【详解】

解：①过E作EG_LA8于G,EHIAC^H,过A作4K_LBC于K,

金

BDEKC

・JAE是Z&4C角平分线，EGLAB,EHLAC,

..EG=EH,

c-ABEG.

.SgBE__2________&5

c

S"-ACEH4

2

・.・AK_L3C,

・•・S^B:BEAK,

SMCE=^CE-AK

°LBE-AKNR

.SMBE_2_______

••

S^CE-CEAKCE

2

ABEBMOT花

•・就=由，故①正确;

②NBAC+ZACB+ZABC=180°

ABAC=180。-(ZACB+ZABC),

,JAE平分㈤C,

NBAE=ZCAE=-ZBAC=90°」(NACB+ZABC),

22

•.•AO是中线，

无法得出/DAE=-(ZACB-/ABC),故②错误；

2

③延长AO到M使DM=4),连接BM,

•/4)是中线，

：.BD=CD,

在AAOC和AMDB中,

AD=MD

<ZADC=NMDB

BD=CD

/^ADC=^MDB(SAS)

:.AC=MB

在AAMB中，

AB-BM<AM<AB+BM

-.■AM^AD+DM^2AD,AC=BM,

:.AB-AC<2AD<AB+AC

:.-(AB-AC)<AD<-(AB+AC),故③正确;

22

④在AB上截取4V=AC,连接尸N,

・•・A£是角平分线,

:.ZNAF=ZCAF,

在AAFN和AAFC中,

AN=AC

-ZNAF=ZCAF

AF=AF

MFN=AAFC（SAS）,

NF=CF,

在MN/7中，BF-NF<BN,

BN=AB-AN=AB-AC

:.BF-CF<AB-AC,

即AB+B>AC+8F,故④正确；

综上①③④正确.

故选B.

【点睛】

此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画

出辅助线.

6.如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（）

A.1<AD<6B.1<AD<4C.2<AD<8D.2<AD<4

【答案】B

【分析】

先延长AO到E,&AD=DE,并连接BE,由于NAQC=/3DE,BD=DC,利用%S

易证VADCWVEDB,从而可得AC=3E,在八山组中，再利用三角形三边的关系，可

W2<AE<8,从而易求1<AD<4.

【详解】

解：延长4。到E,使A£）=E>E,连接8E,则AE=2AD,

*：AD=DE,ZADC=NBDE,BD=DC,

VADC^VEDB（5A5）,

.•.BE=AC=3,

在△AEB中，AB-BE<AE<AB+BE,

即5-3<24)<5+3,

A1<AT><4.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

7.如图，在“8C中，。为BC的中点，若AC=3,AO=4.则AB的长不可能是（）

【答案】A

【分析】

延长4。到E,使AD=OE,证明AAOC丝然后利用三边关系即可得出结论.

【详解】

解：延长A。到E,使AD=DE=4,连接BE,

E

•.•。是8c的中点,

：.BD=CD

又NBDE=NCDA

:.AADC%AEDB,

，BE=AC=3

由三角形三边关系得，AE-BE<AB<AE+BE

即：5<AB<11

故选：A

【点睛】

此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答

此题的关键.

8.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,AB±BD,AB=5,BD=4,CD=3,点E

是AC的中点，则8E的长为（）.

A.2B.1C.75D.3

【答案】C

【分析】

延长BE交C/）延长线于P,可证△AEBgaCEP,求出。P,根据勾股定理求出BP的

长，从而求出的长.

【详解】

解：延长BE交CD延长线于P,

\'AB//CD,

：.NEAB=NECP,

在4AEB和^CEP中，

'NEAB=ZECP

<AE=CE

NAEB=NCEP

：./XAEB^ACEP（ASA）

：.BE=PE,CP=AB=5

又；。=3,

：.PD=2,

,:BD=4

•*-BP=dDP2+B»=245

：.BE=^BP=^5.

考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等,

依据勾股定理求出BP.

9.在°43b中，BC=2AB,C£>_LA8于点。，点E为A尸的中点，若NADE=50。,

则DB的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【分析】

连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点M根据已知条件和平行四边形的性质可证

明4所以NE=C£,N4=CF，再由已知条件COJ_A8于。，NADE=50。，

即可求出N8的度数.

