高等数学-函数的概念课件

主讲教师：总课时：124

第一讲

函数的概念高等数学12023/6/7引言一、什么是高等数学?初等数学—

研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—

研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯笛卡儿目录上页下页返回结束22023/6/71.分析基础:函数,极限,连续.2.微积分学:1)多元函数微分学4.

常微分方程主要内容2)一元积分学.机动目录上页下页返回结束1)一元微分学;3.多元微积分:2)二重积分;3二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节目录上页下页返回结束华罗庚4谢谢观赏2019-8-23给出了几何问题的统一笛卡儿

(1596～1650)法国哲学家,数学家,物理学家,他是解析几何奠基人之一.1637年他发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点,进而提出了“另外一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,5谢谢观赏2019-8-23华罗庚(1910～1985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献,发表专著与学术论文近300篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是“宽,专,漫”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词:“学而优则用,学而优则创”.6谢谢观赏2019-8-23

三、高等数学的性质与作用

高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一，它是理工科大学生必修的数学基础理论课程，也是学习后续数学的必修课，还是学习其他专业的必修课。

高等数学的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时也是参加具有选拔功能的水平考试的必备基础。

通过本课程的教学，使学生掌握较完整的高等数学基本知识的同时，注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、综合运用能力和数学语言及符号的表达能力。结合习题课、课后作业、考试等相关教学环节提高学生综合运用基本概念、基本理论、基本方法分析问题和解决问题的能力，并逐步培养学生科学求实、严谨准确的作风。通过本课程教学，与其它数学基础课共同达到全面提高学生数学素质的目的。笛卡儿目录上页下页返回结束7谢谢观赏2019-8-23第一章分析基础函数极限连续—

研究对象—

研究方法—

研究桥梁函数、极限、连续8谢谢观赏2019-8-23

第一章二、函数一、集合机动目录上页下页返回结束§1

函数9谢谢观赏2019-8-23元素a

属于集合

M,记作元素a

不属于集合M

,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束10谢谢观赏2019-8-23表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合和有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间机动目录上页下页返回结束11谢谢观赏2019-8-23无限区间半开区间机动目录上页下页返回结束闭区间12谢谢观赏2019-8-23点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.去心

邻域左

邻域:右

邻域:13谢谢观赏2019-8-23主讲教师：陈殿友总课时：124

第二讲

函数的概念高等数学14谢谢观赏2019-8-23二、函数1.函数的概念

定义2.设有两个变量x和y，如果对于x所考虑范围内的每一个值，y按一定的规则对应着一个确定的值，则称y是x的函数，记作y=f(x).

定义3.对于自变量x变化范围内的每一个值x0，函数y有一个确定的值y

0与之对应，我们称函数在点x0处是有定义的，使函数有定义的全体的点的全体（也就是x的变化范围）称为函数的定义域。定义域自变量因变量15谢谢观赏2019-8-23f(D)称为值域函数图形:机动目录上页下页返回结束16谢谢观赏2019-8-23(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域

对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束17谢谢观赏2019-8-232.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称

说明:

还可定义有上界、有下界、无界(见上册P11)

例如函数f(x)=sinx在（-∞，+∞）内是有界的，数1就是它的一个上界，数-1就是它的一个下界。为有界函数.在I

上有界.机动目录上页下页返回结束使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.|sinx|≤1

又如对于任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx

（-∞，+∞）内是有界的.这里的M=1（当然也可以取大于1的任何数M而使|f(x)|≤M成立）.18谢谢观赏2019-8-23

例如f(x)=x2在区间[0，+∞）上是单调递增的，而在区间（-∞，0]上是单调递减的.在区间（-∞，+∞）上不是单调的.

又如，函数f(x)=x3在区间（-∞，+∞）内是单调增函数.机动目录上页下页返回结束(2)单调性当

时,称为I

上的称单调增函数;单调减函数.为I

上的19谢谢观赏2019-8-23(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记机动目录上页下页返回结束20谢谢观赏2019-8-23又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记机动目录上页下页返回结束21谢谢观赏2019-8-23(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束22谢谢观赏2019-8-23主讲教师：陈殿友总课时：124

第三讲

函数的概念高等数学23谢谢观赏2019-8-233.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质习惯上,的反函数记成机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:

设函数y=f(x),当变量x在一个区域Df内变化时，变量y在区域Rf内变化，如果对于变量y在区域Rf内任取一个值y0，变量x在区域Df内有x0，使y0=f(x0),则x变量是y变量的函数,用表示，函数称为函数y=f(x)的反函数.24谢谢观赏2019-8-232)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数25谢谢观赏2019-8-23(2)复合函数则

两个函数的所谓复合，实际上就是中间变量介入自变量到因变量的变化过程.设有如下两个函数称为由①,②确定的复合函数

,①机动目录上页下页返回结束②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数:函数但函数不能构成复合函数

.可定义复合26谢谢观赏2019-8-23机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:27谢谢观赏2019-8-234.函数的运算：加法，乘法，商。

设函数f(x),g(x)的定义域依次为D1,D2,D=D1∩D2≠则我们可以定义这两个函数的下列运算:和(差)f±g:（f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D;积f.g：（f.g)(x)=f(x).g(x),x∈D;商28谢谢观赏2019-8-23例：设函数f(x)的定义域为(-l,l)，证明必存在的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).证先分析如下：假如这样的g(x)、h(x)存在，使得f(x)=g(x)+h(x)，且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x).于是有f(－x)=g(－x)+h(－x)=g(x)－h(x).29谢谢观赏2019-8-23利用（１）﹑（２）式，就可作出们作如下证明：作这就启发我则g(x)+h(x)=f(x).且30谢谢观赏2019-8-235.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17–P21)机动目录