2022-2023学年河北省保定师范附属学校八年级（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年河北省保定师范附属学校八年级（下）质检数学试卷（3月份）一、选择题（共16小题，共42.0分.）1.下列各组数中，能构成直角三角形的是(

)A.a=1，b=43，c=53 B.a=5，b=12，c=14

C.a=1，b=2，c=10 2.如果m>n，那么下列结论错误的是(

)A.m+2>n+2 B.m−2>n−2 C.2m>2n D.−2m>−2n3.用反证法证明命题：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设(

)A.∠B≥90° B.∠B>90° C.∠B<90° D.AB≠AC4.一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的周长为(

)A.9cm B.12cm C.7cm D.9cm或12cm5.不等式1+x<0的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=5cm，则△DBE的周长是(

)A.5cm

B.6cm

C.7cm

D.8cm7.解不等式x+23>1−x−32A.2(x+2)>1−3(x−3) B.2x+4>6−3x−9

C.2x+4>6−3x+3 D.2(x+2)>6−3(x−3)8.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(

)A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点9.如图所示，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(

)

A.AC=AD B.AB=AB

C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD10.已知(x−2)2+|2x−3y−m|=0中，y为正数，则m的取值范围为A.m<2 B.m<3 C.m<4 D.m<511.如图，已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP=6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为(

)A.2cm

B.3cm

C.4cm

D.5cm12.如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是(

)

A.102 B.104 C.13.如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于(

)A.65°

B.50°

C.60°

D.57.5°14.如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．

如图2，步骤如下，

第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；

第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；

第三步：画射线BP.射线BP即为所求．

下列正确的是(

)

A.a，b均无限制 B.a>0，b>12DE的长

C.a有最小限制，b无限制 D.a≥015.一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有2道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于60分？设小明要答对x道题，则根据题意可列不等式为(

)A.5x−2(20−x)≥60 B.5x−2(20−x)>60

C.5x−2(20−x−2)≥60 D.5x−2(20−x−2)>6016.如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为从N.现有四个结论：

①CP平分∠ACF；

②∠BPC=12∠BAC；

③∠APC=90°−12∠ABC；

④S△APM+SA.①②③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④二、填空题（共3小题，共9.0分）17.写出一个解集为x≥−1的一元一次不等式：______．18.如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD，BE相交于点F，若∠AEB=100°，则∠AFB的度数为______．

19.小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入______个小球时有水溢出．

三、解答题（共5小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20.(本小题8.0分)

解下列不等式

(1)2x−5>3x+4．

(2)2x+1321.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．

(1)若∠ABC=65°，则∠NMA的度数是______度；

(2)若AB=9cm，△MBC的周长是16cm，

①求BC的长度；

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．22.(本小题8.0分)

定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a⊗b=1a−a−ba，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2⊗1=12−2−12=0

(1)求3⊗4的值；

(2)23.(本小题12.0分)

某公司有A、B两种客车，它们的载客量和租金如下表，星星中学根据实际情况，计划用A、B型车共5辆，同时送七年级师生到校基地参加社会实践活动．AB载客量(人/辆)4020租金(元/辆)200150(1)若要保证租金费用不超过980元，请问该学校有哪几种租车方案？

(2)在(1)的条件下，若七年级师生共有150人，问哪种租车方案最省钱？24.(本小题13.0分)

如图①，点P、Q分别是边长为4cm的等边边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，设运动时间为t(s)．

(1)当t=______s时，△PBQ是等边三角形；

(2)连接AQ、CP，交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数；

(3)求t为何值时，△PBQ是直角三角形；

(4)如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上向前运动，直线AQ、CP交于点M，请直接写出∠CMQ的度数．

答案和解析1.【答案】A

解：A、∵a2+b2=12+(43)2=259，c2=(53)2=259，

∴a2+b2=c2，

∴能构成直角三角形，

故A符合题意；

B、∵a2+b2=52+122=169，c2=1422.【答案】D

【解析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．

根据不等式的性质即可求出答案：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变。

解：∵m>n，

∴−2m<−2n，

故选：D．

3.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

直接利用反证法的第一步分析得出答案．

【解答】

解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设∠B≥90°．

故选：A．

4.【答案】B

解：分两种情况讨论

①腰长为5cm时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长=5+5+2=12cm；

②腰长为2cm时，三边为5、2、2，

∵2+2=4<5，

∴不满足构成三角形．

∴周长为12cm．

故选：B．

本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论．

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

5.【答案】A

解：移项，得：x<−1，

故选：A．

移项即可得．

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号方向要改变．

6.【答案】A

解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴DE=CD，∠CAD=∠EAD，

∴∠CDA=∠EDA，

∴AC=AE，

又∵AC=BC，

∴AC=BC=AE，

∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB，

∵AB=5cm，

∴△DBE的周长=5cm．

故选：A．

根据角平分线的定义和性质可得DE=CD，∠CAD=∠EAD，推出∠CDA=∠EDA，可得AC=AE，证明再根据等腰直角三角形的性质求出AC=BC=AE，然后求出△DBE的周长=AB，代入数据即可得解．

