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第一章函数

函数的基本概念第一节函数的性质

第二节反函数

第三节

初等函数第四节第一节函数的基本概念一、函数的定义定义

设D是由数组成的集合.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定的法则f总有确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f(x)，x称为自变量,y称为因变量，D称为函数的定义域.

当x取x0∈D时，与x0对应的y的数值称为函数在点x0处的函数值，记作f(x0).当x取遍D中的一切数时，对应的函数值集合M={y|y=f(x)，x∈D}称为函数的值域.

在函数的定义中，如果对于每一个x∈D，都有唯一的y与它对应，那么这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.二、函数的表示法1.表格法

将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法.如三角函数表、常用对数表以及经济分析中的各种统计报表等.2.图像法

用图像表示两个变量的函数关系的方法.如图1-1所示.3.解析法

用一个等式表示两个变量的函数关系的方法.例如y=x+3，y=lg(x+2)等.下面我们介绍几种常用的解析法表示的函数.(1)分段函数三、函数的定义域

在实际问题中，函数的定义域要根据问题的实际意义确定．当不考虑函数的实际意义，而仅就抽象的解析式来研究函数时，这时定义域就取使解析式有意义的自变量的全体.要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：

(1)分式的分母不能为零；(2)偶次根式的被开方数必须为非负数；(3)对数式中的真数必须大于零；(4)幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数考虑各自的定义域；(5)若函数表达式是由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集；(6)分段函数的定义域是各个定义区间的并集第二节函数的性质一、奇偶性定义

设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；如果对于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数.否则f(x)为非奇非偶函数.奇函数的图像关于原点对称，如图1-4所示;偶函数的图像关于y轴对称，如图1-5所示.二、单调性定义

若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在区间D上单调增加，区间D称为单调增区间；如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在区间D上单调减少，区间D称为单调减区间.

单调增函数图像沿x轴正向上升，如图1-6所示；单调减函数图像沿x轴正向下降，如图1-7所示.三、有界性定义

设函数f(x)的定义域为D，数集XD.如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界，如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界，如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M,总存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函数f(x)在X上无界.第三节反函数定义

在函数的定义中，按关系式y=f(x)，x∈A，y∈B(1-1)x是自变量，y是因变量(函数).在关系式y=f(x)中，反过来，将y看成自变量，x看成因变量(函数)，即对每一个y∈B，按y=f(x)都有确定的x值与之对应，称x是y的反函数，即(1-1)的反函数，在求反函数的表达式时，可将(1-1)中的关系式y=f(x)看成一个方程式，从中将x解出，写作x=φ(y)，y∈B(1-2)这就是反函数的表达式.习惯上自变量的记号取作x，故将(12)中x，y记号对换(对应关系不变)，得y=φ(x)，x∈B(1-3)它仍是(1-1)的反函数.若将φ记为f-1，则(1-3)可写为y=f-1(x)，x∈B(1-4)因此，(1-2)(1-3)与(1-4)都是(1-1)的反函数，只是用作表示的记号不同而已.第四节初等函数第二章极限与连续

数列的极限第一节函数的极限

第二节无穷小与无穷大

第三节

函数极限的运算法则第四节

两个重要极限第五节函数的连续性

第六节连续函数的性质第七节第一节数列的极限一、数列极限的定义

以前我们已经学过数列的概念，现在我们来考察当项数n无限增大时，无穷数列{an}的变化趋势.我们先看一个实例：一个篮球从距地面1米高处自由下落，受地心引力及空气阻力作用，每次触地后篮球又反弹到前一次高度的12处(见图2-1).于是，可得到表示篮球高度的一个数列第二节函数的极限

在上一节中我们学习了数列的极限及其运算法则.由于数列{an}可以看作是n(n∈N*)的函数an=f(n)，因此，数列的极限也可以看作是函数极限的特殊情形.下面我们来讨论一般函数y=f(x)的极限.一、当x→∞时函数f(x)的极限定义

如果当x→∞时,函数f(x)无限趋近于确定的常数A,那么A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限,记作limn→∞f(x)=A或当x→∞时,f(x)→A.这里“x→∞”表示x既取正值而无限增大(记作x→+∞)，同时也取负值而绝对值无限增大(记作x→-∞).但有的时候x的变化趋势只能取这两种变化中的一种情况.下面给出当x→+∞或x→-∞时函数极限的定义.定义

如果当x→+∞(或x→-∞)时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A,那么A就称为函数f(x)当x→+∞(或x→-∞)时的极限，记作limx→+∞f(x)=A，或当x→+∞时，f(x)→A.(limx→-∞f(x)=A，或当x→-∞时，f(x)→A)二、当x→x0时函数f(x)的极限定义

设函数y=f(x)在x0的某空心邻域（邻域就是在数轴上满足{x||x-x0|＜δ}，其δ＞0的点的集合.即区间(x0-δ，x0+δ)内的一切实数.x0称邻域的中心，δ为半径.如果这个区间不含x0点，则称x0的空心δ邻域).内有定义，如果当x无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，那么A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作：limx→x0f(x)=A，或当x→x0时，f(x)→A.第三节无穷小与无穷大

在研究函数的变化趋势时，我们发现某些函数的绝对值趋于无穷：一是函数的绝对值“无限变小”，二是函数的绝对值“无限变大”.下面我们来研究这两种情形.一、无穷小定义

如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的极限为零，那么称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小.例如，当x→0时，sinx是无穷小；当x→∞时，1/x是无穷小.(1)无穷小和绝对值很小的数是截然不同的，例如10^-10，10^-100都是很小的数，但不是无穷小.只有零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为limx→x0(x→∞)0=0.(2)无穷小和自变量的变化趋势是密切相关的.例如函数f(x)=1/x，当x→∞时，1x为无穷小；当x→1时，1/x就不是无穷小.二、无穷大定义

如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大.如果按函数极限的定义来看，f(x)的极限不存在，但是为了便于叙述，我们称“函数的极限是无穷大”，并记作limx→x0(x→∞)f(x)=∞.

