数系的扩充和复数的概念

预习探究1.复数(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作

,a叫作复数的

,b叫作复数的

.

(2)表示方法:复数通常用

表示,即

,这一表示形式叫作复数的代数形式.

2.复数集(1)定义:

所成的集合叫作复数集.

(2)表示方法:通常用

表示.

知识点一复数的有关概念虚数单位实部虚部字母zz=a+bi(a,b∈R)全体复数C复数的概念预习探究1.为了解决复数开方问题，引入新数i,叫虚数单位。

规定：2.形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数复数集：复数全体所组成的集合叫作复数集.

一般用字母C表示。复数系:定义了复数的加法和乘法运算后的复数集。知识点一复数的基本概念3.复数的代数形式：

复数Z表示成a+bi(a,b∈R)，叫作复数的代数形式叫复数Z的实部，叫复数Z的虚部。规定：0i=00+bi=bi预习探究3.复数的分类复数相等的充要条件:如果两个复数的实部与虚部分别对应相等,那么我们就说这两个复数相等,即a,b,c,d∈R,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.两个复数相等的概念例题选讲例1实数m取什么值时，复数1）是实数：2）是虚数：3）是纯虚数预习探究[思考]判断下列说法的正误,正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. (

)(2)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为零,则这两个复数相等. (

)(3)若ab=0,则z=a+bi为纯虚数. (

)(4)任何两个复数都不能比较大小. (

)[解析]

(1)当b=0时,z=a+bi为实数.(2)这两个复数的实部和虚部分别相等,故两个复数相等.(3)当a=0且b≠0时,z=a+bi为纯虚数;当b=0时,z=a+bi为实数.(4)当这两个复数中至少有一个虚数时,不能比较大小.×√××1．自然数、整数、有理数和实数，用图形表示包含关系如下：2．虚数单位i是数学家想象出来的，由此可以得到复数集．实数恰可以看成是特殊的复数(虚部为零的)，另外，由复数相等的意义可以知道复数由实部和虚部唯一确定，

备课素材备课素材4．复数相等的定义是求复数值和在复数集中解方程的重要依据，一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如3＋5i与4＋3i不能比较大小．5．复数是实数的充要条件(1)z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；(2)z∈R⇔z＝z；(3)z∈R⇔z2≥0.由a＋bi＝a－bi，得2bi＝0，∴b＝0，故z∈R，反之成立．由z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，得2ab＝0，且必定有b＝0，故z∈R，反之成立．6．复数是纯虚数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0；(2)z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；(3)z是纯虚数⇔z2＜0.

备课素材考点类析考点一复数的概念例1(1)给出下列三个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1的虚部是2i;③2i的实部是0.其中真命题的个数为 (

)0 B.1 C.2 D.3[答案]

(1)B[解析]

(1)对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不成立,如z=i,z2=-1<0,所以①为假命题;对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以②为假命题;对于③,2i=0+2i,其实部是0,所以③为真命题.考点类析(2)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是

.

(3)判断下列命题的真假.①若x,y∈C,则x+yi=1+2i的充要条件是x=1,y=2;②若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;③在复数集中,实数集的补集是虚数集.

考点类析考点二复数的分类应用

考点类析

考点类析[小结]对复数基本概念的理解:(1)虚数单位的性质:i2=-1,1·i=i,0·i=0.(2)复数的实部与虚部的确定方法:首先将所给的复数化简为复数的代数形式,然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部.(3)对于复数z=a+bi(a,b∈R),当且仅当a=0,b≠0时,z为纯虚数,在求解时,易忽略“b≠0”这一条件.考点类析考点三复数相等及其应用[导入](1)两个复数能否比较大小?(2)两个复数相等的充要条件是什么?解:(1)如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大小.(2)复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,d∈R).考点类析例3已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,求x与y的值.

考点类析

考点类析[小结]已知两个复数相等,可根据复数相等的充要条件将其转化为方程(组)来求解,体现了化归与转化的思想.当两个复数相等时,应先分清两个复数的实部与虚部,然后让实部与实部相等,虚部与虚部相等.考点类析【拓展】已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是

.

[答案]

[3,5]

1．复数与充要条件[例1]

“a＝0”是“复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的(

)A．充分不必要条件B．必要不允分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

备课素材[答案]B[解析]复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数⇔a＝0且b≠0，∴“a＝0”是“复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.

2．复数与方程例2方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________．

备课素材[答案]21.给出下列说法,其中正确说法的个数是 (

)①如果两个复数的差等于0,那么这两个复数相等;②若a,b∈R且a>b,则ai>bi;③如果复数x+yi是实数,则x=0,y=0;④复数a+bi不是实数.

A.1 B.2 C.3 D.4当堂自测[答案]A[解析]只有①的说法正确,其余都是错的.

当堂自测[答案]C3.若z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为 (

)A.1 B.0C.-1 D.-1或1当堂自测[答案]B

4.“a=0”是“复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的 (

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当堂自测[答案]B[解析]复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数⇔a=0且b≠0,∴“a=0”是“复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件,故选B.