【详解】

解：连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,

•.•四边形ABCF是平行四边形，

J.AB//CF,AB=C尸，

:./NAE=NF,

•••点E是的AF中点，

：.AE=FE,

在424£和4CFE中，

'2NAE=NF

"AE=FE,

NAEN=NFEC

:.XNAE妾4CFE(ASA),

：.NE=CE,NA=CF,

"：AB=CF,

:.NA=AB,即BN=2AB,

,:BC=2AB,

:*BC=BN,NN=NNCB,

'：CDA.AB于D,即NNDC=9。。且NE=CE,

：.DE=^NC=NE,

：.NN=NNDE=5Q°=NNCB,

.•./B=80。.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅

助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答.

10.如图，AA8C中，。为8c的中点，点E为血延长线上一点，交射线AC

于点尸，连接EF,则8E+CF与EF的大小关系为()

E

A.BE+CF<EFB.BE+CF=EFC.BE+CF>EFD.以上都有可能

【答案】C

【分析】

如图，延长ED到T,使得DT=DE,连接CT,TF,证明△EDBZZ\TDC(SAS),推

出BE=CT,由CT+CF>FT,可得BE+CF>EF.

【详解】

解：如图，延长到T,使得。T=£>E,连接CT,TF.

■：DE=DT,DF1ET,

:.EF=TF,

在AEDB和中，

DB=DC

-ZEDB=Z.TDC,

DE=DT

:ZDB三HDC(SAS),

:.BE=CT,

­.CT+CF>FT,

：.BE+CF>EF,

故选：C.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加

常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

二、填空题

11.如图，AABC中，。为BC的中点，E是A£＞上一点，连接座并延长交AC于E,

BE=AC,且8尸=9,CF=6,那么AF的长度为

3

【答案】

2

【分析】

延长A。至G使AO=OG,连接8G,得出AAS兰AGBO,得出4C=8G=8石，所以

得出AA灯是等腰三角形，根据己知线段长度建立等量关系计算.

【详解】

如图：延长AO至G使AO=QG,连接8G

在AACD和AG8O中：

CD=BD

<ZADC=NBDG

AD=DG

：.MCDwAGBD

:.ZCAD=ZG,AC=BG

9：BE=AC

：.BE=BG

：.4G=/BEG

•:ZBEG=ZAEF

：.ZAEF=ZEAF

，EF=AF

AF+CF=BF-EF

即AF+6=9-EF

【点睛】

倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键.

12.在平行四边形中，E为边的中点，S.ZEAF=ZDAE,AF交射线BC于

点F,若AF=13,CF=3,则BF的长度为

【答案】7或19

【分析】

延长AE交BC的延长线于点G,分两种情况：点F在线段BC上和点F在线段BC的

延长线上，分情况讨论即可.

【详解】

延长AE交BC的延长线于点G,分两种情况：

①如图，

四边形ABCD是平行四边形，

ADMBC,AD=BC.

NG=乙DAE=ZE4F.ZD=NGCE,

:.GF=AF=13,

:.GC=GF-CF=\3-3=\0.

•.•点E为CD边的中点，

:.DE=CE,

ZDAE=^G

在&ADE和AGCE中，，NO=NGCE

DE=CE

:./\ADEs^GCE(AAS),

.-.AD=GC=IQ,

:.BC=IO,

：.BF=BC-CF=7；

②如图,

同理可得GF=AF=13,AAOE三△GCE,

GC=GF+CF^\6,AD=GC=\6,

:.BC=16,

:.BF=BC+CF=\9-,

综上所述，BF的长度为7或19,

故答案为：7或19.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握这些性质并分情况讨

论是解题的关键.

13.在A4BC中，A9是BC边上的中线，若AB=7,AC=5,则49长的取值范围是

【答案】\<AD<6

【分析】

利用中线的性质，作辅助线AD=DE,构造全等三角形AAOB三AEOC(SAS),再有全等

三角形对应边相等的性质，解得C£=A8=7,最后由三角形三边关系解题即可.

【详解】

如图，AD为BC边上的中线，延长AD至点E,使得AD=DE

A

在^ADB和仆EDC中

BD=DC

<ZADB=ZCDE

AD=DE

:.&ADB=AEDC(SAS)

；.CE=AB=7

•：CE-AC<AE<AC+CE

.\7-5<2A£><7+5

/.1<AD<6

故答案为：1<AD<6.