如果在无穷大的定义中，对于x0邻域内的x(或对于绝对值相当大的x)，对应的函数值都是正的或都是负的，则这两种情形分别记作limx→x0(x→∞)f(x)=+∞，limx→x0(x→∞)f(x)=-∞.例如limx→+∞epx=+∞，limx→0+lnx=-∞.(1)无穷大和绝对值很大的数是完全不同的，例如10^10，-10^100等都是绝对值很大的数，但不是无穷大.(2)无穷大和自变量的变化趋势密切相关.例如，函数f(x)=1x，当x→0时，1x为无穷大；当x→∞时，1/x为无穷小.三、无穷小与无穷大定理

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么1/f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么1/f(x)为无穷大.

例如，因为limx→∞x^3=∞，所以limx→∞1/x^3=0；因为limx→0sinx=0，所以limx→01/sinx=∞.四、函数极限与无穷小的关系定理

在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中，limf(x)=A的充分必要条件是：f(x)=A+α，其中A为常数，α为无穷小.

在“lim”符号下面不标x→x0或x→∞，表示所述结果对两者都适用，以后不再说明.五、无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质：性质1有限个无穷小的代数和为无穷小.性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小.性质3有限个无穷小的乘积为无穷小.六、无穷小的比较

两个无穷小的和、差、乘积还是无穷小，那么两个无穷小的商是否仍为无穷小呢？其实不然，例如，当x→0时，2x，3x，x^2都是无穷小，而limx→03x/2x=3/2，limx→0x^2/3x=0，limx→03x/x^2=∞.

判断两个无穷小之商的极限，主要依据分子、分母趋于零的“快慢”程度，我们用“无穷小的阶”来描述定义

设α与β是同一变化过程中的两个无穷小，即limα=0，limβ=0：(1)如果limα/β=0，那么称α是比β高阶的无穷小；(2)如果limα/β=∞，那么称α是比β低阶的无穷小；(3)如果limα/β=c≠0，那么称α与β是同阶无穷小.特别是当c=1，即当limα/β=1时，则称α与β是等价无穷小，记作α～β.由定义可知，当x→0时，x^2是比3x高阶的无穷小，而3x是比x^2低阶的无穷小，3x与2x是同阶无穷小.第四节函数极限的运算法则

与数列极限类似，对于比较复杂的函数极限，我们也需要用到极限的运算法则来进行计算.下面给出函数极限的运算法则：第五节两个重要极限第六节函数的连续性

在许多实际问题中，数量的变化往往是连续的.例如，气温随时间的变化而变化着，当时间的变化极为微小时，气温的变化也极为微小，这就是说，气温是连续变化的.下面我们来研究函数的连续性.一、函数的增量定义

设函数y=f(x)，当自变量由初值x0变到终值x1时，我们把差值x1-x0叫做自变量的增量(或改变量)，记作Δx，即Δx=x1-x0，因此x1=x0+Δx.这时可以说，自变量由初值x0变化到x0+Δx.相应地，函数值由f(x0)变化到f(x0+Δx)，我们把差值f(x0+Δx)-f(x0)叫做函数的增量(或改变量)，记作Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0).第七节连续函数的性质三、初等函数的连续性

根据初等函数的定义，由基本初等函数的连续性以及连续函数的和、差、积、商的连续性和复合函数的连续性可得到下面的重要结论：

性质3一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

这个结论对于以后判定函数连续性及一些极限的运算是非常有价值的，如果已知函数f(x)是初等函数，且x0属于f(x)的定义区间，那么求limx→x0f(x)时，只需将x0代入函数，求函数值f(x0)即可.第三章导数与微分

导数的概念第一节求导法则

第二节高阶导数

第三节

相关变化率第四节

函数的微分第五节第一节导数的概念一、导数概念的两个引例

为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论以下两个问题：速度问题和切线问题.1.变速直线运动的瞬时速度

我们知道在物理学中，物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式v=s/t来计算，其中s为物体经过的路程，t为时间.如果物体作非匀速运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段时间［t0，t1］内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s(t1)-s(t0)记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均速度记作v，得2.切线问题

设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫做曲线在点M处的切线，如图3-1所示.

已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角)tanφ=Δy/Δx=f(x0+Δx)-f(x0)/Δx

以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义.二、导数的定义定义1设函数y=f(x)在点x0处及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应地函数y有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).第二节求导法则

上一节我们由定义出发，求出了一些简单函数的导数,对于一般函数的导数,当然也可以按定义来求,但比较繁琐.本节引入一些求导法则,采用这些求导法则,可以迅速准确地求出函数的导数.一、函数和、差、积、商的导数三、隐函数的导数

前面讨论函数求导方法所涉及的函数y已写成自变量x的明显表达式y=f(x)的形式，这样的函数叫做显函数.但有时候还会遇到另一类函数，是由一个含有x和y的方程F(x，y)=0来确定的函数y.例如，x^2+y^2=4，xy=epx+y等，这样的函数叫做隐函数.

