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文档简介
§1.3BolzanoCauchyP40Ex1.35,6(1(3,9四、CauchyCauchy列的概念(Cauchy列又称为基本列定义:设an是一个数列,若对于任意的0N,当mNnNan
q1时,qnCauchyqnqm
qn1qm
2qn(m,
qn0,所以对任意的0N,当mnan
CauchyCauchy设k
A0,由于anCauchyN1,当mN1nN1an
;又因为
k
A,所以存在正整数K,当k
ANmaxN1K}nNkNanAan
A2即n
anAan发散存在00,对任意的N0,总存在nN,m
,使得anam0n(1)
lim2nkn“0 kn
1 k n
limknk11“ kn1
1
12若数列ana2a1a3
n
an“bna2a1a3
an
由an1an
Note:例(3)an
n
a2。
a3a2§1.4P60Ex1.4
x
f(x)A00,当0
x
f(xA(1)0
x
f(xf(x0(3)与x0
x
f(x)A
x24
sinx0f1f1
x
x
f(x)A0
x
A定理:若
u
f(u)A
x
g(x)
,且xx0
g(x)u0x
f(g(x))A证明:0f(u)A
u
f(uA10,当0u
1时,对于上述10
x
g(x)u0xx0g(x)u0,所以0当0
x
时,有0g(x
1
f(g(xAf(xx0的左侧附近单调增加(减少)且有上(下)f(xx0的左f(xx0的右侧附近单调减少(增加)且有上(下)f(xx0
x
f(x)A
n
xnx0(xnx0,都
n
f(xn)Ax
f(x)A0
,
,满足
0
x0f(xA0特别地,取
1,得到xn满足0n
xn
1n
f(xn)A0 (1)
x
f(x)
xppq互素)
f(x
Note:两个整数互素(互质)指的是它们之间除了1x0是一个无理数,只要证明对任意的 f(zn0
n
znx0(znx0)n
znk
k
f(xk)0
yk
pk。对于任意的0
f(yk)
k
1qN0kNkkfyk)0
f(yk)
n
f(zn0Notef(x
xppq互素NoteRiemannf(x
Cauchy
x
f(x存在0,0,当0
x1
,0x2
有f(x1f(x2)
f(x1)f(x2)
f(x1)A
f(x2ACauchy设xn
xnx0(xnx0的任意数列(先证数列f(xn)是一个
x
f(x)
f(xn)0,根据条件可知,00
x
,0
x
时,有f(xf(x)对于上述0
xnx0(xnx0N0,当nNm0xn
,0
xm
,从而
f(xnf(xm)。这说明数列A
n
f(xn)0,存在N1
,当nN1时,有f(xnA取n0maxNN1
0
x0
f(xn0)A
0xx0
时,有
f(x)A
f(x)f(xn0)
f(xn0A2,故x
f(xx
f(x)不存在的Cauchy准则:000x,x,满足0x
,0
x
f(xf(x)0Cauchy
x0“取010,对01,取x,x2
,则0
x
,且2f(x)f(x)
11
112020
“不妨设
x11x30,取
0
x1,0
x1时,x x1
4x1x18 L’Hospitalf(x),g(x)(1)x0g(x)
x
g(x)
x
f(x)A()g则x
f(x)g(x)
x
f。g
x
g(x)Cauchy
0xx0
f(x)g(x)
f0
0xx0
g(x)
,所以存在10,M0x(x0x0ff
A
Mfgxx1(x0fgfg(xfg(x)fg(x)
f(x)fg(x)f(x)f(x)fg(x)f(x)fg(x)g(x)[g(x)f(x1)g(x1)f(x)g(x1)f(x1)g(x)fg(x)[g(x)
f()
f()Ag()
g(x)g(x)
fgfg(x)Mfg(x)
0xx0
g(x),所以存在20x(x0x02MMffg(x)取min1,2}x(x0xfg(x)
A2
0xx00xx0
f(x)g(x)f(x)g(x)
ffg(x)
f(x)f(x1)fg(x)g(x)fg(x)
f(x)fg(x)f(x)g(x1)f(x1)g(x)g(x)[g(x)
f
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