2020成人高考专升本高数一复习题

2020年成人高考专升本高等数学一复习

试卷构成分析

一、题型分布：

试卷分选择、填空、解答三部分，分别占40分、40分、70分

二、内容分布

难点：隐函数求导、全微分、多元函数极值、常微分方程

复习方法：

1、结合自身情况定目标

2,分章节重点突破，多做题，做真题

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第一部分极限与连续

题型一：求极限

方法一：直接代入法（代入后分母不为。都可以用）

2x-lsinx

练习：1.lim——2.lim

Xf1x

方法二：约去为零公因子法

[.x2+x—2

练习1.lim--------------=练习2、limg:_________

f%2-1X->1X31

练习3.lim^V6=

x-*lXl

00

方法三：分子分母同时除以最高次项(―)

00

J3x2+1..2X5-x+1

练习1.lim--------2.lim

isx-1XrooX5-1

练习3.lim(Vx2_2xyjxz_1)

%T8

方法四：等价代换法（x-0时，sinx~xtanx〜xarcsinx~xarctanx-xln(l+x)~x1

COS%〜2％2)

2

（等价代换只能用于乘除，不能用于加减）

sin(x-1)

练习1.lim

x->lX2-1

1-COSX「arcsin(x-1)

练习2.lim3.lim----------------

x->0xsinxX->1%3-1

方法五:洛必达法则（分子分母求导）

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oo0

（靖型或（十型或其他变形形式

3x+52/12-〃+1

练习1.lim2.lim-----------

〃2-1

X->00x-3〃T8

lnx+ex-e「X2+X-2

练习：3.lim4.lim----------

.r71x-1xf1X2-1

两个重要极限（背2个重要极限）

sin(2x-2)..sin2x

练习i.lim2.lim------

XTl2x-2.v->04x

sin2x「tan2x

练习3.lim4.lim------

xf0sin4xx->0x

（练习1-4也可以用等价无穷小法）

6.lim(1+-L)x=

练习5.lim(1+

X->00xA—>002x

38.lim(1一!)

练习7.lim(1+—

2xXTOO2x

1

练习9.lim(l+2x)x10.lim(1-X)2A

x-»0x->0

无穷小量乘以有界函数=无穷小量

v1

练习1.limxsin—2.lim-sinx=

XXT8X

（什么是无穷小量？高阶无穷小，低阶无穷小，等阶无穷小，等价无穷小？）

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左极限=右极限=f(x0)W”在x0处连续

左极限=右极限Wf在x0处有极限

题型二：连续性问题(可导用极限)左导数=右导数Wf在x0处可导

lnx+l,x>1

练习1.函数/(幻=<，在x=l处连续，则a=______

ax2+x,x<1

练习2.函数/。)=«(1+幻，，X20在*=0处有极限，则2=

Q+<0

ox+l,x>2

练习3.函数/(x)={一在x=2处可导，则a=，b=

b+x2,x<2

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第二部分一元函数微分学

题型一：求导(背导数公式、导数的四则运算，复合函数求导公式)

dy

(y，=f保尸丁这三种是一个意思，如果求微分dy，就是dy=y，dx)

ax

Tl

练习1.f(x)=sinx+2cosx,则f(—)=

练习2.y=xlnx,则dy=

“彳2+1dy

练习3.y=------,则—=_________________

cosxdx

练习4.y=x4cosx+—+ex,贝lj

x

练习5.y=cos4x,贝！Jy，=6.y=sin(X3+1),贝！Jdy=

练习7y=Jx2+x,则y，=8.y=ln(x+J7),贝!|dy=

题型三中，一定要注意运算率(kv)'=(uv)'=(-)'=f(g)'=

V

一定要背好导数公式，在考试中占40分左右

题型二：高阶导数与隐函数的求导

练习1.y=x3+lnx,贝!]y"=2.y=cos2x,则y(4)=

练习3.y=ln(2x+l),则y”=4.y=xe2x,则y"(l)=

在dyr,dy

练习5.2x3+xy++y+y2=0,贝！|—=______6.ex+y=sinxy,贝!]—=______

dxdx

题型三.在某点处的切线或法线(斜率或方程)

练习1.曲线y=2x3在点(1,2)处的切线的斜率为,切线方程为

练习2.曲线y=sin(x+l)在x=-l处的切线方程为

练习3.若y=ax2+2x在x=l处的切线与y=4x+3平行，则a=

练习4.双曲线丫=■1■在点(L2)处的法线方程为

X2

题型四：求驻点、极值点(极值)、拐点、单调区间、凹凸区间

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1.求驻点、拐点、极值点

练习1.曲线y=x3-3x的驻点为极值点为拐点为

2.求单调区间与极值(大题)

练习2.求/(x)=gx3-4x+l的单调区间、极值、凹凸区间和拐点(答案见11年高考)

练习3,若f(x)=ax3+bx2+x在x=l处取得极大值5,求a,b

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第三部分一元函数积分学

题型一：求不定积分基础计算(背好公式：原函数、不定积分的性质、基本积分公式)