下面来讨论隐函数的求导问题.如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得，但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法是：(1)将方程F(x，y)=0的两端对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数；(2)求导后，解出y′即可(式子中允许有y出现).第三节高阶导数第四节相关变化率

在实际问题中,有时遇到参与变化的几个变量都是时间t的函数.这几个变量之间存在某种关系,从而它们的变化率之间也存在一定的关系.这几个互相依存的变化率称为相关变化率.所谓相关变化率问题就是研究这几个变化率之间的关系,以便从其中已知的变化率求出未知的变化率,下面举几个例子加以说明.第五节函数的微分一、微分的概念

在实际生产实践中,有时需要考虑这样的问题:当自变量有一微小的增量时,函数的增量是多少.例如，一个边长为x0的正方形金属薄片,当受冷热影响时,其边长由x0变到(x0+Δx),问此时薄片的面积的改变量是多少?

设正方形薄片的边长为x0,面积为y,则上面问题就是求函数y=x^2当自变量由x0变到(x0+Δx)时函数y的改变量Δy,也就是面积的改变量.Δy=(x0+Δx)^2-x0^2=2x0·Δx+(Δx)^2.第四章中值定理及导数的应用

中值定理第一节洛必达法则

第二节函数单调性的判别法

第三节

函数的极值及其求法第四节

函数的最大值和最小值第五节曲线的凹凸性与拐点

第六节函数图形的描绘

第七节第一节中值定理

微分学中有三个中值定理应用非常广泛，它们分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.一、罗尔定理

罗尔定理

即如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零：f′(ξ)=0.

在证明这个定理之前,先考察一下定理的几何意义.在图4-1中,设曲线弧AB的方程为y=f(x)(a≤x≤b).罗尔定理的条件在几何上表示:AB是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,且两个端点的纵坐标相等.定理的结论表达了这样一个几何事实:

在曲线弧AB至少有一点C,在该点处曲线的切线是水平的.从图中看到,在曲线的最高点或最低点处,切线是水平的,这就启发了我们证明这个定理的思路.证明

由于f(x)在闭区间［a,b］上连续,根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,f(x)在闭区间［a,b］上必定取得它的最大值M和最小值m.这样只有两种可能情形:(1)M=m.这时f(x)在区间［a,b］上必然取相同的数值M:f(x)=M.由此有f′(x)=0,因此可以取(a,b)内任意一点作为ξ而有f′(ξ)=0.(2)M＞m.因为f(a)=f(b),所以M和m这两个数中至少有一个不等于f(x)在区间［a,b］的端点处的函数值.为确定起见,不妨设M≠f(a)(如果设m≠f(a),证法完全类似),那么必定在开区间(a,b)内有一点ξ使f(ξ)=M.下面证明f(x)在点ξ处的导数等于零,即f′(ξ)=0.

因为ξ是开区间(a,b)内的点,根据假设可知f′(ξ)存在,即极限limΔx→0f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx存在.而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此f′(ξ)=limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx.由于f(ξ)=M是f(x)在［a,b］上的最大值，因此不论Δx是正的还是负的，只要ξ+Δx在［a，b］上，总有f(ξ+Δx)≤f(ξ)，即f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0.于是limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx≤0，limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)/Δx≥0而f′(ξ)存在，故f′(ξ)=0.二、拉格朗日中值定理

罗尔定理中f(a)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把f(a)=f(b)这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(4-1)成立.

在证明之前，先看一下定理的几何意义.如果把(4-1)式改写成f(b)-f(a)b-a=f′(ξ)，由图4-2可看出，f(b)-f(a)b-a为弦AB的斜率，而f′(ξ)为曲线在点C处的切线的斜率.因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB.

从罗尔定理的几何意义中(见图4-1)看出，由于f(a)=f(b)，弦AB是平行于x轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB.由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.

从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数φ(x)(称为辅助函数)，使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对φ(x)应用罗尔定理，再把对φ(x)所得的结论转化到f(x)上，

证得所要的结果.我们从拉格朗日中值定理的几何解释中来寻找辅助函数，从图4-2中看到，有向线段NM的值是x的函数，把它表示为φ(x)，它与f(x)有密切的联系，且当x=a及x=b时，点M与点N重合，即有φ(a)=φ(b)=0.为求得函数φ(x)的表达式，设直线AB的方程为y=L(x)，则L(x)=f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)，由于点M、N的纵坐标依次为f(x)及L(x)，故表示有向线段NM的值的函数φ(x)=f(x)-L(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a).

显然，φ(x)满足罗尔定理条件，故在(a,b)内至少有一点ξ，使φ′(ξ)=0.

即f′(ξ)-f(b)-f(a)/(b-a)=0即f′(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)证毕.由拉格朗日中值定理可以得到下面的推论：推论1设函数f(x)在区间I内恒有f′(x)=0，那么在区间I内函数f(x)=C，其中C为常数.推论2设f(x)、g(x)是在I内的可导函数，若f′(x)=g′(x)，则f(x)-g(x)=C，其中C为常数.证明

在区间I内任取两个点x1，x2，不妨设x1＜x2，应用拉格朗日中值定理，有f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)，ξ∈(x1，x2)，由于函数f(x)在区间I内恒有f′(x)=0，则f′(ξ)=0，故等式右端为零，即f(x1)=f(x2)，这表明在区间I内任意两点处的函数值都相等，所以函数f(x)在区间I内是一个常数.

