点、线、面知识点

点、直线、平面之间的位置关系、本章知识结构、知识点1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母a、B、丫等表示，如平面a、平面p；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。2.点与直线、平面的位置关系如下表：点A在直线a上（或直线a经过点A）AS兀素与集合间的关系点A在直线a外（或直线a不经过点A）A电a点A在平面a内（或平面a经过点A）AUa点A在平面a外（或平面a不经过点A）A电a3.平面基本性质：公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.语言表示：若AUa,BUa,且AUa,B^a,贝I」aua.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.用符号语言表示为：PUa,且Pup=aAp=1,且Pul.平面的基本性质”小结：利用三个公理证明共面、共线、共点问题.名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据4.空间的两条直线的三种位置关系：相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;、异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点.(1)异面直线的画法常用的有下列三种：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：a#b,b〃c=a〃c.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.两条异面直线所成的角：异面直线a、b,在空间中任取一点0,过点O分别引a‘〃a,b'#b，则a',b'所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°];若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.5.空间中直线与平面之间的3种位置关系：相交:有且只有一个公共点平行:没有公共点、直线在平面内：有无数个公共点直线在平面内auaL7直线与平面相交ana=A直线与平面平行a〃an6.平面与平面之间的位置关系没有公共点.若anp=没有公共点.若anp=0，则a〃卩.有一条公共直线.若anp=AB,则a与卩相交.图2 图3两个平面相交直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.1符号语言为：bumd〃匕直线与平面平行的性质：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任直线与平面平行的性质：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任符号语言为： -I.pAa=bJ平面与此平面的交线与该直线平行.图形语言为：图形语言为：平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，则这两个平面平行。aup符号语言：bu卩ab=P»na//Pa//ab//a图形语言为：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。平面与平面平行的性质：（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.a〃卩、符号语言表示为：aC丫=a>na〃b.Pny=b图形语言表示为：注意：应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；线面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下：如图：表示方法为：a丄a. 幺直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.符号语言为：1丄a 1丄a.1丄bab=P图形语言为：直线和平面所成的角：斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足：斜线和平面的交点.斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°.直线和平面垂直的性质：（1）垂直于同一个平面的两条直线平行简记为线面垂直、线线平行.a丄a]符号语言为：b丄aFb〃a（2）直线和平面垂直，则直线和平面内任何一条直线都垂直.aua]b±aj=b丄1.二面角的有关概念.（1）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.面角常用直立式和平卧式两种画法：图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB,面为a、卩的二面角，记作二面角a-AB-卩.有时为了方便也可在a、卩内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱为1,则这个二面角记作a-l-p或P-1-Q.2）二面角的平面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做面角的平面角.图中的ZAOB,厶OB，都是二面角a-l-p的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角。平面角是直角的二面角叫做直二面角.直二面角的画法：如图5.16.两个平面垂直的判定定理.一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号表述为：AB丄符号表述为：AB丄BABuana±p.图形表述为：17.两个平面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.a丄卩 、ABua符号语言为：aC卩=CD>nAB丄0.AB丄CDABCCD=B图形语言为：三、例题1.如图所示，已知空间四边形ABCD,M、N分别是AB、BC的中点，P、Q分别是CD三、例题1.如图所示，已知空间四边形ABCD,M、N分别是AB、BC的中点，P、Q分别是CD、AD上的点，且DP二3DC,DQ二3DC求证：（1）M、N、P、Q四点共面;-）三直线BD、NP、MQ共点。2.如图，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=^AD，求异面直线AD和BC所成的角.解：设G是AC中点，连接EG、FG11因E、F分别是AB、CD中点，故EG〃BC且EG=2BC,FG〃AD,且FG=-AD由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角,即ZEGF为所求.1仆 J-由BC=AD知EG=GF=-AD，又EF=2AD,由勾股定理可得ZEGF=90°.3•如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对 ./丁DE\C. d答案：三4.下图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（ ）A.®③ B.①④ C.②③ D.®©答案：D三棱柱的各面把空间分成几部分?解：分为21部分.正方体的各面把空间分成几部分?两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MUAC,N^FB，且AM=FN,求证：MN〃平面BCE。证明：直线EE//平面面BCE。证明：直线EE//平面FC.1E、E「F分别是棱AD、AAi、8•如图，在直四棱柱ABCD-A1B19.如图9.如图，已知点P为平面ABC外一点，PA丄BC,PC丄AB，求证：PB丄AC.证明：过P作PO丄平面ABC于O,连接OA、OB、OC.•・PO丄平面ABC,BCu平面ABC,APOXBC.又：卩人丄BC,.・・BC丄平面PAO.又TOAu平面PAO,.・・BC丄OA.同理，可证AB丄OC,・・O是△ABC的垂心..•.OB丄AC.可证PO丄AC..AC丄平面PBO.又PBu平面PBO,.・・PB丄AC.10•如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A”和平面A^CD所成的角.