【点睛】

本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点,

掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键.

14.如图，在A4BC中，AO是8C边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6,则BC=

【答案】2屈

【分析】

延长AO到点E,使OE=A£>=6,连接CE,证明合△CED(SAS)CE=4?=5,

NBAD=ZE,再根据勾股定理的逆定理证得NCE£>=90。，即440=90。，然后利用勾

股定理求解即可.

【详解】

延长4。到点E,使£)E=A£>=6,连接CE,

•.•AO是8c边上的中线，

；.BD=CD,

在^ABD和XCED中，

BC=CD

<ZADB=NCDE

AD=DE

^ABD=ACED(SAS),

:.CE=AB=5,NBAD=NCED,

■.■AE=2AD=12,CE=5,AC=13,

CE2+AE2=AC2,

NCED=90°,

:.ZBAD=90P,

：.BD2=AB2+AD2>

:.BD=y/^7^=而,

BC=2BD=2屈.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，做辅助线构造全等三

角形及证得/BAD=NCED=90。是关键.

15.已知△A3C中,AZ)是4A5C的中线,A5=4,AO=5,则边AC的取值范围是.

【答案】6<x<14

【分析】

延长AD至点E,使AD=DE,由全等三角形的判定定理得出4ACD^AEBD,故AC=BE,

再由三角形的三边关系即可得出结论.

【详解】

解：延长AD至点E,使AD=DE,

BD=CD

"ZBDC=NCDA,

AD=DE

.".△ACD^AEBD(SAS),

AAC=BE.

在△ABE中，VAB=4,AE=2AD=10,

10-4<BEC10+4,即6<BE<14,

.,.6<AC<14.

故答案为：6<AC<14.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

是解答此题的关键.

16.如图，在△ABC中，NACB=120。，BC=4,D为AB的中点，DCJ_BC,则点A

到直线CD的距离是.

【答案】4

【分析】

根据垂直的定义得到NBCD=90。，延长CD到H使DH=CD,由线段中点的定义得到

AD=BD，根据全等三角形的性质得到AH=BC=4.

【详解】

DCXBC,

ZBCD=90°,

,/ZACB=120°,

ZACD=30°,

如图，延长CD到H使DH=CD,

,/D为AB的中点，

AD=BD,

在AADH与ABCD中，

CD=DH

•AADH=NBDC,

AD=BD

：.AADH=ABCD(SAS),

AH=BC=4,ZAHD=ZBCD=90°,

...点A到CD的距离为4,

故答案为：4.

【点睛】

本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键.

17.如图，平行四边形ABCD,点F是BC上的一点，连接AF,NFAD=60。，AE平

分NFAD,交CD于点E,且点E是CD的中点，连接EF,已知AD=5,CF=3,则

EF=_.

【答案】4

【分析】

延长AE,BC交于点G,判定AADE丝Z\GCE,即可得出CG=AD=5,AE=GE,再

根据三线合一即可得到FE1AG,进而得出RtAAEF中，EF=-AF=4.

2

【详解】

解：如图，延长AE,BC交于点G,

•••点E是CD的中点，

；.DE=CE,

；平行四边形ABCD中，AD/7BC,

.♦.ND=NECG,

又；NAED=/GEC,

.".△ADE^AGCE,

；.CG=AD=5,AE=GE,

又：AE平分/FAD,AD//BC,

NFAE=/DAE=NG=-ZDAF=30°,

2

；.AF=GF=3+5=8,

又；E是AG的中点，

.\FE±AG,

在RtAAEF中，NFAE=30°,

.\EF=-AF=4,

2

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的

综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等,

对应角相等进行推算.

18.如图，AB\\CD,ZBCD=90°,A8=1,8C=CD=2,E为AD上的中点，贝UBE=

【答案】立

2

【分析】

延长BE交CD于点F,证VABfgVDFE,则BE=EF=；BF,故再在直角三角形BCF

中运用勾股定理求出BF长即可.

【详解】

解：延长BE交CD于点F,

：AB平行CD,则/A=/EDC,NABE=/DFE,

又E为AD上的中点，，BE=EF,

所以

BE=EF=-BF,AB=DF=\

2

：.CF=\

在直角三角形BCF中，BF=7P7F=>/5.

BE=-BF=—.

22

【点睛】

本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.

