2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期期末考试数学试题含答案

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有丁一千五百万，出兵四十万.问科一兵？”翻译成现代文

就是：“今有1500万壮丁，要出兵40万.问几个壮丁中要征一个兵？”这个问题体现了中国古代的

概率思想，则对于其中任意一个壮丁，被征为士兵的概率为（)

2二4〃11-73

A.—B.—C.—D.—

75151575

【答案】A

【分析】根据古典概率模型即可得解.

【详解】依题意：要从1500万壮丁中选出40万，

402

任意一个壮丁被征为士兵的概率为P=-=—.

150075

故选：A

2.为了测试小班教学的实践效果，刘老师对A、8两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计

如图所示；记本次测试中，A、8两班学生的平均成绩分别为京，石，A、8两班学生成绩的方差

分别为S3s；,则观察茎叶图可知（）

Z班8班

458

35136

426245

6884673340

28651832

5291

A.<xB,3<B.xA>xBf〃<%

>

C.xA<xB9D.xA>xB,>.SB

【答案】B

【分析】观察茎叶图，根据平均数和方差的定义即可得到答案.

【详解】根据茎叶图中数据的分布可得，A班学生的分数多集中在［70,80］之间,

B班学生的分数集中在［50,70］之间，所以京＞京.

相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散,

所以s；<s；.

故选：B

【点睛】本题主要考查平均数和方差，同时考查了茎叶图的应用，属于简单题.

3.设i是虚数单位，复数4=12回，复数Z2=：J,则Z「Z2在复平面上对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据虚数单位的性质和复数的运算公式求出z「Zz的代数形式，由此确定

^5(4-3i|4_343.

2O22==+

【详解】z1=i=-l,z2

4+3i42-(3i)5555

43

所以z「z?在复平面内对应的点的坐标为,该点在第二象限,

515

故选：B.

4.己知0为“ABC的外心，卜@=16,|AC|=10&，AO=xAB+yAC,且32x+25y=16,则网=

()

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【分析】把AOSB,AO.AC算两次，得出及ACA8的关系，从而求得x,y,A2-4C,然后可

得结论.

【详解】作。于O，QE/AC于E,因为。是外心，所以，2E分别是AB,AC中点,

AOM«=|AB||AO|COSZO/A»=|AB|-|AD|=^|AB|2=128,

XAOAB=(xAB+yAC)-AB=xAB：+yABAC>记ABAC=/，则

AO-AB=256x+yt,256x+*=128,(T)

同理AO.AC=JAC『=IOO.

2

AOAC=(xAB+yAC)-AC=xABAC+yAC=xt+200y，

所以万+200y=100,②

又32x+25y=16,③，即256x+200y=128,由①得f=200,

代入②得200x+200y=100,x+y=±,④，

由③④联立方程组解得x=g,y=0,

所以Ao=xAB+yAC=JAB,|AO|=^|AB|=8.

故选：A.

5.设向量:=(1,-3),6=(见2-〃z),若a//b，则实数机的值为()

A.；B.—2C.—D.—1

22

【答案】D

【解析】利用向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】向量a=(l,-3),b=(m,2-tn),

若a"b，则以(2-祖)—(—3)加=0,

解得，“=-1.

故选：D

【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需熟记关系式，属于基础题.

,b=y[3,则sin[5+A)=()

6.在“ABC中，若a=l,C=-

6

A1R6

22

【答案】D

【分析】根据余弦定理求边c,从而求出角A,结合变名的诱导公式即可求出sin^+Aj的值.

【详解】由余弦定理可得c2=a2+/72-2"cosC=l+3-2xlxgcosH=l,即c=l,

6

TT

又因为。=1,所以A=C="，

O

所以sin[方+A)=cosA=

2

故选：D.