11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为Cq的中点,求证：A]O丄平面GBD.A1A丄BDInBD丄平面AAO证明：AC丄BDI 1UBD丄A]O.AOu面AAO11又VA1O2=A1A2+AO2=a2+(芈a)2=；a2g=OC2+CG2=(芈aUBD丄A]O.AOu面AAO11a9A1G2=A]C12+C1G2=(2a)2+(—)2=—a2,.A1O2+OG2=A1G2..•・A]O丄OG.又BDnOG=O,.・・A]O丄平面GBD.12.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m,定长为n(n>m)的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.求证：(1)AB丄MN；(2)MN的长是定值.证明：⑴取PB中点H,连接HN,则HN#b.又VAB丄b,.AB丄HN.同理,AB丄MH..AB丄平面MNH..AB丄MN.b丄AB\(2)V \nb丄平面PAB.AbXPB.b丄aI在RtAPBQ中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2,在Rt^PBA中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2,①②两式相加PA2+BQ2=n2-m2,Va^b,.•.NMHN=90°..•・MN=JMH2+NH2=.'(PA)2+(BQ)2=1vn2-m2(定值).22213.如图，已知PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN丄CD；若ZPDA=45。，求证:MN丄面PCD.1证明：⑴取PD中点E,又N为PC中点，连接NE,则NE〃CD,NE=2CD.1又TAM〃CD,AM=-CD,.•AM上NE.・•・四边形AMNE为平行四边形..•・MN〃AE.PA丄平面ABCD] CD丄PA1 十=, >n >nCD丄平面ADP•:CDu平面ABCDJ CD丄ADJ >nCD丄AE.AEu平面ADP⑵当ZPDA=45。时,RtAPAD为等腰直角三角形，则AE丄PD.又MN〃AE,.MN丄PD,PDACD=D..•・MN丄平面PCD.14.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,(1)求证：BD]丄平面B]AC;A B(-)求B到平面B1AC的距离.A B证明：•：AB±B1C,BC1±B1C,AB1C±面ABC]D].又BD1u面ABC1D1,AB1C±BD1.•.•B]B丄AC,BD丄AC,.AC丄面BB]D]D.又BD1u面BB1D1D,.\AC±BD1..•.BD]丄平面B]AC.解:：OUBD,.•.连接OB]交BD1于E.又OUAG^OB]u面B]AC..•・BE丄OE,且BE即为所求距离.BE_BDBE_BD1BD,.・・BE=——BD12a 2 3•OB=•a_a.3a2 315.如图，把等腰Rt^ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC,求证：平面ABD丄平面ABC；求二面角CBDA的余弦值.证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO丄平面ABC,O为垂足，则OA=OB=OC..•・O是厶ABC的外心，即AB的中点..•.OUAB，即OU平面ABD..•・ODu平面ABD..•・平面ABD丄平面ABC.解:取BD的中点E,连接CE、OE、OC,•:△BCD为正三角形，.・CE丄BD.又BOD为等腰直角三角形,.・・OE丄BD.•••AEC为二面角CBDA的平面角.同(1)可证OC丄平面ABD..•・OC丄OE..ACOE为直角三角形.

设BC=a，则CE仝a,210E=2a，OE/.coszdOEC= CE16.已知二面角a-AB-P设BC=a，则CE仝a,210E=2a，OE/.coszdOEC= CE求CD与平面P所成的角.解：如图，作CO邛交P于点O,连接DO,贝I」MCDO为DC与P所成的角.过点O作OE丄AB于E,连接CE,贝I」CE丄AB.•••"CEO为二面角a-AB-P的平面角，即"CEO=45°.设CD=a,贝I」CE=~Ta,VCO±OE,OC=OE,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"CO1.•.CO=ma.VCO±DO,/sin"CDO= 二.CD2.•・"CDO=30。,即DC与P成30°角.17.如图，ABCD是菱形，PA丄平面ABCD,PA=AD=2,ZBAD=60°.求证：平面PBD丄平面PAC；求点A到平面PBD的距离；求二面角APBD的余弦值.(1)证明：设AC与BD交于点O,连接PO,••底面ABCD是菱形,「.BD丄AC.•・PA丄底面ABCD,BDu平面ABCD,/的PA丄BD.又PAAAC=A,.・・BD丄平面PAC.又VBDu平面PBD,.•.平面PBD丄平面PAC.(2)解：作AEXPO于点E,：•平面PBD丄平面PAC.AE丄平面PBD./•AE为点A到平面PBD的距离.在厶PAO中,PA=2,AO=2cos30°=73,ZPAO=90°,iVPO=、PA2+AO2,.AE=PA•AO2,3 2,21PO・••点A到平面PBD的距离为2^217(3)解：作AFXPB于点F连接EF,•AE丄平面PBD,/・AE±PB..•・PB丄平面AEF,PB±EF../ZAFE为二面角APBD的平面角.在RtAAEF中,AE=•sinZAFE=竺=匡,cosZAFE=｝（空）2巨AF7 \ 7 7

・•・二面角APBD的余弦值为¥18•如图，PA肋矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN〃平面PAD；求证：MN丄CD；若二面角PDCA=45°,求证：MN丄平面PDC.证明：11(1)取PD的中点Q,连接AQ、NQ,则QN-DC,AM-DC,.•・QNAM.••・四边形AMNQ是平行四边形..\MN#AQ.又".MN0平面PAD,AQu平面PAD,.MN〃平面PAD.・.*PA丄平面ABCD,.\PA丄CD.又TCD丄AD,PAnAD=A,.・CD丄平面PAD.又TAQu平面PAD,.\CD丄AQ.又•・AQ#MN,.MN丄CD.由(2)知，CD丄平面PAD,•CD丄AD,CD±PD./.ZPDA是二面角PDCA的平面角..•・ZPDA=45°.又*ZPA±平面ABCD,Z.PAXAD./.AQXPD.又..MN/AQ,.MN丄CD.又•.•MNXPDJMN丄平面PDC.19.如图，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C'，且C在面ABC内的射影O恰好落在AB上.((1)(2)(3)(1)求证：AC'XBC'；求AB与平面BC'D所成的角的正弦值；求二面角CBDA的正切值.证明：由题意，知C'O丄面ABD,・・COuABC',.•