19.如图，在矩形A8CD中，E,尸分别为边8,AO的中点，CF与EA、EB分别交

于点例、N.已知A8=8,8c=12,则MN的长为.

【答案】I

【分析】

延长BE,A。交于Q,已知4?=8,8c=12,则CF=Jc。2+DF2=10，因为E为CD

中点，即可得AQDE/ABCE（A4S）,通过AQVFSABNC,根据对应边成比例可得FN、

CN的长；同理延长CF,交于点W,即可求出CM的长，即可得MN.

【详解】

解：延长8E,AD交于Q,

.•.々4)=90°,AD=BC=\2,AD/IBC,

•.•/为中点，:.DF=AF=6,

在HACOE中，CD=AB=8,

由勾股定理得：CF=\/CD2+DF2=10>

VADIIBC,NQ=NEBC,E为CO中点，8=8,

:.DE=CE=4,

NDQE=ZCBE

在&QDE与ABCE中，，ZDEQ=NCEB,

DE=CE

：.AQDE^ABCE(AAS),

ADQ=BC=\2,即QF=r>Q+。尸=18,

♦：ADIIBC,:・bQNFsmNC,:.曳="=>

CNBC2

32

VCF=70,AFN=-CF=6fCN=-CF=49

延长CT,8A交于点W,

D

・・•尸为D4中点，:・DF=AF,

VAWF=ZDCF

在A4FW与\DFC中，'乙4尸W=ZDFC

AF=DF

：.MFW^ADFC（A4S）,AAW=CD=8,

：.BW=BA+AW=16fCF=NF=10,

ACW=20,VABHCD,：.ACME^AWMA,

WMAW233

:.MN=FN+CM-CF

=6+上0

8

=3f

Q

即MN的长度为%

【点睛】

本题考查全等三角形、相似三角形的判定与性质相结合，注意构造辅助线构造8字型全

等及相似是解题的关键，属于中等偏难题型.

20.如图，在正方形A8C。中，MV分别是A。、BC边上的点，将四边形A8MW沿直

线MN翻折，使得点4、8分别落在点4、9处，且点8'恰好为线段C。的中点，A'B'

交于点G,作DPLMN于点P,交4ZT于点Q.若AG=4,则PQ=

B

N

【答案】运

5

【分析】

根据中点这个条件考虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形,

综合等腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方

形的边长，最后利用三角函数值快速求解.

【详解】

如图，连接B8B'，延长N8'、交于点尸，则△CNB0AFDB',

ZCB'N=ZFBD=NOGS',

根据翻折的性质可得AFMN为等腰三角形，ZEFM=ZEFN,

作尸E_LMN于点E,设DB=B，C=x,则正方形边长为2x,

553

则BB'=MN=>/5X,BN=X,FM=FN=-X,CN=FD=-X,

XX11Y

DG=2x-4,GM=4——,AM=A'M=-,FG=---4

444

,24上

由△AMGs4FB'G,得鲁=当，则袅=777^-，解得％=6,

卜BFG21"4

~47一

15921

则B'C=6,8'N=—,CN=—,DG=8,OM=—,

222

.\PD=^-DM=^~

55

B'C1

设NCBH=ZNFE=ZMFE=/MDP=a,则tana=——=-,

BC2

NC3

设4CB'N=4DGB'=。,则tan£=^=二，

BC4

此时作。〃J_GO,GH;普,DH=^,

tanptana

W^+3-=8=QH=£,则QO=&H=^^,

tan/tana5上丫上5

9J5

・•.PQ=PD-DQ=-^~

故答案为：处.

5

H

【点睛】

本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，及三角函数的应用，

综合性比较强，难度较大，熟练掌握做辅助线的方法是解决问题的一个关键点，再有就

是结合图中构造出的全等或相似，准确列式计算也是本题的一个关键点.

三、解答题

21.课堂上，老师出示了这样一个问题：

如图1,点。是AA8C边BC的中点，A8=5,AC=3,求AO的取值范围.

图1图2

(1)小明的想法是，过点B作交AD的延长线于点E,如图2,从而通过构造

全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；

(2)请按照上述提示，解决下面问题：

在等腰心AABC中，NB4C=90。，AB=AC,点。边4c延长线上一点，连接B。，过

点A作于点E,过点A作且AF=AE,连接EF交BC于点G,连

接CF,求证BG=CG.