它在微分学中占有重要地位，有时也叫做微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.第二节洛必达法则

如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)和g(x)都趋向于零，或都趋向于无穷大，那么此时极限limx→x0(或x→∞)f(x)g(x)可能存在，也可能不存在.通常把这种形式的极限叫做未定式，并分别简称为0/0型或∞/∞型.

对于未定式，不能直接用极限运算法则求得.下面介绍洛必达法则，它是求这类极限的简便而有效的方法一、0/0型未定式第三节函数单调性的判别法

如图4-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图4-5所示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切线的倾斜角都是钝角，它们的斜率f′(x)都是负的，即f′(x)＜0.

由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.下面，我们给出利用导数判定函数单调性的定理.第四节函数的极值及其求法一、函数极值的定义

在图4-10中我们可以看出，函数y=f(x)在c1,c4的函数值f(c1),f(c4)比它们两旁各点的函数值都大,而在点c2,c5的函数值f(c2),f(c5)比它们两旁各点的函数值都小.对于这种性质的点和对应的函数值，我们给出如下的定义.定义

设函数f(x)在区间（a,b）内有定义，x0∈(a,b).如果对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＜f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，点x0称为f(x)的一个极大值点；如果对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＞f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，点x0称为f(x)的极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点.二、函数极值的判定和求法

如图4-10所示，在函数取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但曲线上有水平切线的地方，函数却不一定取得极值.例如，在点c3处，曲线具有水平切线，这时f′(c3)=0，但f(c3)并不是极值.下面我们讨论函数取得极值的必要条件和充分条件.定理1

设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′(x0)=0.使导数为零的点(即方程f′(x)=0的实根)叫做函数f(x)的驻点(又叫稳定点).

定理1说明可导函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点并不一定是极值点，例如x=0是函数f(x)=x3的驻点，但x=0不是它的极值点.

既然函数的驻点不一定是它的极值点,那么,当我们求出函数的驻点后,怎样判别它们是否为极值点呢?如果是极值点,又怎样进一步判定是极大值点还是极小值点呢?为了解决这些问题,我们先借助图形来分析一下函数f(x)在点x0取得极值时,点x0左右两侧导数f′(x)的符号变化的情况.

如图4-11所示,函数f(x)在点x0取得极大值,在点x0的左侧单调增加,有f′(x)＞0;在点x0的右侧单调减少,有f′(x)＜0.对于函数在点x0取得极小值的情形,读者可结合图4-12类似地进行讨论.定理2(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0及其近旁可导,且f′(x0)=0.(1)如果当x取x0左侧邻近的值时,恒有f′(x)＞0;当x取x0右侧邻近的值时,恒有f′(x)＜0,那么函数f(x)在点x0处取得极大值f(x0).(2)如果当x取x0左侧邻近的值时,恒有f′(x)＜0;当x取x0右侧邻近的值时,恒有f′(x)＞0,那么函数f(x)在点x0处取得极小值f(x0).(3)如果在x0的两侧,函数的导数符号相同,那么函数f(x)在点x0处没有极值.当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时,也可以利用下列定理来判定f(x)在驻点处取得极大值还是极小值.定理3(第二种充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,那么(1)f″(x0)＜0时,函数f(x)在x0处取得极大值;(2)f″(x0)＞0时,函数f(x)在x0处取得极小值.根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和极值:(1)求出函数f(x)的定义域;(2)求出函数f(x)的导数f′(x);(3)求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区间内的全部实根)；(4)用驻点把函数的定义域划分为若干个部分区间,考察每个部分区间内f′(x)的符号,以确定该驻点是否为极值点.如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值；(5)求出各极值点处的函数值,就得到了函数f(x)的全部极值.第五节函数的最大值和最小值一、函数的最大值和最小值的求法

我们知道,闭区间［a,b］上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值存在.显然,这个最大值和最小值只能在区间(a,b)内的极值点或者区间的端点处取得.因此,求闭区间上的连续函数的最大值和最小值时,只要把可能取得极值的点(驻点和不可导的点)与区间端点的函数值比较大小,最大的就是f(x)在［a,b］上的最大值,最小的就是f(x)在［a,b］上的最小值.

如果函数f(x)在一个开区间或无穷区间(-∞,+∞)内可导,且有唯一的极值点x0,那么当f(x0)是极大值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值(见图415(a));当f(x0)是极小值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值(见图4-15(b)).有时,函数f(x)也可能在导数不存在的点处取得最大值或最小值.第六节曲线的凹凸性与拐点

我们研究了函数的单调性和极值，这对描绘函数的图形有很大的作用，但仅仅知道这些，还不能较准确地描绘函数的图形.例如,函数y=x^2和y=x,它们在[0,1]上,虽然都是单调增的,但是,它们的图形却有完全不同的弯曲状态:OBA是向上凹的曲线弧,OCA是向上凸的曲线弧(见图4-19),它们的凹凸性不同.下面我们就来研究曲线的凹凸性及拐点.一、曲线的凹凸性及其判别法定义

若在开区间(a,b)内,曲线y=f(x)的各点处切线都位于曲线的下方,则称此曲线在(a,b)内是凹的;若曲线y=f(x)的各点处切线都位于曲线的上方,则称此曲线在(a,b)内是凸的.

