动点问题最小值典型练习

动点问题最小值典型练习一．解答题（共25小题）1.如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值。解：首先画出图形，观察题目要求。由于是求最小值，因此可以考虑使用三角不等式。根据三角不等式，有PB+PM≥BM，因此要使PB+PM最小，就要使BM最小。由于M是BC边上的中点，因此BM=BP-PM=2-PM，所以要使BM最小，就要使PM最大，即P点到BC边的垂线段PE最大。因此，可以将△APE看作一个直角三角形，根据勾股定理，可得PE=√3/2，即PB+PM的最小值为2-PE=2-√3/2。2.如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两个动点，且BE=DF。试猜想并证明AE与CF的关系。解：根据题目条件，可以画出如下图形：由题目可知，BE=DF，因此△BDE≌△CDF，进而可得∠BDE=∠CDF。又因为AE和CF都是△ABC的高，因此可以得到AE/CF=AB/BC。根据正弦定理，有AB/BC=sin∠BAC/sin∠ABC，因此可以得到AE/CF=sin∠BAC/sin∠ABC。又因为∠BAC=∠BDE+∠CDF，∠ABC=180°-∠BDE-∠CDF，因此可以得到AE/CF=sin(∠BDE+∠CDF)/sin(180°-∠BDE-∠CDF)=sin∠BDE/sin∠CDF。由于△BDE≌△CDF，因此可以得到sin∠BDE=sin∠CDF，即AE/CF=1，因此AE=CF，即AE与CF相等。3.在矩形ABCD中，P为AB上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求证：PE+PF为定值。解：首先画出图形，观察题目要求。由于P是AB上的动点，因此可以将P点的坐标设为(x,y)，则PE的长度为√(x^2+y^2)。又因为P点在AB上，因此可以将P点的坐标表示为(x,2-x)，则PF的长度为√[(2-x)^2+y^2]。因此，PE+PF=√(x^2+y^2)+√[(2-x)^2+y^2]。为了证明PE+PF为定值，需要证明√(x^2+y^2)+√[(2-x)^2+y^2]为定值。为了方便计算，可以将其平方，即(x^2+y^2)+(2-x)^2+y^2+2√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]=2x^2+2y^2+4-4x+2√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]。由于根号内的部分不易简化，因此可以使用求导的方法求出其最小值。对上式求导，得到2x-4+2[x(x-4)+y^2]/√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]=0。整理可得2x-4=2[x(x-4)+y^2]/√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]，即(2x-4)√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]=2[x(x-4)+y^2]。平方可得4(x-2)^2(x^2+y^2)=4[x(x-4)+y^2]^2，即(x^2+y^2)+(2-x)^2+y^2+2√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]为定值，因此PE+PF为定值。4.如图，△ABD、△BCD都是等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足DE=CF。求证：BE=BF。解：根据题目条件，可以画出如下图形：由于△ABD、△BCD都是等边三角形，因此可以得到AB=BD=CD。又因为DE=CF，因此可以得到△AED≌△CFD，进而可得∠AED=∠CFD。又因为AE和CF都是△ABC的高，因此可以得到AE/CF=AB/BC。根据正弦定理，有AB/BC=sin∠BAC/sin∠ABC，因此可以得到AE/CF=sin∠BAC/sin∠ABC。又因为∠BAC=∠AED+∠CFD，∠ABC=180°-∠AED-∠CFD，因此可以得到AE/CF=sin(∠AED+∠CFD)/sin(180°-∠AED-∠CFD)=sin∠AED/sin∠CFD。由于△AED≌△CFD，因此可以得到sin∠AED=sin∠CFD，即AE/CF=1，因此AE=CF。又因为BE和BF都是△ABD的高，因此可以得到BE/BF=AE/CF=1，因此BE=BF。5.已知等边△ABC中，D是BC边上的动点，∠EDF=60°。求证：△BDE∽△CFD。解：首先画出图形，观察题目要求。由于是求相似三角形，因此可以使用角度相等和对应边成比例的条件。根据题目条件，可以得到∠EDF=60°，因此∠BDC=60°。又因为△ABC是等边三角形，因此∠ABC=60°，进而可得∠ABD=∠CBD=30°。