浙江省杭州市天门华泰中学2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析

浙江省杭州市天门华泰中学2021-2022学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集则图中阴影部分表示的集合为（）A

BC

D参考答案：B略2.如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是

A．

B．

C．

D．参考答案：A3.若则等于（

）A. B. C.

D.参考答案：D4.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】将函数用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立的不等量关系，即可求解.【详解】，在区间上是增函数，，.当时，取得最大值，而在区间上恰好取得一次最大值，，解得，综上，.故选:D.【点睛】本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题.5.

是等差数列的前n项和，且，则k的值是A．2

B．11

C．4

D．12参考答案：答案：C6.已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则椭圆E的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C7.函数的零点个数为（

）A．3 B．0 C．1 D．2参考答案：D当时，由，得；当时，由，得，则的零点个数为2．8.已知实数满足，如果目标函数的最小值是，那么此目标函数的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C

9.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A.90

B.129

C.132

D.138参考答案：D

10.已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若=x+y，则xy的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：D【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用已知条件推出x+y=1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若=x+y，可得x+y=1，x，y∈[，]，则xy≤=，当且仅当x=y=时取等号，并且xy=x（1﹣x）=x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x=，当x=或x=时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：[，]．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝}，则M∩N＝_______．参考答案：[1,＋∞12.△ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c,若，则△ABC的面积为_______参考答案：【分析】由正弦定理可以化简，利用面积公式求出的面积.【详解】由正弦定理得，所以，从而.【点睛】本题考查了正弦定理、面积公式，正确使用公式是解题的关键.13.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,则三棱柱ABC—A1B1C1外接球的表面积是

；参考答案：14.曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为

．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．15.某地区3月1日至30日的天气情况及晚间空气湿度统计如下表，比如，根据表中数据可知3月1日无雨，且当日晚间空气相对湿度等级为C．若气象工作者根据某天晚间的相对湿度等级预报第二天有雨的概率，则3月31日有雨的概率为_______．参考答案：16.复数（其中是虚数单位）的虚部为 .参考答案：17.已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=

．参考答案：1【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα?tanβ的值，从而求得tan（α+β）的值．【解答】解：由题意lg（6x2﹣5x+2）=0，可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，∴tanα+tanβ=，tanα?tanβ=，∴tan（α+β）===1．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．参考答案：【考点】数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）．即an+Sn=c，结合数列中an与Sn关系求出数列{an}的通项公式后再证明．（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知an+Sn=fk（n）考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．【解答】（Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且当n≥2时，an+Sn=2，①an﹣1+Sn﹣1=2，②①﹣②得2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．若an=0，则an﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），当n≥2时，an+Sn=bn+c，③an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④③﹣④得2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b﹣d（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），当n≥2时，an+Sn=pn2+qn+t，⑤an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥⑤﹣⑥得2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，考虑到a1=1，所以an=1+（n﹣1）?2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2pn﹣2p+1（n∈N*），此时f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．（4）当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．【点评】本题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力．19.（15分）已知函数（）．（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．参考答案：．

1分

因为为的极值点，所以．

2分

即，解得．

3分

又当时，，从而的极值点成立．

4分（2）由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，由于，

5分所以令则在区间上都有解

6分由知>0一定有解，又对称轴为<1，

因此只要即可，

8分由可得∵

∴综上所述，的取值范围为．

10分（3）若时，方程可化为，．

问题转化为在上有解，

即求函数的值域．

12分因为，令，

则

，

13分

所以当，从而上为增函数，

当，从而上为减函数，

14分

因此．

而，故，

因此当时，取得最大值0．

15分20.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；.（Ⅲ）试题分析：（Ⅰ），对a进行分类讨论：当时，，则函数的单调递减区间是.当时，令，得.的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）因为存在两条直线，都是曲线的切线，所以至少有两个不等的正实根，令得，记其两个实根分别为.则解得.再说明当时，曲线在点处的切线分别为，是两条不同的直线即可；（Ⅲ）只需分类讨论.试题解析：（Ⅰ）.

………………1分

当时，，则函数的单调递减区间是.

………………2分 当时，令，得. 当变化时，，的变化情况如下：↘极小值↗ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是.………………4分（Ⅱ）因为存在两条直线，都是曲线的切线，所以至少有两个不等的正实根.

………………5分令得，记其两个实根分别为.则解得.

………………7分当时，曲线在点处的切线分别为，.令.由得（不妨设），且当时，，即在上是单调函数.所以.所以，是曲线的两条不同的切线.所以实数的取值范围为.

………………9分（Ⅲ）当时，函数是内的减函数. 因为， 而，不符合题意.

………………11分当时，由（Ⅰ）知：的最小值是.（ⅰ）若，即时，，所以，符合题意.（ⅱ）若，即时，.所以，符合题意.（ⅲ）若，即时，有.因为，函数在内是增函数，所以当时，.又因为函数的定义域为，所以.所以符合题意.综上所述，实数的取值范围为.

………………14分考点：导数与函数的综合21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（1）求椭圆C的方程．（2）求证：AP⊥OM．（3）试问：?是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据离心率和点在椭圆上，列方程解得即可，（2）设直线BM的斜率为k，直线BM的方程为：y=k（x﹣4），设P（x1，y1），与椭圆方程联立可得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣16=0，解得x1，x2．可得P坐标，由y=k（x﹣4），解得M（﹣4，﹣4k），只要证明AP?OM=0，即可得出．（3）利用数量积运算即