如图4-20所示，曲线y=f(x)在区间(a,c)内是凸的,在区间(c,b)内是凹的.再观察曲线段上各点处的斜率的变化我们会发现,曲线y=f(x)在区间(a,c)内从左至右切线的斜率是递减的;在区间(c,b)内从左至右切线的斜率是递增的.联系函数增减性的判别方法,我们便有如下的曲线凹凸性的判别定理.

定理

设函数y=f(x)在开区间(a,b)内具有二阶导数,则1°如果在区间(a,b)内f″(x)＞0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;2°如果在区间(a,b)内f″(x)＜0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的;二、曲线的拐点定义

若连续曲线y=f(x)上的一点是凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点,则称该点是曲线y=f(x)的拐点.例如,在例2中的点(0,0)就是曲线y=x3的拐点.

因为拐点是曲线凹向的分界点,所以拐点左右两侧近旁f″(x)的符号必然异号.因此曲线y=f(x)拐点的横坐标x0只可能是使f″(x)=0或f″(x)不存在的点.下面我们介绍判定曲线的拐点的步骤.1°确定函数y=f(x)的定义域;2°求出二阶导数f″(x),令f″(x)=0,求出定义域内的所有实根,指出f″(x)不存在的点,用这些点来划分定义域;3°列表讨论f(x)在各个区间f″(x)的符号和f(x)的凹凸性;4°确定y=f(x)的拐点.第七节函数图形的描绘

由函数的单调性、函数的极值、曲线的凹凸性可以描绘出函数的图形的基本性态.为了进一步了解函数图形的性态，更准确地描绘函数的图形，下面我们介绍曲线的渐近线.一、曲线的渐近线定义1如果曲线y=f(x)的定义域是无限区间，且有limx→-∞f(x)=b或limx→+∞f(x)=b，则直线y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线;如果曲线y=f(x)有limx→x0+f(x)=∞，或limx→x0-f(x)=∞，则直线x=x0是曲线y=f(x)的垂直渐近线.例如函数y=1/x，因为limx→∞1/x=0，所以直线y=0为曲线y=1/x的水平渐近线;又因为limx→01/x=∞，所以直线x=0为曲线y=1/x的垂直渐近线.二、描绘函数图形的一般步骤

根据前面所讨论的函数的各种性态，我们可以总结出描绘函数图形的一般步骤：(1)确定函数的定义域，并讨论函数的有界性、周期性、奇偶性等;(2)求f′(x)，f″(x)，解出f′(x)=0及f″(x)=0在定义域内的全部实根及一阶、二阶导数不存在的点;(3)列表讨论f′(x)，f″(x)的符号，从而确定函数的单调性、凹凸性、极值和拐点;(4)计算一些必要的辅助点;(5)讨论曲线的渐近线;(6)描出函数图像.第五章不定积分

不定积分的概念与性质第一节换元积分法

第二节分部积分法

第三节

有理函数的不定积分第四节第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分

微分学研究如何从已知函数求出导函数,其逆问题是求一个未知函数,使其导函数恰好是某一个已知函数.例如,我们已知t时刻的速度v(t)是位移s(t)的导数,v(t)=dsdt;加速度a(t)是速度v(t)的导数,a(t)=dvdt.现在反过来,已知速度v(t),如何求位移s(t)?已知加速度a(t),如何求速度v(t)?又例如,我们已知曲线y=f(x)在点M(x,y)处的切线斜率k是f(x)在切点横坐标x处的导数,k=f′(x).反过来,如果已知某曲线在任意点M(x,y)处的切线斜率k(x),如何求出该曲线方程?

我们称这类由给定f′(x)求f(x)的运算为积分法.

正如加法的逆运算是减法,乘法的逆运算是除法一样,积分法可以看作是微分法的逆运算.定义1设函数F(x)和f(x)在区间I上有定义,若对于I上每一点x,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在区间I上的原函数.

例如,由(x3)′=3x^2可知,x^3是3x^2在区间(-∞,+∞)上的原函数;由(sinx)′=cosx可知,sinx是cosx在(-∞,+∞)上的原函数;lnx是1/x在(0,+∞)上的原函数;运动方程s=1/2at^2(a＞0,a为常数)是速度v=at在某区间上的原函数,等等.

研究原函数,首先需要解决在什么条件下,函数的原函数存在?如果存在,原函数是否唯一?事实上,并不是每个函数都存在原函数,我们将在下一章中证明下述定理.定理

若函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在I上的原函数F(x)存在.

由于初等函数在其定义域上处处连续,因此,每个初等函数在其定义区间上都存在原函数.

设F(x)是f(x)在区间I上的原函数,即F′(x)=f(x),那么,对任意常数C,由［F(x)+C］′=F′(x)=f(x)知,F(x)+C也是f(x)的原函数.

如果F(x),G(x)都是f(x)在区间I上的原函数,即有F′(x)=G′(x)=f(x),根据微分学拉格朗日中值定理的推论,存在某常数C,使G(x)=F(x)+C.