【答案】(1)1VADV4；(2)见解析

【分析】

(1)根据已知证明进而求得AC=8E,根据三角形三边关系即可求

得AO的取值范围；

(2)过点8作。交房的延长线于M,证明VABEAAB,得CF=BE,再证

明8M=CE,进而证明△5MG2△CFG,即可证明8G=CG

【详解】

(1)\BEHAC

:.ZE=ZEAC

・・・Z.BDE=ZADC,BD=CD

・•・ABDE^AADC

・•.AC=BE=3

・；AB-BE<AEvAB+BE,即2v2AD<8

/.1<A£><4

(2)如图，过点8作//EC交正的延长线于历，

・•,Z2=Z3

•・,AF=AE,AF±AE,

/.Z4=ZAEF=45°,

・•・Zl=180o-ZA£B-ZA£F=180o-90o-45o=45°,

•/AB=AC,AE=AF^BAC=NEAF=90°

・•・ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC

即NBAE=NC4/

•・VABE^VACF

:.CF=BE,ZAEB=ZAFC=90°

/.Z3=90o-Z4=45°

•/NAEF=Z3=Z4=45°,AE_LBD

.-.Z2=Z3=Z1=45O

:.BE=BM

BM=CF

又•；4BGM=ZCGF,

ABMG^ACFG

BG=CG

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角

形全等的性质与判定是解题的关键.

22.(1)阅读理解：如图1,在AABC中，若A8=10,BC=8.求AC边上的中线BO

的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长80至E,使。£=80,连接CE.利用全

等将边A5转化到CE,在4BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，

在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是;中线BD的取值范围

是.

(2)问题拓展：如图2,在AA8C中，点。是AC的中点，分别以AB,为直角边

向4ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中NA5M=NNBC=

90°,连接探索8。与MN的关系，并说明理由.

图2

【答案】(1)SAS；\<BD<9i(2)2BD=MN,BDLMN,理由见详解

【分析】

(1)由SAS证明AAB。也△(?££>得出CE=AB=10,在ACBE中，由三角形的三边关

系即可得出结论；

(2)延长BO至E,使£>E=2。，连接CE,由(1)得：&ABD公XCED,由全等三角

形的性质得出AB=CE,证出/BCE=NMBN,证明△BCE丝ANBM得

出BE=MN,NEBC=NMNB,则2BD=MN.延长DB交MN于G,证出NBGN=90。，

得出BDLMN.即可.

【详解】

（1）解：•・•8。是AC边上的中线,

:.AD=CD,

在△48。和4CED中，

AD=CD

<ZADB=/CDE,

BD=ED

:・4ABDqACED(SAS),

：.CE=AB=IO1

在△C5E中，由三角形的三边关系得：CE-BC<BE<CE-BC,

A10-8<AE<10+8,即2VBEV18,

：.\<BD<9；

故答案为：SA5；\<BD<9；

(2)解：2BD=MN,BDLMN,理由如下：

延长80至£使DE=BD,连接CE,如图所示：

E1

由(1)得：2ABD注/\CED,

・・・NA8O=NE,AB=CE,

ZABM=NNBC=900,

：.ZABC+NM8N=180。，即ZABD+ZCBD+NM5N=180。,

VZE+ZCBD+ZBCE=180°,

:・NBCE=NMBN,

•••△48M和^BCN是等腰直角三角形，

：.AB=MB,BC=BN,

:・CE=MB,

在△8CE和△N8M中,

CE=BM

-NBCE=NMBN,

BC=NB

：./\BCE经4NBM(.SAS),

:.BE=MN,NEBC=NMNB,

；.2BD=MN.

延长。8交MN于G,

VZ7VBC=90°,

:.NEBC+NNBG=90°,

；./MNB+NNBG=90。,

:.NBGN=90。,

：.BD±MN.

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰

直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明

三角形全等是解决问题的关键.

23.(1)如图1,已知AABC中，40是中线，求证：AB+AC>2AD；

(2)如图2,在AABC中，D,E是8c的三等分点，求证：AB+AC>AD+AEt

(3)如图3,在AABC中，D,E在边BC上，且BD=CE.求证：AB+AC>AD+AE.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析

【分析】

(1)利用“倍长中线''法，延长A£>,然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；

(2)取DE中点H,连接AH并延长至。点，使得连接QE和QC,通过“倍

长中线”思想全等证明，进而得到A8=CQ,AD=EQ,然后结合三角形的三边关系建立不

等式证明即可得出结论：

(3)同(2)处理方式一样，取。E中点M,连接AM并延长至N点，使得

连接NE,CE,结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证

明即可得出结论.

