2021年广东省春季高考数学模拟试卷八含解析

2021年广东春季高考数学模拟试卷（8）

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）

1.已知集合”={1,2,3,4,5},且G“A={3},则集合4的真子集个数是（）

A.15B.8C.7D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据条件求出集合A,然后再求集合4的真子集个数.

【详解】

集合M={1,2,3,4,5},且A={3}集A={1,2,4,5）

所以集合A的真子集个数是2今-1=15个

故选：A

【点睛】

本题考集合的补集运算，和集合的真子集的个数，属于基础题.

2.如图所示的图形中，可以表示以M={x|O〈x〈I}为定义域，以"={川0＜丁＜1}为值域的函数的

图象是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的定义可判断.

【详解】

解：A选项，函数定义域为〃，但值域不是N;

B选项，函数定义域不是〃，值域为N；

D选项，集合M中存在x与集合N中的两个＞对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的概念及表示方法，是基础题.

3.若函数f(x)="(。＞0且4H1)在［-2,1］上的最大值为4,最小值为小，实数机的值为()

A.-B.一或一C.—D.一或—

24216216

【答案】D

【解析】

【分析】

分类讨论0＜。＜1、分别对应单调减函数、单调增函数，结合已知最值情况即可求切的值；

【详解】

函数/(8)=优在上:

当0＜。＜1时，/(X)单调递减：最大值为f(-2)=a＜=4,最小值/(1)=。=，〃，即有机=；：

当时，/(x)单调递增：最大值为/⑴=。=4,最小值/(-2)=。-2=m，即有机=_L；

16

综上，有机=工或机='；

216

故选：D

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，根据指数函数的单调性，结合已知最值求参数值，属于简单题.

4.已知角。的终边经过点(3,T),贝ijcos|仁+。尸()

4334

A.--B."-C.—D.一

5555

【答案】D

【解析】

【分

利用诱导公式可得cos[1+a)=_sina,

再利用三角函数的定义求解即可.

【详解】

-4_4

因为角a的终边经过点(3,-4),所以sina

「心+(-4)25-

所以cos|—+a|=-sina=—.

(2)5

故选D.

【点睛】

本题考查三角函数的定义和诱导公式，是一道基础题，解题时要注意符号.

5.将函数/(%)=2sin12x-(J的图象向左平移9(0＜。＜2乃)个单位后得到的图象关于直线犬=看对

称，则。的最大值为()

1\n5加23万4乃

A.——B.—C.------D.—

63123

【答案】A

【解析】

【分析】

平移后所得三角函数为/(x+8)=2sin12x-q+20)乂因为关于平移后图像关于x=对称，所以

rrk/r

(p=-+—(keZ),再根据。的取值范围，即可得解.

【详解】

，(尤+夕)=2sin[2x-y+

—TCTC—TC,/7

/•2x——+2(p——+k,7i(kGZ),

7ikjiz.

cp——+2(kGZ)9

＜0＜夕＜2万，

1U

6

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角函数的平移变换，考查了三角函数的最值问题，有一定的计算量，属于基础题.

6.周长为9的三角形三边长。，b,c长度依次相差1,最大内角和最小内角分别记为a,/3,则

cos(a+0=(

5R561111

A.—O.------------D.

16161616

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出a,b,c长度，找到最大角和最小角，利用余弦定理解决.

【详解】

由题意得：a+b+c=9,

。+。+1+。+2=9,即a=2,b=3,c=4,

:•a=C，B=A、

222

,(八Da+c-b4+16-911

一costa+p)=cos(A+C)=-cosB=-----------=---------=

')')lac1616

故选：C.

【点睛】

此题考余弦定理的应用，属于简单题.

7.已知04=(2,3),。3=(-34)，若。4_LQB，则|A8|等于()

A.2B.726C.572D.——

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据0A±03求出>和AB的坐标，即得IABI.

【详解】

因为。4_LQB，所以2x(—3)+3y=0,：.y=2.

所以03=(-3,2),AB=A8|=J(-5。+(-=届.

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量的坐标计算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平.