7.如图所示，河边有一座塔OP,其高为20m,河对面岸上有A,8两点与塔底。在同一水平面上，

在塔顶部测得A8两点的俯角分别为45和30,在塔底部。处测得AB两点形成的视角为150,则

4,8两点之间的距离为（）

D.10>/42m

【答案】C

【分析】求出A。和8。，再根据余弦定理可求得结果.

【详解】在直角三角形PAO中，ZPAO=45,可得AO=PO=20m,

在直角三角形P8。中，々8。=3。，可得如低=2。屈,

又ZAO8=150,nJWAB2=AO2+BO2-2AO-BO-cosAAOB

=400+400x3-2x20x20>/3=2800,可得AB=205/7m,

所以A,B两点之间的距离为20>/7m.

故选：C.

8.已知正四面体A8CD的表面积为26,且A、B、C,Z）四点都在球。的球面上，则球。的体积

为（）

A.2y/3nB.—itC.兀D.37r

42

【答案】C

【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为。，

则根据正四面体ABC。的表面积即可得出“=也,从而得出对应的正方体的棱长为I,而正方体的

外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为立，最后根据球的

2

体积公式即可得出结果.

【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的楼长为〃，

所以该正四面体的表面积为S=4xlx〃x=-V36Z2=2y/3>

2

所以a=血，又正方体的面对角线可构成正四面体，

若正四面体棱长为正，可得正方体的棱长为1,

所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，

所以外接球的直径为G，半径为也，所以球o的体积为1T=#兀.

故选：C.

9.如图，E是正方体A8CO-ABC。的棱G。上的一点E（不与端点重合），B。//平面8。后，

C."£=2田D.DtE=EC]

【答案】D

【分析】设耳。BCt=O,可得平面BG2c平面gCE=OE,由于80"平面,根据线面平

行的性质可得〃B//E0,即可得到结果.

【详解】如图，设3CFG=。，可得面BGRC面BCE=OE,

:BDJI平面BXCE，根据线面平行的性质可得。B//E0,

•••。为8c的中点，为GA中点，.•.2E=EG.

故选：D.

10.正四棱锥P-ABC。的底面积为3,体积为也，E为侧棱PC的中点，则必与BE所成的角为

2

()

【答案】B

【分析】连接EO、PO,可知EO〃PA,求出EO、80长度后求出tan即可得解.

【详解】如图，连接EO,PO,

由题意得尸0=[,AB=B£0//24且《0=3%，P。工面A8CO,

BO=—,PA=O，•.£0=-PA=—,

222

显

又BDLAC,，面尸AC,8O_LOE,..tan/OEB=丝=冬=有.

OE\6

71

NOEB=—.

3

故选：B.

【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，属于基础题.

11.如图，在正四棱柱ABCQ-AAGR中，底面48。是边长为1的正方形，尸为AA上一点，且

TT

满足NAPZ)=5,Q4=P£),则以四棱锥尸-钻8外接球的球心。为球心且与平面P8C相切的球

的体积为()

D\11

AB

A・噜B.普C4石乃D4石乃

•75•150

【答案】B

=PD』,结合球的性质，求得。即为四棱锥P-的外

【分析】在直角_孙。中，求得24=

2

接球的球心，分别连接PMNQ/Q,过点。作OMLPQ,证得OML平面PNQ,求得0M

得到所求球的半径r=法，结合体积公式，即可求解.

【详解】在直角中，AD=\,PA=PD,可得BV+PD'A。2,

即P4=PB=正，

2

过正方形ABCD的中心0作OQ，平面ABCD,

取AO的中点N,连接QV,则ONJL平面R4O,

则直线。。ON=O,则。即为四棱锥P-A3CD的外接球的球心,

分别连接PMNQ,PQ,在VPN。中，过点。作OMLPQ,

又由BC1平面PNQ,可得OMJ.BC,

因为BCC|PQ=。，所以OM_L平面PBC,

11

-x-1

：22_L

又由VPN。和，QOM相似，可得用=，葭，所以OM=Op。==

石275，

~2

所以该球的体积为丫=：乃/=?"'(—^)3=理.

