广东省汕头市谷饶中学2022年高三数学文测试题含解析

广东省汕头市谷饶中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数为纯虚数，则为

（

）

A．0

B．

C．

D．参考答案：C略2.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件参考答案：A3.椭圆＋＝1的左、右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝3|PF2|，则P点到左准线的距离是（

）A．8

B．6

C．4

D．2参考答案：B4.设是虚数单位，若，则的值是A、-1

B、1

C、

D、参考答案：D5.已知实数x，y满足的最大值为7，则a的值为

（

）

A．1 B．－1

C．

D．－参考答案：答案：A6.已知数列{an}满足：an=，且Sn=，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：C【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】对通项拆项，利用并项法相加即可．【解答】解：∵an==﹣，∴Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，又∵Sn=，∴1﹣=，解得n=9，故选：C．【点评】本题考查数列的前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，属于中档题．7.△ABC中，若，，则=(

)A． B． C． D．参考答案：B略8.已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0参考答案：B【考点】圆的切线方程．【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程．【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直线l的方程为x+y﹣4=0，故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．9.已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是(

)参考答案：B略10.某钢铁企业生产甲乙两种毛坯，已知生产每吨甲毛坯要用A原料3吨，B原料2吨;生产每吨乙毛坯要用A原料1吨，B原料3吨。每吨甲毛坯的利润是5万元，每吨乙毛坯的利润是3万元，现A原料13吨，B原料18吨，则该企业可获得的最大利润是A27万元

B.29万元

C.20万元

D.12万元参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图.说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.根据上述信息，有以下结论：①2016年第三季度和第四季度环比都有提高；

②2017年第一季度和第二季度环比都有提高

③2016年第三季度和第四季度同比都有提高

④2017年第一季度和第二季度同比都有提高请把正确结论的序号填写在____________________上.参考答案：①②④12.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是

．参考答案：[1,+∞)函数由，复合而成，由于是单调递增函数，因此是增函数，，由于恒成立，当时，有最小值，，故答案为

13.下列说法： ①“”的否定是“”； ②若正数满足，则的最小值为； ③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题； ④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为 其中正确的说法是

______________参考答案：④略14.

函数的部分图象如左下图所示，则的值分别为

▲

.参考答案：2，

15.设数列的前项和为，且，则___________参考答案：16.数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________．参考答案：略17.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于A、B两点，记直线AC、BC的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为

参考答案：

【知识点】双曲线的简单性质．H6解析：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=?=，∵点A，C都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：k1k2=＞0，对于=+ln|k1k2|，函数y=+lnx（x＞0），由y′=﹣+=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴当+ln（k1k2）最小时，k1k2==2，∴e==．故答案为：．【思路点拨】设A（x1，y1），C（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到k1k2=?=，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线C于不同两点AB，P为拋物线上任意一点（与A、B不重合），直线PA、PB分别交抛物线的准线l于点M、N.（Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）求证：.参考答案：（I），；（II）证明见解析.【分析】（I）根据抛物线方程即可直接得到焦点坐标和准线方程；（II）设方程为，与抛物线方程联立可得；利用直线两点式方程得到直线方程，整理可得，代入即可求得点坐标，同理可得点坐标；根据向量数量积运算，可整理得到，由此得到垂直关系.【详解】（I）由抛物线方程知：焦点，准线为：（II）设直线的方程为：令，，由消去得：，则.直线方程为：即当时，

同理得：，

【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，重点考查了垂直关系的证明问题；证明垂直关系的关键是能够将问题转化为平面向量数量积等于零或两直线斜率乘积为；解决此类问题的常用方法是直线与抛物线方程联立，通过韦达定理的结论代入所证式子中进行整理得到结果.19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1)求a的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X，求X的分布列与期望.参考答案：解：（1）由，得，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人. 设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件， 则 （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为的可能取值为0，1，2，3. ，，所以的分布列为，20.（本小题满分13分）已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=－1相切.（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程;（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,①当=时,求证直线AB恒过一定点M;②若为定值,直线AB是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案：(Ⅰ)设动圆圆心M(x,y),依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线………2分其方程为y2=4x.-…………3分(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x1≠x2(否则)且x1x2≠0,则所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2－4y+4b=0由韦达定理得-------※…………6分①当=时,所以,…………7分所以y1y2=16,又由※知:y1y2=所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(－4,0).…………8分②当为定值时.若=,由①知,直线AB恒过定点M(－4,0)…………9分当时,由,得==将※式代入上式整理化简可得:,所以,…………11分此时,直线AB的方程可表示为y=kx+,所以直线AB恒过定点…………12分所以当时,直线AB恒过定点(－4,0).,当时直线AB恒过定点.…………13分21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）若an+1≥an，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{en}，其中，设这个新数列的前n项和为Cn，若Cn可以写成tp（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称Cn为“指数型和”．问{Cn}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：综合题；新定义．分析：（1）依题意，可求得Sn+1=2Sn+3n，当a≠3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列{bn}是等比数列；（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，从而可求得an=，由an+1≥an，可求得a≥﹣9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，bn=2n﹣1，当n≥2时，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有Cn=2n+1，依题意由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．解答：解：（1）an+1=Sn+3n?Sn+1=2Sn+3n，bn=Sn﹣3n，n∈N*，当a≠3时，===2，所以{bn}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，bn=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，∴an=，∵an+1≥an，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，bn=2n﹣1，当n≥2时，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有Cn=2n+1．由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，tp﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为tp+1和tp﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得tp+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1?h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，tp﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1），由于1+t+t2+…+tp﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1）=2n不成立，此时