8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减

一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一

天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第4天走

了()

A.60里B.48里C.36里D.24里

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可知，每天走的里数构成以3■为公比的等比数列，由S6=378求出首项，再由等比数列通项公式

可求得结果

【详解】

解：记每天走的路程里数为｛《,｝,可知｛4｝是以公比夕=；的等比数列，

q(l-)

因为§6=378,所以——卷-=378,解得q=192,

1--

2

所以4=192x^=24,

故选：D

【点睛】

此题考查函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前.〃项和公式的应用

9.已知a<0,0</><1,则下列结论正确的是()

A.a>abB.a>ab2C.ab<ab2D.ab>ab2

【答案】C

【解析】

【分析】

对每组式子作差判断大小.

【详解】

a-ab=a(l-b)<0,：.a<ab,故A错误；

222

a-ab=4Z(1-/J)=4Z(1-Z?)(1+Z?)<0,：,a<ab•故B错误；

ab—ab2=ab(\—b)<0,ab<ah2,故C正确，D错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式性质的应用，考查作差法判断大小，属于基础题.

10.如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()

外接球的表面积s=欢/2=3万，

即该几何体的外接球的表面积为3万，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三视图还原几何体以及几何体的外接球问题，还考查了转化化归的思想和空间想象的能力,

属于基础题.

11.若直线/过点（2,码,倾斜角为120。，则点到直线/的距离为（）

AGHr3金n$6

A.RB.x/3C.----D.---

222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用点斜式写出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

由倾斜角为120°得直线的斜率为-6,

求得直线I的方程为y=-6X+36,

则点（1,一6）到直线I的距离d=椁-闽=当,

故选：C.

【点睛】

本题考查了点斜式方程、点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.

12.已知直线%+丁+2=0与圆/+:/+2彳一2,+。=0没有公共点，则实数。的取值范围为（）

A.(-<x>,0]B.[0,+oo)C.(0,2)D.(HO⑵

【答案】C

【解析】

【分析】

首先得出圆的圆心和半径，然后由圆心到直线的距离大于半径建立不等式求解.

【详解】

圆f+/+2彳-2）；+。=0即为（％+1）2+（>；—1）2=2-。.

所以圆心为（一1,1）,半径为

因为直线x+y+2=0与圆/+：/+2彳-2），+。=0没有公共点，

所以直线与圆相离

实数”的取值范围为（0,2）

故选：C

【点睛】

设圆的半径为，圆心到直线的距离为d,当直线与圆相离时有d>r,当直线与圆相切时有d=r，当

宜线与圆相交时有d〈厂

13.某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2（）0（）人、高三〃人中，

抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为3（）人，那么高三被抽取的人数为（）

A.20B.25C.30D.35

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用分层抽样的比例关系得到答案.

【详解】

2000

根据分层抽样的比例关系：高：抽取人数为舞X30=25人，

2400

则高三抽取90—30-25=35人.

故选：D.

【点睛】

本题考查了分层抽样，属于简单题.

14.若向边长为2的正方形ABCD区域内投一粒不计大小的种子（种子落入正方形ABC。区域内），则

种子到点4的距离小于1的概率是（）

7T7171H

A.-B.—C.—D.—

416832

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何概型模型，利用面积比可求得结果.

【详解】

正方形面积为2x2=4,种子落点形成的区域的面积为,xTrxf=2，

44

n

所以所求事件的概率为4=2.

7-16

故选：B.

【点睛】

本题考查了几何概率模型，属于基础题.

15.函数/(%)定义域为R+,对任意x,yeR+都有/(呼)=/(x)+/(y),又/⑻=3,则/(后)=()

I1

A.一B.1C.----D.-rv/2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的性质可得〃8)=6/(、历)，即可得解.

【详解】

函数/(x)对任意x,yeR*都有/(M=/(x)+/(y),

48)="2)+〃4)=”2)+”2)+”2)=3〃2)=6/(逝)=3,

故选：A.

【点睛】

本题考查了抽象函数性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

二、填空题

16.圆柱的底面半径为3,侧面积为121，则圆柱的体积为.

【答案】18万

【解析】

【分析】

根据底面半径为3,侧面积为12万，求得高，再代入体积公式求解.