3326150

故选：B.

12.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区

农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:

神植收入种植收人

建&而经济收入内法比例

则下面结论中不正确的是

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M,根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M,

之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相

应的关系，从而得出正确的选项.

【详解】设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,

则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了，所

以A项不正确；

新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上，所以B项正

确；

新农村建设前，养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍，所以C项正确；

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%+28%=58%>50%,所以超过了

经济收入的一半，所以D正确；

故选A.

点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，耍会从图中读出相应的

信息即可得结果.

二、填空题

13.在三角形A8C中，角A,8,C的对边分别是a,6,c,若csinc=a-sinA+(o+6)sinB,角C的角平

分线交边AB于点。，且CO=6，a=2h,则边c的大小为.

【答案】"1##]⑨

22

【分析】根据csinc=a-sinA+(a+b)sin8,利用正弦定理边化角求得4,再利用

Swc=S△皿+5乩8,可得至ljM=^S+a),结合条件求得的值，利用余弦定理求得答案.

222

【详解】由C-sinc=a-sin4+(a+h)sin8可得：c=a+b+ab,

故6+6—,2=-",所以cose1"—.-,

2ah2

由于Ce(Om),故C=?27r,

I2冗17rl7T

故由S^ABC=S^ACD+S.3CZ)可得：—sin—=—/?-CD-sin—+—4/-CD-sin—,

又CD=6,故=+联立。二2力,

解得a=3^3,b=,

2

故c。=a2+b2-labcosC=27+—+2x3\/3xx—=,

4224

故八小，

2

故答案为：巫

2

14.如图，在四面体ABCD中，BD=2及，AC=2,M,N分别为8C、A£＞的中点，MN=1,

则异面直线AC与8。所成的角是.

A

【分析】取C。的中点E,连接ME,NE,即可得到N/VEM即为异面直线AC与8。所成的角，再

由线段关系及勾股定理逆定理得到JWNE为等腰直角三角形，即可得解；

【详解】解：取C。的中点E,连接ME,NE,因为M为8C的中点，N为的中点，

所以NE//AC且NE=-AC,ME//BD且ME=-BD,

22

所以NNEM即为异面直线AC与BO所成的角或其补角，

又BO=2&，AC=2,MN=\,

所以NE=1,ME=C，所以ME°=MN°+NE2,所以NMAE=90。，

所以..MNE为等腰直角三角形，所以NNEM=45。：

故答案为：45°

15.某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别

为001,002,003,800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：若从表中

第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是.

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

【答案】522

【分析】根据随机数表的抽取方法从表中第6行第6列开始向右依次读数即可.

【详解】从表中第6行第6列开始向右依次读数为：

808（舍去），436,789.535,577,348,994（舍去），837（舍去）,522,578,324,

所以得到的第6个样本编号是522,

故答案为：522

16.2021年湖南新高考实行“3+1+2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1,政治、

地理、化学和生物4选2,共有12种选课模式.今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他

们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为.

【答案】g

【分析】求出基本事件的总数，以及他们选课相同包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求

解.

【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，

则基本事件有

（地，地），（地，化），（地，生），

（化，地），（化，化），（化，生），

（生，地），（生，化），（生，生）共9个，

他们选课相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有3个，

所以他们选课相同的概率|=1.

故答案为：—.

三、解答题

17.已知：=（1,2）,6=（-3,1）

⑴设a,（的夹角为求COS。的值;

⑵若向量a+幼与〃-幼互相垂直，求A的值

【答案】⑴-巫；

10

5

（2）k=±—.

2

【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；

（2）根据平面向量的坐标运算以及垂直的坐标表示即可解出.

.,I-1।Iqahlx(-3)+2xl-1正

【详解】⑴因为”/=明43%所以8S*丽=而贰后手=及旃=一方.