上述表明,如果某函数存在原函数,那么原函数有无穷多个,并且,它们彼此之间只相差一个常数.因此,若把两个函数相差一个常数作为“等价”看待，则可认为原函数“基本上”只有一个.要把某函数的原函数求出来，只需求出其中任意一个，由它加上各个不同的常数便可得到全部原函数.根据全体原函数的这种结构，引入不定积分的概念.定义2函数f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分，记作∫f(x)dx，其中，记号∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.

由定义2可知不定积分与原函数是整体和个体的关系，f(x)的不定积分∫f(x)dx是f(x)的原函数的全体，是一族函数.若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)在I上的不定积分为∫f(x)dx=F(x)+C，其中，C为任意实数，称为积分常数.第二节换元积分法

利用基本积分表中的公式和不定积分的性质只能求出一些比较简单的不定积分.本节讲述一种基本的积分方法——换元积分法.换元积分法的关键是通过适当的变量代换，将原来的不定积分化为对新变量的不定积分，使后者的积分容易求出.

换元积分法由运用时的方法不同而分为第一类换元法和第二类换元法.一、第一类换元法第三节分部积分法

通过前面内容的学习，利用基本积分法和换元积分法可以解决大量的不定积分计算问题，但是仍然有一些不定积分如∫xcosxdx，∫xexdx，∫xlnxdx等不定积分无法用上述方法求出，那么它们又是如何计算的呢？本节将要介绍另一种基本积分方法——分部积分法.定理

设函数u=u(x)，v=v(x)均具有连续导数，则由两个函数乘法的微分法则可得：d(uv)=udv+vdu或udv=d(uv)-vdu两边同时积分得∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu这个公式被称为分部积分公式.u，v的选择原则如下：1°由φ(x)dx=dv，求v比较容易；2°∫vdu比∫udv更容易计算.

分部积分法在选取u,v过程中，要始终选取同一类函数作为u，v.第四节有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分

若Pn(x)和Qm(x)分别是n,m次多项式,则称R(x)=Pn(x)Qm(x)是有理分式.当n＜m时,R(x)是真分式;当n≥m时,R(x)是假分式.利用多项式的除法,总可以把假分式化成多项式与真分式的和.例如(x^5+1)/(x^3+x+1)=x^2-1-(x^2-x-2)/(x^3+x+1).多项式不难积分,因此,有理函数的不定积分只需讨论真分式的不定积分.据代数学基本定理,任一多项式都能在实数范围内分解为一次因式或二次质因式的乘积,任一真分式都能分解成以一次因式或二次质因式为分母的部分分式之和.第六章定积分

定积分的概念与性质第一节微积分学基本定理

第二节定积分的换元法

第三节

广义积分第四节第一节定积分的概念与性质一、引入定积分概念的两个实例1.曲边梯形的面积

在生产实际中,常常需要计算平面图形的面积.

任意曲线所围成的平面图形的面积计算,依赖于曲边梯形的面积计算.所以,我们先讨论曲边梯形的面积.在直角坐标系中,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形称为曲边梯形.如图6-1所示,M1MNN1就是一个曲边梯形.在x轴上的线段M1N1称为曲边梯形的底边,曲线弧MN称为曲边梯形的曲边.

设y=f(x)在［a,b］上连续,且f(x)≥0,求以曲线y=f(x)为曲边,底边为［a,b］的曲边梯形的面积A(见图6-2).

为了计算曲边梯形的面积A,我们用一组垂直于x轴的直线段把整个曲边梯形分割成许多小曲边梯形.因为每一个小曲边梯形的底边是很窄的,而f(x)又是连续变化的,所以,可用这个小曲边梯形的底边作为宽,以它底边上任意一点所对应的函数值f(x)作为长的小矩形面积来近似代替这个小曲边梯形的面积.再把所有这些小矩形面积加起来,就可以得到曲边梯形的面积A的近似值.由图6-2可知,分割越细密,所有小矩形面积之和就越接近曲边梯形的面积A,当分割无限细密时,所有小曲边梯形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值.第二节微积分学基本定理第三节定积分的换元法第四节广义积分第七章定积分的应用

定积分的微元法第一节定积分的几何应用

第二节定积分的物理应用

第三节

定积分的经济应用第四节第一节定积分的微元法

前面我们从分析解决曲边梯形的面积和变速直线运动的路程两个例子中引入了定积分的概念.如果用定积分来表示的量U满足以下条件：(1)U依赖于区间[a,b],当将[a,b]分成若干子区间后，量U成为对应于各子区间上部分量ΔU的和;(2)U依赖于区间[a,b]上的某函数;(3)在[a,b]的微小子区间[x,x+dx]上对应的部分量ΔU≈f(x)dx.若记量U的微元为dU，

即有ΔU≈dU，ΔU与dU的差是比dx高阶的无穷小.

那么以dU=f(x)dx为积分表达式，从x=a到x=b的定积分∫baf(x)dx就是所求量U.