【详解】

由已知圆柱的底面半径r=3,设高为〃，

侧面枳为S=2R7Z=12万，所以〃=2,

所以圆柱的体积为V=Sh=7rr2h=187.

故答案为：18万

【点睛】

本题主要考查圆柱的侧面积和体积，属于基础题.

’”3

17.若变量(x,y)满足的束条件XV4,则z=2的最小值为___________.

x+y-5>0x

【答案】v

【解析】

【分析】

根据约束条件得到可行域，并结合z=?的含义知z表示直线的斜率火，根据可行域求得直线y="的最小

x

斜率即为Z的最小值

【详解】

由已知约束条件可得可行域，且z=2表示直线)，=履的斜率左=z,如下图示

X

131

.♦•可知：人［丁万］即ZmL心刀

故答案为：—

4

【点睛】

本题考查了线性规划，利用己知约束条件所得到的可行域求目标函数的最值

18.已知向量a=(l,，〃)，8=(3,-2),且(a+Z?)_LZ?,贝!］"?=.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据向量坐标运算和向量数量积运算(。+力，b，则(。+»包=0行〃/+片=0,得到，即可求解.

【详解】

由题意，(a+Z?)_L〃即(a+/?)-Z?=0,则a.o+//=().

・2

a・b=3—2m、6=13

所以+=3-2机+13=0，所以加=8

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，根据向量垂直其数量积为0,着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

absinxcos2x

19.规定：行列式，=ad-6c,则函数尸’1的最小正周期是.

ca1cosx

【答案】乃

【解析】

【分析】

利用二阶行列式的运算可得y=sinxcosx-cos2jc,根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式将函数

y=sinxcosx-cos2x-sin2%--^--,由7=军=乃即可求解.

2L4)22

【详解】

r，口.2sin2xcos2x1V2.(1

由题总可得y=sinxcosx-cos~x=-----------------------=——sin2x——，

-2222L4j2

所以T=M=%.

2

故答案为：兀

【点睛】

本题考查了二阶行列式、二倍角的正弦、余弦公式、辅助角公式以及三角函数的最小正周期的计算公式，

属于基础题.

三、解答题

20.已知等差数列｛q｝中4=-12,%=一8,

(1)求数列｛q｝的通项公式

(2)当n取何值时，数列｛%｝的前〃项和S“取得最值，并求出最值.

【答案】⑴。“=2〃-14⑵当n=6或7时，S“取最小值，最小值为T2

【解析】

【分析】

(1)根据等差数列定义及4,小的值，代入即可求得公差，即可得通项公式.

(2)根据等差数列的前n项和公式，求得S“=〃2-13W,利用配方法得关于n的二次函数，即可判断最

值，注意n取正整数.

【详解】

(1)q=-12,0,=-8

dn——12+(〃—l)x2=2〃—14

(2)S“=〃x(-⑵+\，x2=〃2—13〃

(13?169

I2J4

...当n=6或〃=7时，S0取最小值，最小值为-42

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式的求法，等差数列前n项和公式的简单应用，属于基础题.

21.如图，在三棱锥P-A3C中，P4_L45,PA±BC,AB±BC,PA=AB=BC=2,O为线段AC的中点,

E为线段PC上一点.

⑴求证：PA±BD；

⑵求证：平面5DE_L平面/MC；

（3）当R1〃平面8OE时，求三棱锥E-5C。的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1

【解析】

试题分析：（I）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（II）要证明面面垂直，一般转化为证明线

面垂直、线线垂直；（III）由丫=,xSBCOXOE即可求解.

3

试题解析：（I）因为Q4_LA3，PA1BC,所以平面ABC，

又因为B£>u平面ABC,所以Q4_LBE>.

（II）因为AB=3C,。为AC中点，所以BD_LAC,

由（I）知，PAA.BD，所以平面PAC.

所以平面BDE±平面PAC.

（III）因为平面8DE，平面尸ACc平面

所以PADE.

因为。为AC的中点，所以。E=gpA=l,BD=DC=4i

由(I)知，Q4J_平面A8C,所以OEL平面PAC.

所以三棱锥E—88的体积V=‘BZ>£)C£)E='.

63

【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，

要证明线面垂直，根据判定定理可转化为