则Jf'{x)dx=__________________

练习1：f(x)=3e2x

练习2：f(x)的一个原函数是X3,则F(x)=

练习3：X2是f(X)的一个原函数，则f(X)=

练习4：(l+%2)dx=_______

dx

J(x+Jx)dx—

练习5：

练习6：

练习7：

题型二：凑微分法求积分

练习2：J02x+idx=

练习1:Jxe^dx=________

J，dx=______________练习4：J---dx=__________

练习3：

2+3x2+X2

Jxcos(x2+2)dx=________人finx

练习5：练习6：J---dx=

x

fsin(lnx)练习8：fXy/x2+1dx=

练习7：J--------dx=__________

X

题型三：分部积分法求积分公式：

练习1：Jlnxdx=练习2：1xlnxdx=

练习3：JX2exdx=练习4：\xsinxdx==_________

练习5：JX2sinxdx=

题型四：求定积分基础计算

练习1：f2sinxdx=练习2：V(l+x2)dx=

o

2

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练习3:—J1(1+X2)dx=___________

dxo

练习4：J4-dx=

i%

X2,0<X<1m~，

练习5：f(x)=<，则12f(x)d尸

2x,l<x<2o

练习6：I'xlnxdx=_

i

题型五：广义积分

练习1：J"e2xdx=练习2：JO——dx=

-8X2+1

题型六：平面图形的面积与旋转体的体积(有可能大题)

练习1.设D为曲线y=l-x2,直线y=x+l及x轴所围成的平面区域，如图

(1)求平面图形的面积

(2)求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V、

还有一道2013年26题见课本

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第四部分空间解析几何

题型一：求直线方程或法向量

练习1、一平面过点(1,-1,0)且与向量｛2,1,3｝垂直，则该平面方程应为=

练习2、一平面过点(1,0,2)且与平面2x—y+4z—l=0平行，则该平面方程为

练习3、已知两平面ir/kx-2y+3z-2=0与平面：3x-2y-z+5=0垂直；贝i|k=

练习4、过两点A(1,2,1),B(-1,3,0)的直线方程为

练习5、直线+言=彳与平面x+2y-z+3=O位置关系是()

A、直线垂直于平面B、直线平行于平面，但不在平面上

C、直线与平面斜交D、直线在平面内

题型二：二次曲面

练习1、试确定球面x2+y2+Z2-2x+2y+4z+2=。的球心与半径。

练习2、指出下列方程字空间直角坐标系中所表示曲面的名称()

(1)X2+y2=1(2)2x2+y2—z2=0

(3)2x2+y2=z(4)z=y2

(5)史，+正+型=1(6)(X—1)2+(y+1)2+z2=1

419

练习3、在空间直角坐标系中，方程x2-4(y—l)2=0表示()

A、两个平面B、双曲柱面C、椭圆柱面D、圆柱面

练习4、方程2z=x2+y2表示的二次曲面是()

A、椭球面B、柱面C、圆锥面D、抛物面

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第五部分多元函数微分学

题型一：偏导数

&&

练习1z=x3+x2y+3y4,—=___________—=_____________

dyox

d2zd2zd2z

___=----------=-------

dx2dxdydy2

练习2z=ln(2x+3y)+tan(xy),~_____________

题型二：全微分

练习3Z=X2ey+3,dz=

题型三：隐函数

,4_dy

练习1（一兀）I=x3+x2y+3y4,=

ax

一&

练习2（二兀）0=x3+y3・e#z2+z,—=

ox

题型四：二元函数（有条件，无条件）极值

练习1求二元函数f（x,y）=x2+y2+2y的极值（2012年）

练习2求二元函数f（x,y）=x2+y2在条件2x+3y=l的极值（2013年）

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题型五：二重积分及应用

练习1、设D为圆环域｛(x,y)|l<x2+y2<9测%ld(r=

练习2、设积分区域D是由曲线y=0,y围成的平面区域，则42dk

练习3、ffV9-x2-y2da=

JJx2+y2<9

练习4、ffV1-x2-y2da=

JJx2+y2<l

1

练习5、J^dxJi%2sinydy=(矩形区域)

练习6、计算下列二重积分(直角坐标系)

(1)4(x2+y)dxdy,Dlily=x2与y2=”围成

(2)ff工dxdy,D由y=x,y=2x,x=2与x=4围成

Dx

练习6、计算下列二重积分(极坐标)

(1)(1—x2—y2)dxdy,D是由y=x,y=0,x2+y2=1在第一象限内所围成的区域。

(2)ffacrtanzdxdy,D={(x,y)|l<x2+y2<4,x>0,y>0}

DX

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第六部分无穷级数

题型一：判断收敛性、绝对收敛、条件收敛

练习1、在条件（）时，级数％收敛。

A>limu、0，B、｛u｝收敛

TIT8nn

C、｛S/收敛D、｛Sn｝单调

练习2、若级数£京un收敛，下列级数收敛的是（）

A、阴］（%+2）B、有1纵一1）

U

C、有Ln+2D、有1支

un

练习3、判定下列级数的敛散性

_1

⑴温就⑵说