【详解】

证：(1)如图所示，延长A。至P点，使得=P。，连接CP,

・・・AD是△A3C的中线，

・・・。为BC的中点，BD=CD,

在△48。与△尸C。中，

BD=CD

,NADB=/PDC

AD=PD

：.△ABDgAPCD(SAS),

：.AB=CPf

在AAPC中，由三边关系可得AC+POAP,

：.AB+AC>2AD；

A

A

P

(2)如图所示，取DE中点H,连接A〃并延长至Q点，使得A”二Q〃，连接。石和

QC

•・・H为DE中点,D、E为BC三等分点、,

:・DH=EH,BD=DE=CE,

:・DH=CH,

在△4班/和4QC”中，

BH=CH

vZBHA=4CHQ

AH=QH

：.△△QCH(SAS),

同理可得：

：・AB=CQ,AD=EQ,

此时，延长AE,交CQ于K点、,

'：AC+CQ=AC+CK-^QKfAC+CK>AKf

：.AC+CQ>AK+QK1

又•：AK+QK=AE+EK+QK,EK+QK>QE,

：.AK+QK>AE+QEf

：.AC+CQ>AK+QK>AE+QEf

U

：AB=CQ9AO二£。，

：.AB+AC>AD+AE-,

Q

(3)如图所示，取OE中点M,连接AM并延长至N点，使得AM=NM,连接NE,CE,

为DE中点,

：.DM=EM9

•:BD=CE,

；・BM=CM,

在△A3M和ANCM中，

BM=CM

<ZBMA=NCMN

AM=NM

：.XABMQ△NCM(SAS),

同理可证4ADM妾ANEM,

:.AB=NC,AD=NE,

此时，延长AE,交CN于T点，

■:AC+CN=AC+CT+NT,AC+CT>AT,

：.AC+CN>AT+NTf

又•；AT+NT=AE+ET+NT,ET+NT>NE,

：.AT+NT>AE+NEf

：.AC+CN>AT+NT>AE+NEf

•:AB=NC,AD=NE,

：.AB-^-AC>AD^AE.

A

【点睛】

本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练

运用三角形的三边关系是解题关键.

24.定义：如果三角形三边的长a、b、c满足"g=那么我们就把这样的三角

形叫做“匀称三角形如：三边长分别为1,1,1或3,5,7,…的三角形都是“匀称

三角形

（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6,则第三边长为.

（2）如图，^ABC^>,AB=AC,以A8为直径的。。交BC于点D,过点D作DFLAC,

垂足为尸，交A5的延长线于E,求证：EF是。。的切线；

（3）在（2）的条件下，若B爰E=弓5，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由.

CF3

【答案】（1）5或8；（2）见解析；（3）AAEF是“匀称三角形”，见解析

【分析】

（1）设第三边长为x,利用“匀称三角形”的定义，列出方程，但是由于+等

式中，4,6,x均有可能为等式右边的所以需要分三类讨论，最终确定下来的三

边长必须满足“三角形两边之和大于第三边“，故最终答案为5或8；

（2）要证明EF为。。切线，连接。。，由于。。是。。半径，只需要证明ODJLEF,

又由于。口_LAC,所以只需要证明QD//AC,又由于。为A8中点，只需要证明。为BC

的中点，因为AB是。。直径，所以又因为A8=AC,所以。为8c的中点，

即可证明；

（3）因为。为8c的中点，仿照“中线倍长”模型，过8作所于如图2,或

者在DE上截取DM=DF,构造ABMD*CFD，所以8M=CF,将r=:转化成生；

CF3BM3

Apnrs

因为BM//AC,所以ABEMS^AEF,可以得至」1大=二7=：7,设A£=5X,则AF=3X,

A.FBM3

利用勾股定理求出EF=4x,满足定义，即可证明.

【详解】

解：(1)解：设第三边长为x,

①当4+：+x=6时,解得了=8,

②当安尹=苫是，解得*=5,

③当土宇=4时，解得x=2,

・/2+4=6,

「•当三边长为2,4,6时，不能构成三角形，所以③舍去，

故答案为