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质求出△DBE的周长=AB是解题的关键．

7.【答案】D

解：去分母得2(x+2)>6−3(x−3)．

故选：D．

利用不等式的性质把不等式两边乘以6可去分母．

本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．

8.【答案】D

【解析】【分析】

根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

【解答】

解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，

故选：D．

9.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了直角三角形全等的判定，知道“HL”即为斜边及一直角边对应相等的两直角三角形全等是解题的关键．由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等．

【解答】

解：在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，斜边AB=AB．

A.添加此条件则满足HL，能判定Rt△ABC和Rt△ABD全等；

B.添加此条件还不能满足全等的条件，不能判定Rt△ABC和Rt△ABD全等；

C.添加此条件则满足AAS，能判定Rt△ABC和Rt△ABD全等，但不符合题意；

D.添加此条件则满足AAS，能判定Rt△ABC和Rt△ABD全等，但不符合题意；

故选A．

10.【答案】C

解：∵(x−2)2≥0，|2x−3y−m|≥0，(x−2)2+|2x−3y−m|=0；

∴x−2=0，2x−3y−m=0；

∴x=2，4−3y−m=0；

y=4−m3，

∵y>0，

∴4−m>0，

即m<4．

故选C．

本题考查了非负数的概念，含平方的式子和含绝对值的式子都是非负数；两个非负数相加，和为0，则这两个非负数的值都为011.【答案】B

解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，

∴∠AOP=30°，

∵PD⊥OA，OP=6cm，

∴PD=12OP=3cm，

过点P作PE′⊥OB于点E′，

∵OC平分∠AOB，PE′⊥OB，PD⊥OA，

∴PE′=PD=3cm，

∴PE的最小值为3cm．

故选：B．

根据角平分线的性质可得∠AOP=30°，则PD=1212.【答案】A

解：根据图形可得：

AB=AC=12+22=5，

BC=12+32=10，

所以AB2+AC2=BC2=10，

所以∠BAC=90°，

设△ABC中BC边上的高是x，

则13.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．

先根据图形翻折不变性的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．

【解答】

解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，

∴AD=DF，

∵D是AB边的中点，

∴AD=BD，

∴BD=DF，

∴∠B=∠BFD，

∵∠B=65°，

∴∠BDF=180°−∠B−∠BFD=180°−65°−65°=50°．

故选：B．

14.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查作图−基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．根据角平分线的画法判断即可．

【解答】

解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于12DE，否则没有交点，

故选B15.【答案】C

解：设小明答对的题数是x道，根据题意可得：

5x−2(20−2−x)≥60，

故选：C．

设小明答对的题数是x道，答错的为(20−2−x)道，根据总分才不会低于60分，列出不等式即可．

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是表示出相应的题目数，以得分作为不等量关系，列不等式求解．

16.【答案】A

解：①作PD⊥AC于D，

∵BP平分∠ABC，AP平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴PM=PN，PM=PD，

∴PM=PN=PD，

∴点P在∠ACF的角平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)，

∴CP平分∠ACF，

故①正确；

②∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACF，

∴∠ABC=2∠PBC，∠ACF=2∠PCF，

∵∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCF=∠PBC+∠BPC，

∴∠BAC=2∠BPC，

∴∠BPC=12∠BAC，

故②正确；

③∵PM⊥AB，PN⊥BC，

∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，

∴∠ABC+∠MPN=180°，

∵PM=PN=PD，

∴∠APD=12∠MPD，∠CPD=12∠NPD，

∴∠APC=12∠MPN=90°−12∠ABC，

故③正确；

④∵AP=AP，PM=PD.CP=CP，PD=PN，

∴Rt△APM≌Rt△APD(HL)，Rt△CPN≌Rt△CPD(HL)，

∵S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，

∴S△APM+S△CPN=S△APC，

故④不正确．

综上所述，①②③正确．

故选：A．

①作PD⊥AC于D.根据角平分线性质得到PM=PN，PM=PD，得到PM=PN=PD，于是得到点P在∠ACF17.【答案】x+1≥0(答案不唯一)