根据正弦定理，有BD/AB=sin∠ABD/sin∠BAD=sin30°/sin120°=1/2，因此BD=AB/2。又因为∠BDC=60°，因此可以得到DC=BD。因此，可以得到△BDE∽△CFD，且比例尺为2:1。6.如图，等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE。求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AE∥BC。解：首先画出图形，观察题目要求。由于是求相等的三角形和平行的关系，因此可以使用等角和对应边成比例的条件和平行线之间的性质。根据题目条件，可以得到△EDC是等边三角形，因此∠CED=60°。又因为AC和BD都是△ABC的高，因此可以得到AC/BD=AB/BC=√3。根据正弦定理，有AC/AB=sin∠CAB/sin∠ABC=sin60°/sin60°=1，因此可以得到AC=AB。又因为∠ACE=∠BCD=60°，因此可以得到△ACE≌△BCD。又因为AE和BC都是△ABC的高，因此可以得到AE/BC=AC/AB=1，因此AE∥BC。7.如图，在锐角三角形ABC中，BC=4√2，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值。解：首先画出图形，观察题目要求。由于是求最小值，因此可以考虑使用三角不等式。根据三角不等式，有CM+MN≥CN，因此要使CM+MN最小，就要使CN最小。又因为BD平分∠ABC，因此可以得到∠CBD=22.5°，进而可得∠BCD=67.5°。根据正弦定理，有BC/sin∠BCD=BD/sin∠CBD，因此可以得到BD=4√2sin22.5°/sin67.5°=2√2(2+√3)。又因为CN=BC-BD=4√2-2√2(2+√3)=2(2-√3)，因此CM+MN的最小值为2(2-√3)。8.如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上。求PC+PD的最小值。解：首先画出图形，观察题目要求。由于是求最小值，因此可以考虑使用三角不等式。根据三角不等式，有PC+PD≥CD，因此要使PC+PD最小，就要使CD最小。又因为C、D是直径AB同侧圆周上的两点，因此可以得到∠ACD=96°，∠ABD=36°，进而可得∠CAD=60°。根据正弦定理，有CD/AC=sin∠CAD/sin∠ACD=sin60°/sin96°，因此可以得到CD=2Rsin60°sin96°/sin36°。因此，PC+PD的最小值为CD=2Rsin60°sin96°/sin36°。9.如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8。当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？解：首先画出图形，观察题目要求。由于是求最小值，因此可以考虑使用面积最小原理。根据题目条件，可以得到EC+CF=8，因此可以得到EF≥8。由于B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，因此可以将E、F的坐标表示为(16-x,x)和(8-x,12)，其中0≤x≤8。根据海伦公式，△AEF的面积为S=√[p(p-EC)(p-EF)(p-FE)]，其中p=(EC+EF+FE)/2=8+x。因此，S=√[(8+x)x(8-x)(16-2x-x)]。为了求出S的最小值，需要对其求导。对S求导，得到S'=-4(x-4)(x-2)/√[(8+x)x(8-x)(16-2x-x)]。因此，S在x=2或x=4时取得最小值，最小值为S=16。10.已知点A的坐标为（2，），动点P在直线y＝1/2x−3上，求使△PAO为直角三角形的点P的坐标。解：首先画出图形，观察题目要求。由于要使△PAO为直角三角形，因此可以使用勾股定理。设P点的坐标为(x,1/2x-3)，则△PAO为直角三角形的充分必要条件是PA^2+AO^2=PO^2。因此，可以得到(x-2)^2+(1/2x-3)^2=PO^2。又因为PO的斜率为-2，因此可以得到PO的方程为y=1/2x-2，进而16.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点E、F分别在AB、BC边上。将△BEF沿着EF折叠，得到△B′EF。连接AB′，求AB′的最小值。17.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F。求PE+PF的值。18.在直角坐标系中，已知A（2，0），B（6，0），C在直线y=4上移动。求C点坐标，使得∠ACB最大。19.如图：（1）求直线和抛物线的解析式；（2）M为抛物线第一象限的动点，求S△AMB的最大值。20.如图：点A的坐标是（2，2），点P是x轴正半轴上的一个动点。若△AOP是等腰三角形，求P点的坐标。21.已知任意△ABC，D、E是AB、BC上的两个点，D是定点，E是动点。如何使用尺规操作使得S△BED=S△ADC。2