(2)由2=(1,2),(=(一3,1)可得.+防=(1,2)+无(-3,1)=(1-34,2+无),

。一姐=(1,2)-%(—3,1)=(1+3Z,2—%),因为向量q+她与“―她互相垂直，

所以(a+町(”吁(1一3&)(1+3%)+(2+相2-&)=0,即2&-，解得：k=土冬

18.在中，。、b、c分别是角A、8、C的对边，“=3,b=2y/3,cosB=-1.

(1)求c；

(2)求cos(A-。)的值.

【答案】(1)c=l;(2)6+3近

6

【分析】(1)结合余弦定理列出方程，解方程即可求出结果；

(2)结合同角的平方关系求出sin8,然后利用正弦定理求出sinA,再次结合同角的平方关系求出

cosA,进而结合两角差的余弦公式即可求出结果.

【详解】解：(1)由余弦定理知6u/+cZ-%ccosB,即12=9+C2-2X3XCX]—；｝

整理，得C2+2C-3=0,解得c=l或-3(舍负)，故c=l.

(2)因为cosB=-§,且Be(0,兀)，所以sin8=

2y

由正弦定理知，一=，一,即..如nB-娓,

sinAsinBsin4=---=-----告一=—

b2j33

又a〈b,所以Ae(0,]

»所以cosA=—，

3

所以cos]A--I=cosAcos—+sinAsin—=6+30

I3)336

19.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,

按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能

完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是:，且每题正确完成与否互不影响.

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；

(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？

【答案】(1)甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2；(2)甲通过面试的概率较

大.

【分析】(1)设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X,Y,由于x~"(6,3,4),

分别写出分布列，再求期望值均为2；

(2)由于均值相等，可通过比较各自的方差.

【详解】(1)设X为甲正确完成面试题的数量，y为乙正确完成面试题的数量,

依题意可得：X~"(6,3,4),

^P(X=l)=^-fL=l,/>(x=2)=^^-=|,P(X=3)=-^1=1,

・・・X的分布列为：

X123

]_3j_

P

555

131

EX=lx-+2x-+3x-=2.

555

2

••."=。)=吟)灼吟9

联)Yfg)y©如枭

的分布列为:

Y0123

1248

P

279927

EY=0x—+lx—+2x—+3x—=2.

279927

(2)DX=1X(1-2)2+(2-2)2X|+(3-2)2X1=|,

212

DY=np(\-p)=3x-x-=-,

"：DX<DY,

.•.甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.

【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时

注意概率计算的准确性.

20.如图，在四棱柱ABC。-AAG。中，点M是线段修。上的一个动点,E,尸分别是8C,CM的中点.

5G

（1）求证：EF〃平面BDRBI；

（2）在棱CO上是否存在一点G,使得平面GEF//平面若存在，求出生的值；若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在；空=1.

【解析】（1）连接BM,由中位线定理可得E尸〃8M,进而证明瓦'//平面与；

（2）当G为棱C。中点时•，平面GEF〃平面BDD耳,再由平面与平面平行的判定定理，即可证明结

论.

【详解】证明：（1）连接BM,如下图所示，

BE=EC,CF=FM,；.EF//BM,

又EF0平面BDD百,BMu平面BDD,B,,

EF〃平面8。。用；

（2）当G为棱8中点时，平面GEF〃平面8£>£>田，

理由如下：

£为BC中点，：.EGHBD,

又EGa平面BDu平面BDD蜴,

二EG〃平面8〃2片,又由（1）EF〃平面BDD耳,

EG\EF=E,二平面GEF〃平面8。〃与，且k=L

【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及面面平行的判定，属于中档题.

21.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以

额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元.现需决

策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的

易损零件数，得下面柱状图:

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费

用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.

（I）若n=19,求y与x的函数解析式；

（II）若要求“需更换的易损零件数不大于〃”的频率不小于05求n的最小值；

（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件，分别

计算这100台机器在购买易损零件上