综上可知，用定积分解决实际问题的方法和步骤如下：(1)根据问题的实际情况，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间[a,b];(2)把区间[a,b]分成n个小区间，取其中一个小区间并记[x,x+dx]，求出该小区间上ΔU的近似值dU,若dU=f(x)dx，就把f(x)dx称为量U的元素;(3)以元素f(x)dx为积分表达式，在区间[a,b]上作定积分，得U=∫baf(x)dx.这种方法称为定积分的微元法.第二节定积分的几何应用一、平面图形的面积

下面我们以求曲边梯形的面积(见图71)为例，介绍如何用定积分来求平面图形的面积.设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，求由x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b(a＜b)所围成的图形的面积A.用微元法分析：

第一步：选积分变量x∈[a,b]和典型区间[x,x+dx][a,b];

第二步：在[x,x+dx]上用矩形面积代替小曲边梯形面积ΔA,f(x)为小矩形的高,则得到面积微元为dA=f(x)dx(7-1)所求图形的面积为A=∫baf(x)dx(7-2)第三节定积分的物理应用第四节定积分的经济应用第八章常微分方程

微分方程的基本概念第一节一阶微分方程

第二节可降阶的高阶微分方程第三节

二阶常系数线性微分方程第四节第一节微分方程的基本概念第二节一阶微分方程第三节可降阶的高阶微分方程第四节二阶常系数线性微分方程第九章向量代数与空间解析几何

空间直角坐标系第一节向量的概念及基本运算

第二节空间平面及其方程

第三节

空间直线及其方程第四节

曲面及其方程第五节空间曲线及其方程

第六节第一节空间直角坐标系一、空间直角坐标系

通常过空间一点O作三条互相垂直的数轴,它们以O为原点,并取相同的长度单位.这三条数轴分别称为x轴(横轴)、y轴（纵轴）和z轴（竖轴），统称为数轴.它们的正方向符合右手规则：以右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正方向逆时针旋转π/2角度到y轴正方向时，则大拇指所指的方向即为z轴的正方向.一般将x轴和y轴放在水平面上，z轴垂直于水平面，如图9-1所示.

这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系，记Oxyz坐标系.点O称为坐标原点，x轴、y轴和z轴统称为坐标轴.每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标面.由x轴和y轴所确定的平面称为xOy坐标面

类似有yOz坐标面和zOx坐标面.三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限，其中第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限位于xOy面上方，含有x轴、y轴、z轴正方向的部分为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始逆时针依次为第Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限；第Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限位于xOy面下方，分别与第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限对应，如图9-2所示.

在空间任取一点M，过点M分别作垂直于坐标轴的三个平面，分别交x轴、y轴、z轴于点P，Q，R，设点P，Q，R在坐标轴的坐标分别为x,y,z.于是点M就唯一确定了一组有序三元数组（x,y,z）.反之，给定一有序三元数组（x,y,z）,在x轴、y轴和z轴上分别确定以x,y,z为坐标的三个点P，Q，R.过这三个点分点作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，这三个平面的交点M，便是由有序的三元数组（x,y,z）在空间确定的唯一的点，

如图9-3所示.这样就建立了有序三元数组（x,y,z）与空间点M的一一对应关系，我们称有序三元数组（x,y,z）为点M的坐标，记作M（x,y,z）.并称x,y,z分别为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.

特别地，坐标原点O的坐标为（0，0，0），x轴、y轴、z轴上的点的坐标分别为（x,0,0）,(0,y,0),(0,0,z),xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面上的点的坐标分别是（x,y,0）,(0,y,z),(x,0,z).设点M(x,y,z),则点M关于xOy面的对称点的坐标为（x,y,-z）,关于x轴的对称点的坐标为（x,-y,-z）,关于坐标原点的对称点的坐标为（-x,-y,-z）.

类似地，可得到点M关于其他坐标面及坐标轴的对称点的坐标.第二节向量的概念及基本运算一、向量的概念

我们常常遇到一些既有大小又有方向的量，例如力、速度、加速度等.我们称既有大小又有方向的量为向量.

向量有两个要素:大小和方向.它可用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的指向表示向量的方向.例如，起点为A，终点为B的有向线段所表示的向量可记为AB(见图9-5).为简便起见，向量常用黑体英文字母或字母上加箭头表示，如向量AB可记为a或a.

在数学上我们通常研究的向量只考虑其大小和方向两个要素，而不考虑其起点的位置，并称这种向量为自由向量，如果两个向量a与b的大小相等且方向相同，则称这两个向量相等，记作a=b.向量的大小称为向量的模，记作|a|或|AB|或|a|.模为1的向量称为单位向量.模为零的向量称为零向量，记作0，零向量的方向不确定，可以说零向量的方向是任意的.

两个向量a和b经平行移动到同一个起点，它们之间的夹角θ(0≤θ≤π)称为向量a和b的夹角，特别当θ=0或π时，称向量a与b平行（或共线），记作a∥b;当θ=π/2时，称a与b垂直，记作a⊥b.二、向量的线性运算

由力学上合力的平行四边形法则，我们来定义向量的加法运算.定义1以定点O为起点作向量a和b，以它们为邻边作平行四边形，则以O为起点作平行四边形的对角线向量c称为a与b的和，记作a+b(见图9-6).

向量相加也可以用三角形法则：以b的起点连接a的终点，则由a的起点到b的终点的向量c就是a与b的和（见图9-7）.如果空间有多个向量相加，只要将它们依次由前一个向量的终点为起点作下一个向量，则由第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量即为所求的和向量（见图9-8）.下面定义数量与向量的乘法运算.定义2实数m与向量a的乘积是一个向量，记作ma，其模为|m||a|，其方向为：当m＞0时，ma与a同向；当m＜0时，ma与a反向；当m=0时，ma=0，方向任意.这种运算也简称为向量的数乘.

若a为非零向量，与a同向的单位向量记作a0，则有a0=1/|a|a或a=|a|a0.