解：写出一个解集为x≥−1的一元一次不等式为x+1≥0，

故答案为：x+1≥0(答案不唯一)．

答案不唯一，只要解集为x≥−1即可．

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

18.【答案】130°

解：∵△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，

∴∠EAF=12∠BAC=12×60°=30°，

∵∠AEB=100°，

∴∠AFB=∠AEB+∠EAF=30°+100°=130°，

故答案为：130°．

根据等边三角形的性质得出∠FAE19.【答案】10

解：设放入球后量桶中水面的高度y(cm)与小球个数x(个)之间的一次函数关系式为y=kx+b，由题意，得：b=303k+b=36，

解得：k=2b=30，

即y=2x+30；

由2x+30>49，

得x>9.5，

即至少放入10个小球时有水溢出．

方法2：由题意可得每添加一个球，水面上升2cm，

设至少放入x个小球时有水溢出，则

2x+30>49，

解得x>9.5，

即至少放入10个小球时有水溢出．

故答案为：10．

设放入球后量桶中水面的高度y(cm)与小球个数x(个)之间的一次函数关系式为y=kx+b，由待定系数法就可求出结论；当y>49时，建立不等式求出其解即可．

20.【答案】解：(1)∵2x−5>3x+4，

∴2x−3x>4+5，

−x>9，

则x<−9；

(2)∵2x+13−1−x4>13，

∴4(2x+1)−3(1−x)>4，

8x+4−3+3x>4，

8x+3x>4−4+3，【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得答案；

(2)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

21.【答案】40°

解：(1)∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C∵∠ABC=65°，

∴∠C=65°，

∴∠A=50°，

∵MN是AB的垂直平分线，

∴AM=BM，

∴∠A=∠ABM=50°，

∴∠MBC=∠ABC−∠ABM=15°，

∴∠AMB=∠MBC+∠C=80°，

∴∠NMA=12∠AMB=40°．

故答案为：40°；

(2)①∵AB=AC=9cm，△MBC的周长是16cm，

即BM+MC+BC=16cm，

∵AM=BM，

∴AM+MC+BC=16cm，

∴AC+BC=16cm，

∴BC=7cm．

∴BC的长度为7cm．

②当P与M重合时，△PBC的周长最小．

理由：∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，

∴当P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，

∴△PBC的周长最小值=AC+BC=9+7=16(cm)．

(1)根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得AM=BM，再根据等腰三角形的性质即可求解；

(2)①根据垂直平分线的性质得AM=BM，△MBC的周长是18cm.AC=AB=9cm，即可求BC的长度；②依据PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到当P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，进而得出△PBC的周长最小值．

本题考查了轴对称22.【答案】解：(1)根据题意知，3⊗4=13−3−43=13+13=23；

(2)根据题意，得：12−2−x2<1，【解析】(1)根据新定义的新运算，即可解答；

(2)根据新定义运算得到不等式，解不等式即可．

本题考查了解一元一次不等式，解决本题的关键是熟记解一元一次不等式的步骤．

23.【答案】解：(1)设租A型车x辆，则租B型车(5−x)辆，

根据题意得：200x+150(5−x)≤980，

解得：x≤235，

∵x取非负整数，

∴x=0、1、2、3、4，

∴该学校的租车方案有：租A型车0辆、B型车5辆；租A型车1辆、B型车4辆；租A型车2辆、B型车3辆；租A型车3辆、B型车2辆；租A型车4辆、B型车1辆．

(2)设租A型车x辆，则租B型车(5−x)辆，

根据题意得：40x+20(5−x)≥150，

解得：x≥52，

∵x取正整数，且x≤235，

∴x=3或4．

当x=3时，租车费用为200×3+150×2=900(元)；

当x=4时，租车费用为200×4+150×1=950(元)．

∵900<950，

∴当租A型车3【解析】本题考查了一元一次不等式的应用以及方案设计，解题的关键是：(1)根据总费用=单价×数量结合租金费用不超过980元列出关于x的一元一次不等式；(2)根据总人数=单量车的载客量×租车数量结合七年级师生共有150人列出关于x的一元一次不等式．

(1)设租A型车x辆，则租B型车(5−x)辆，根据总费用=单价×数量结合租金费用不超过980元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合x取正整数即可找出各租车方案；

(2)设租A型车x辆，则租B型车(5−x)辆，根据总人数=单量车的载客量×租车数量结合七年级师生共有150人，即可得出关于x的一元