2022-2023学年安徽省芜湖市无为县重点中学高一（下）期中数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年安徽省芜湖市无为县重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设复数z=i2023−2iA.3 B.2 C.−3 D.2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′CA.22 B.2 C.23.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AA.14AB−34AC 4.已知|a|=1，|b|=2，且a与A.1 B.7 C.13 5.下列命题中，真命题为(

)A.若两个平面α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b

B.若两个平面α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面

C.若两个平面α//β6.在三棱锥P−ABC中，PA、AB、AC两两垂直，A.57π B.63π C.45π7.在直角梯形ABCD中，AB=4，CD=2，AB//CA.8 B.12 C.16 D.208.在△ABC中，cos2A2=b+c2c(aA.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题中，真命题为(

)A.若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P，Q，R，P，Q，R三点共线

B.若两条直线a，b互相平行且分别交直线c于A，B两点，则这三条直线共面

C.若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(

)A.AB与CD是异面直线

B.GH与CD相交

C.EF与AB是异面直线

11.已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的有(

)A.e1⋅e2=1 B.e12=e12.对于△ABC，有以下判断，其中正确的是A.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形

B.若A>B，则si三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.i是虚数单位，复数|8+i2−14.已知a=(2,1)，b=(15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，a=2c16.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．

(1)若18.(本小题12.0分)

已知向量a与b的夹角为π6，且|a|=3，|b|=2.向量a−2b与λa+b19.(本小题12.0分)

如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB、AD//B20.(本小题12.0分)

为了测量隧道口A、B间的距离，开车从A点出发，沿正西方向行驶4002米到达D点，然后从D点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C点，再从C点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口B点处，测得BD间的距离为1000米．

(1)若隧道口B在点D的北偏东θ度的方向上，求cosθ21.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=(cosB,2cos2C2−1)，n=(c,b−2a)22.(本小题12.0分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2asinCcosB+2答案和解析1.【答案】C

【解析】解：z=i2023−2i=i4×505+3−2i2.【答案】D

【解析】解：因为直观图是底角为45°的等腰梯形，且B′C′=1，OC′=2，

所以等腰梯形的高为h=OC′sin45°=23.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．

利用向量加法的三角形法则以及中点的性质化简即可求解．【解答】解：因为AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

所以EC=ED

4.【答案】C

【解析】解：∵|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为π6，

∴a⋅b=1×25.【答案】B

【解析】解：若两个平面α//β，则α与β无公共点，

又a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，可得a//b或a与b异面，故AC为假命题，B为真命题；

若两个平面α∩β=b，a⊂α，则a⊂β6.【答案】C

【解析】解：如图，

∵PA、AB、AC两两垂直，

把三棱锥P−ABC补形为长方体，则长方体的外接球即三棱锥P−ABC的外接球，长方体的对角线长为PA2+AB2+A7.【答案】D

【解析】解：建立坐标系如图：则A(0,0)，B(4,0)，D(0,2)，C(2,2)，E(8.【答案】B

【解析】解：∵cos2A2=b+c2c，

∴1+cosA2=b+c2c，

∴c(9.【答案】AB【解析】解：对A选项，∵△ABC确定唯一平面，记为平面ABC，

又根据题意可知P∈平面ABC，且P∈平面α，

∴P点在两平面的公共直线上，

同理可得Q，R也在两平面的公共直线上，

故P，Q，R三点共线，∴A选项正确；

对B选项，∵a//b，∴直线a与直线b确定唯一平面，记为α，

又直线a，b互相平行且分别交直线c于A，B两点，

∴A∈a⊂α，B∈b⊂α，且A，B∈c，

∴c⊂α，故直线a，b，c共面于α，∴B10.【答案】AB【解析】解：把展开图还原为正方体，如图所示：

还原后点G与点C重合，点B与点F重合，

由图可知，AB与CD为异面直线，GH与CD相交，故A，B正确；

因为EF与AB相交，故C错误；

因为EF与CD平行，故D错误．

故选：11.【答案】BC【解析】解：e1⋅e2=|e1|⋅|e2|cosθ，故A错误；

e12=e22=1，故B正确；

(e1+e2)⋅12.【答案】BC【解析】解：对于A：由sin2A=sin2B，

又A∈(0,π)，B∈(0,π)，A+B∈(0,2π)，

可得：2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A选项错误；

对于B：由A>B，则当A∈(0,π2]时，sinA>sinB，

当A∈(π213.【答案】5【解析】【分析】本题考查了复数模的计算，属于基础题．

由复数|8【解答】解：复数|8+i2−3i

14.【答案】−1【解析】解：根据题意，a=(2,1)，b=(2,x)，

则a+2b=(6,1+2x)，)a−b=(0，1−x)，

若(a+2b)⊥(a−15.【答案】6【解析】【分析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．

利用余弦定理得到c2，然后根据面积公式S【解答】解：由余弦定理有b2=a2+c2−2accosB，

∵b=6，a

16.【答案】1

【解析】解：棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，D1A1⊥平面A1ABB1，

则D1A1⊥平面A1MN，连接A1B交MN于点O，如图所示：

正方体的棱长为2，且M，N分别为棱BB17.【答案】解：(1)∵z1=3+4i，z2=−2i，

∴z=z【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．

(2)18.【答案】解：(1)设a−2b=m(λa+b)，

则mλ=1m=−2，

解得λ=−12；

(2)∵λ=−12，∴a【解析】(1)设a−2b=m(λa+b)，则m19.【答案】解：(1)由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆台下底面、侧面和半球面，

S半球=12×4π×22=8π，

S圆台侧=π(2【解析】本题考查几何体的表面积与体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

(1)分别求解圆台下底面、侧面和半球面的面积，作和得答案；

(20.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理得BDsinC=BCsin∠CDB，即1000sin45∘=400sin∠CDB，

∴sin∠CDB=2【解析】(1)由正弦定理可得sin∠CDB=25，进而可求cosθ21.【答案】解：(Ⅰ)∵向量m=(cosB,2cos2C2−1)，n=(c,b−2a)，且m⋅n=0，

∴c⋅cosB+(b−2a)cosC=0，

由正弦定理可得，

sinCc【解析】(Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则计算