特别地，当m=-1时，（-1）a是与a模相等且方向相反的向量，称为a的负向量，记作-a,即有-a=(-1)a.

引入了负向量，我们可以定义两向量的减法运算，即a与b的差为a-b=a+(-b).由向量相加的三角形法则，可以求差向量：以定点O为起点作向量a和b，则以b的终点到a的终点的向量即为a与b的差向量（见图9-9）

向量的加减法和数乘统称向量的线性运算，容易验证满足下列运算规则：1°交换律a+b=b+a;2°结合律(a+b)+c=a+(b+c);3°a+0=a,a+(-a)=0;4°结合律m(na)=(mn)a=n(ma);5°分配律（m+n）a=ma+na,m(a+b)=ma+mb.三、向量的坐标表示式

为了使向量运算代数化，我们在空间直角坐标系下，引入向量的坐标，使得向量的线性运算通过向量坐标的代数运算来实现.

设在空间直角坐标系中的一个向量a，将a平行移动使其起点为坐标原点O，终点为M（a1,a2,a3）(见图910),过M点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，交三坐标轴于点P，Q，R，根据向量的加法法则，有a=OM=OP+OQ+OR,设i,j,k分别为x轴、y轴、z轴正向的单位向量，则有OP=a1i,OQ=a2j,OR=a3k,从而向量a可表示为a=a1i+a2j+a3k或记为a={a1,a2,a3}.

上式称为向量a的坐标表示式（或坐标分解式），其中a1,a2,a3称为向量a的坐标.事实上，向量的坐标与点的坐标有着密切的联系.OM是点M的向径，显然，OM的坐标与点M的坐标是相同的，即空间一点的坐标与该点向径的坐标相同.或者说，当一个向量的起点在原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.

类似地，可以得到，起点为M1（x1,y1,z1），终点为M2（x2,y2,z2）的向量M1M2的坐标表达式为M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}.

由两点间的距离公式，向量a的模为|a|=|OM|=a21+a22+a23.

又设向量a与x轴、y轴、z轴正向的夹角为α,β,γ(0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π)(见图9-11),称为a的方向角，并称cosα,cosβ,cosγ为a的方向余弦，由此可由方向余弦（或方向角）来表示a的方向，且有第三节空间平面及其方程一、平面的点法式方程

在几何学中，通过一定点M0(x0，y0，z0)，且与一非零向量n={A,B,C}垂直的平面是唯一确定的(见图9-15).若设平面上一动点M(x,y,z)，我们来建立动点所满足的轨迹方程，此即平面方程.

作向量M0M={x-x0，y-y0，z-z0}，因为n⊥M0M，由两向量垂直的条件，有n·M0M=0，即A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.由点M的任意性可知，平面上点的坐标都满足上述方程，而不在此平面上的点其坐标不满足该方程，因此，上述方程就是所求的平面方程，称它为平面的点法式方程，其中的非零向量n称为平面的法向量.一个平面的法向量并不是唯一的，任何一个与该平面垂直的非零向量都可以作为该平面的法向量.第四节空间直线及其方程第五节曲面及其方程

前面我们介绍了最简单的曲面——平面,以及最简单的空间曲线——直线,并建立了它们的方程.本节我们将讨论一般的曲面和空间曲线的方程,并介绍几种类型的曲面.一、曲面方程的概念

建立了空间直角坐标系后，空间的点M与有序数组（x,y,z）构成了一一对应关系，那么对于空间曲面、空间曲线等空间几何图形，就可以看成满足某种规则的点的轨迹，因而其几何图形就可以用点的坐标（x,y,z）所满足的方程式来表示，例如，空间的平面可以用一个三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示，此即为平面方程.

一般地，若空间曲面Σ上任意点的坐标（x,y,z）都满足方程F（x,y,z）=0而不在曲面Σ上的点的坐标都不满足该方程，则称该方程为曲面Σ的方程，并称曲面Σ为该方程的图形（见图9-24）.

一般空间曲面也是满足某约束条件的点的轨迹Σ.在建立了坐标系后，以M（x,y,z）表示动点，以F（x,y,z）=0表示构成Σ的约束条件，则称x,y,z的三元方程F(x、y、z)=0为曲面Σ的方程.在坐标系中描出满足三元方程的点，得到的就是曲面Σ的图像.例如，描出满足(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2的点，得到的是图9-25中所示的球面.空间解析几何对曲面的研究主要有以下两个方面：①据已给定的条件，求动点的轨迹，即建立曲面的方程；②已知曲面的方程，研究曲面的形状和几何性质.二、球面的一般方程

球面是空间中到定点M0（球心）的距离为常数R（半径）的动点M的轨迹Σ.若已经建立了空间直角坐标系Oxyz,M0坐标为（x0,y0,z0）,动点M的坐标为（x,y,z），则据空间两点距离公式，有M(x,y,x)∈Σ(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2

或Σ={(x,y,z)|(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2}

上式称为球面∑在给定坐标系中的方程，简称球面方程.特别地，当定点M0是原点时，球面方程是x^2+y^2+z^2=R^2第六节空间曲线及其方程第十章多元函数微分学

多元函数的基本概念第一节偏导数

第二节全微分及其应用

第三节

多元复合函数和隐函数的求导法则第四节

偏导数在几何上的应用第五节多元函数的极值

第六节第一节多元函数的基本概念一、区域

讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念.由于讨论多元函数的需要，我们把邻域和