高等数学-不定积分及换元法课件

第三章不定积分

不定积分的概念与性质不定积分的计算高等数学2023/6/7一、原函数二原函数与不定积分的概念三不定积分的性质四基本积分表3.1不定积分的概念与性质一、原函数的概念引例：已知物体的运动方程为,则物体运动的即时速度为;如果已知物体的速度方程为,则物体运动的位移如何计算呢?例设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知

1、定义如果在区间内的每一点处,有或则称是在区间内的一个原函数。

例如:因为

所以是在内的一个原函数.问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么关系?2、原函数的性质1）如果有，则2）如果，则。结论：如果函数在区间内有原函数，则有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子表示。◆原函数存在的充分条件

如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内一定有原函数。二、不定积分的概念

函数f(x)在区间I内的所有的原函数构成的集合，称为函数f(x)在区间I内的不定积分，记作。即注：鉴于原函数不唯一，积分方法不同得到的原函数形式不一定相同，只要相差一个常数即可。验证积分的方法：积分后的结果求导看是否等于被积函数任意常数被积表达式积分号积分变量解由于,所以的一个原函数，所以解因为由不定积分的定义，可知结论：微分运算与积分的运算是互逆的.三、不定积分的性质或1、2、

设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.

解设曲线方程为根据题意知.由曲线通过点（2，5）所求曲线方程为代入上式，得函数的原函数的图形称为的积分曲线显然，求不定积分得到一积分曲线族.◆基本积分表P94

◆不定积分的计算方法

直接积分法、换元积分法、分部积分法第一类换元积分法第二类换元积分法3.2不定积分的计算不能漏写积分常数一、直接积分法

例题：解原式练习：◆在括号中填入适当的函数，使等式成立3.2、换元积分法该复合函数不能直接积分我们有形式不一致公式被积函数不能变，变积分变量若被积表达式能凑成如下形式：一般地，要求又不能直接利用公式即因此，这种计算不定积分的方法又称为凑微分法，积分公式注意：使用此公式的关键在于从被积函数中分离出因子该方法利用复合函数微分的逆过程◆几个常用的三角公式利用凑出例：例

求解例

求证解（一）（使用了三角函数恒等变形）解（二）由上题结果可知类似地可推出补充公示2、第二换元法

凑微分法是通过中间变量将积分化成,下面要介绍的换元积分法是通过变量代换将积分化为积分第二换元法中用来代换的可导且存在反函数注:例

求解换元后得解其中

求例

求令解其中说明以上几例所使用的均为三角代换，即第二换元.三角代换的目的是去掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令去根式属于第二换元法解令则原式直接令根式为u，化根式为有理式例2求不定积分解则例3求不定积分令原式直接令根式为u，化根式为有理式

求积分3.3分部积分法两边同时取积分或写成分部积分公式利用分部积分公式求函数积分，关键恰当选取被积函数哪个为哪个为由导数乘积公式移项，得

求积分如果令显然，选择不当，积分更难进行.解利用分部积分公式代入公式失败！（2）容易积出.（1）一般要考虑下面两点：和选取分部积分公式可以连续使用

求积分解（再次使用分部积分法）由公式注：多次利用分部积分公式求积分时，要令同类型的函数为u

求思考：恰当选取从而确定v函数解：令由分部积分公式

求解：设代入公式解：令由公式解（一）例求不定积分原式所以思考：令解（二）：原式=此时的选择任意◆一般规律令幂函数为两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解

注意：第二次使用分部积分公式时，u与dv的选择，必须与第一次的选择同类。令幂函数为选择方式可以任意解举例求不定积分原式所以解例求不定积分原式利用分部积分公式求下列函数的不定积分积分解例求不定积分原式解例求不定积分原式所以.

两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：其中都是非负整数；及都是实数，并且三、有关有理分式函数的积分假定分子与分母之间没有公因式有理函数是真分式；

有理函数是假分式；有理函数有以下性质：

1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将化为多项式与真分式之和2）多项式在实数范围内可分解为若干一次因式和二次因式乘积的形式根据性质2，真分式有如下分解形式1在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和确定系数A、B方法一（比较系数法)

方法二（赋值法）

令得令得两种方法都能得到例如：解：3）含有重因式的真分式的积分赋值法确定系数3）含二次因式的真分式同理用赋值法，得

求积分解相似题型练习：◆求不定积分方法小结1、直接积分法——变形、用公式（14+2）2第一类换元积分法——凑微分3第二类换元积分法——利用三角代换，化无理根式为有理式含根式的4、分部积分法（公式法）5、有理分式函数方法不唯一，具体情况具体分析积分结果不一定唯一（一）填空题1、

。是可导函数，且则=

。，则

。是的一个原函数，2、设3、如果4、如果，则