人教B版（2023）选修二3.1.3、组合与组合数（含答案）

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（共18题）

一、选择题（共11题）

已知，那么的值是

A．B．C．D．

若，则

A．B．C．D．

一件工作可以用种方法完成，有人只会用第种方法完成，另有人只会用第种方法完成，从中选出人来完成这件工作，则不同的选法种数是

A．B．C．D．

将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有

A．种B．种C．种D．种

某班准备从甲、乙、丙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人同时参加，那么这样的选法有

A．种B．种C．种D．种

从，，，，，，，这八个数中任取两个，则下列问题是组合问题的为

A．相加，可以得到多少个不同的和B．相乘，可以得到多少个不同的积

C．相减，可以得到多少个不同的差D．相除，可以得到多少个不同的商

若，则

A．B．C．或D．或

从单词“equation”中取个不同的字母排成一排，含有“qu"（其中“qu"相连且顺序不变）的不同排法共有

A．种B．种C．种D．种

若件产品中有件次品．现从中任取件产品，则至少有件次品的不同取法的种数是

A．B．C．D．

设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为

A．B．C．D．

某学校在高二年级开设选修课程，其中数学开设了三个不同的班，选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修班每班至多可接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有

A．种B．种C．种D．种

二、填空题（共4题）

圆周上有点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有种（用数字作答）．

年某校获得校长实名推荐制的资格，该校高三创新班有名学生获得甲、乙、丙三所高校的推荐资格，且每人限推荐一所高校．若这三所高校中每个学校都至少推荐名学生，那么这名学生不同的推荐方案共有种．

从名男生和名女生中，选出名代表，要求至少包含名女生，则不同的选法有种（用数字作答）．

如图所示是一幅由四个色块构成的图，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来（如同架桥）．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有种．

三、解答题（共3题）

判断下列问题是组合问题还是排列问题．

(1)若集合，则集合的含有个元素的子集有多少个？

(2)某铁路线上有个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？

(3)从本不同的书中取出本给某同学；

(4)三个人去做种不同的工作，每人做种，有多少种分工方法？

(5)把本相同的书分给个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？

某兴趣小组有人，其中男生人，女生人，从男、女生中各指定一名队长，现从中选出人到野外考察，求在下列条件下各有多少种选法：

(1)至少有一名队长参加；

(2)既有队长参加，又有女生参加．

有本不同的书按下列分配方式分配，共有多少种不同的分配方法？

(1)分成本、本、本三组；

(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人本，一个人本，一个人本；

(3)分成每组都是本的三组；

(4)分给甲、乙、丙三人，每个人本．

答案

一、选择题（共11题）

1.【答案】C

【解析】根据题意，，可变形得，．

由组合数的性质，可得，即．

进而可得，解得．

2.【答案】C

【解析】由题可知，或（舍）．

3.【答案】A

【解析】利用第一种方法有：种，

利用第二种方法有：种方法．

故共有：种完成工作．

4.【答案】C

【解析】第一步：先从个盒子中选一个盒子准备装个球，有种选法；

第二步：从个球里选出个球放到选出的盒子里，有种选法；

第三步：把剩下的个球全排列，有种排法，由分步乘法计数原理得不同方法共有种，故选C．

5.【答案】A

【解析】因为要求甲乙两人同时参加，

所以在人中首先去掉人，再在剩余的人中选取人，共有种．

故答案选A．

6.【答案】B

【解析】判断一个问题是不是组合问题，关键是看该问题是否与顺序有关，由于减法与除法不满足交换律，取出的两个数就与顺序有关，因此不是组合问题，故C，D不是组合问题；

加法与乘法满足交换律，与取出的两个数的顺序无关，但是由于给出的个数中，，等，故相加，可以得到多少个不同的和这个问题不是纯粹的组合问题，只有相乘，可以得到多少个不同的积这个问题是组合问题，故选B．

7.【答案】B

【解析】因为，

所以或，

解得或．

经检验，只有符合题意，

所以的值是．

故选B．

8.【答案】B

【解析】先选后排，从除“qu"外的个字母中任选个字母有种选法，再将“qu"看成一个整体（相当于一个元素）与选出的个字母进行全排列有种排法，由分步乘法计数原理得不同排法共有（种）

9.【答案】C

10.【答案】D

【解析】由题意可得成立，需要分五种情况讨论：

①当时，只有种情况，

即；

②当时，

即，，有种；

③当时，

即，，，有种；

④当时，

即，，，，有种；

⑤当时，

即，，，，有种．

综合以上五种情况，则总共有种．

11.【答案】B

【解析】因为每班至多可接纳两名同学，

所以问题可分为两类：

①将四名学生分到两个班中，首先挑出两个班，有种方法，其次四个学生平均分为两组，有种方法，

所以安排学生的方法有种；

②将四名学生分到三个班，这时需要先将四名学生分成三组，然后再分配，有种．

综上，由分类加法计数原理得，安排好这四名同学的方案有种．

二、填空题（共4题）

12.【答案】

【解析】因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一点，于是问题就转化为圆周上的个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个．

13.【答案】

【解析】将推荐的学生分成两类：一类是一所高校推荐名学生，其余两所高校各推荐名学生；另一类是有两所高校推荐名学生，另外一所高校推荐名学生，所以共有（种）．

14.【答案】

【解析】方法一：至少包含名女生分为：①女男有种；②女男有种；③女有种．故不同的选法共有种，故应填．

方法二：逆向思考，至少包含名女生的反面就是名女生也没有，故不同的取法共有种，故应填．

15.【答案】

【解析】如图，

分别连接，，，四个色块的线段共有条，任意选条有种连接方法，其中，，，四种情况不合题意，应舍去，所以共有（种）．

三、解答题（共3题）

16.【答案】

(1)因为集合的任一个含个元素的子集与元素顺序都无关，

所以它是组合问题．

(2)因为车票与起点、终点顺序有关，

例如“甲乙”与“乙甲”的车票不同，

所以它是排列问题．

(3)因为从本不同的书中取出本给某同学，取出的本书并不考虑书的顺序，

所以它是组合问题．

(4)因为从种不同的工作中选出种，按一定顺序分给三个人去做，

所以它是排列问题．

(5)因为本书是相同的，把本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，

所以它是组合问题．

17.【答案】

(1)方法1:至少有一名队长参加，即有一名队长参加或两名队长参加，所以有（种）不同的选法．

方法2:从人中选人有种不同的选法，其中不符合条件的选法有种，所以有（种）不同的选法．

(2)女队长参加，有种不同的选法；

女队长不参加，有种不同的选法，

所以共有（种）不同的选法.

18.【答案】

(1)分三步：先选一本有种选法，再从余下的本中选两本有种选法；最后余下的三本全选有种选法，由分步乘法计数原理知，分配方法共有（种）．

(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（）题的基础上，还应考虑再分配问题，因