考点06-函数的奇偶性与周期性课件

06函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性与对称性(1)偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f(x)的定义域内①_____一个x，都有f(－x)＝②_____f(－x)＝③_____结论函数f(x)叫作偶函数函数f(x)叫作奇函数图象特征图象关于④_____对称图象关于⑤____对称任意f(x)－f(x)y轴原点(2)奇偶函数的性质(i)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(ii)在公共定义域内a．两个奇函数的和函数是⑥_______函数，两个奇函数的积函数是⑦_______函数．b．两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数．c．一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．(iii)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.奇偶2．函数周期性(1)周期函数的定义对于函数y＝f(x)，如果存在一个⑧_____常数T，使得当x取定义域内的⑨_____值时，都有⑩____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)常见的几个结论周期函数y＝f(x)满足：(i)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为⑪_____；(ii)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；非零任何f(x＋T)＝f(x)2a考向1函数奇偶性的判断

函数奇偶性的判断是函数奇偶性问题的基础．在高考中以选择题、填空题形式出现，属于容易题，分值5分．例1(1)(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 (

)A．y＝cosx B．y＝sinxC．y＝lnx D．y＝x2＋1(2)(2014·课标Ⅰ，3)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 (

)A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数【解析】

(1)由选项可知，A，D为偶函数，但D中函数无零点．(2)(利用函数奇偶性的定义判断)对于A：令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错；对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错；对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数，C正确；对于D：令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，∴h(x)为偶函数，D错．【答案】

(1)A

(2)C

判断函数奇偶性的方法(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法变式训练1．(2018·辽宁锦州月考，4)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的 (

) A．必要不充分条件

B．充要条件 C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件 【解析】

f(x)在R上为奇函数⇒f(0)＝0；f(0)＝0f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.A2．(2018·山西大同检测，4)下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是 (

)C考向2函数奇偶性的应用

由于函数的奇偶性在求函数值、求解析式、求解析式中参数的值、画函数图象和判断函数单调性等方面有着重要应用，因此已成为高考命题的一个热点，常与函数的其他性质交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，分值5分．例2(1)(2018·安徽合肥月考，4)已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为 (

)A．3 B．0C．－1 D．－2【解析】

(1)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.(2)由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以xlna＝0.又因为x不恒为0，所以lna＝0，即a＝1.【答案】

(1)B

(2)1

应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．变式训练D2．(2018·宁夏银川月考，13)已知f(x)是定义在R上的奇函数，

当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝___________________． 【解析】

∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x(x＜0)，考向3函数的周期性及其应用

利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题，在高考中经常出现，虽不及函数的单调性、奇偶性考查频率高，但仍不失为一个重点内容，以选择题、填空题形式考查，属中低档题目．(2)(2014·课标Ⅱ文，15)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．(2)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.【答案】

(1)－2

(2)3

函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．变式训练1．(2018·安徽六安月考，14)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2019)＝___________． 【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2019)＝f(3＋4×504)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.－12．(2018·福建泉州检测，14)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)＝_________． 【解析】

∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，

∴f(－x＋1)＝f(x＋1)， f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，

∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，

∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，

∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.2考向4函数性质的综合应用

函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性、单调性，考查函数性质的综合应用．高考中多以选择题、填空题的形式出现，难度稍大，为中高档题．(2)(2018·河南安阳模拟，15)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．【解析】

(1)由f(x)是偶函数且f(x)在(－∞，0)上单调递增，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)∵f(x)为奇函数且f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(x)＝f(4－x)且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．∵f(x)在[0，2]上是增函数，∴f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上是减函数．据此可画出y＝f(x)图象的草图(如图)：其图象也关于直线x＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.

函数性质综合应用的注意点(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性