计算机数值方法第四章数值积分与微分

计算机数值方法第四章数值积分与微分第一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二本章要点:牛顿－柯特斯积分复合积分龙贝格积分高斯求积公式第二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第4章数值积分

§1牛顿―柯特斯积分公式§2复合求积公式§3龙贝格积分方法§4高斯求积公式§5数值微分第三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二一、引言对于定积分第四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:第五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二对于，若则积分值I对应于曲边梯形的面积。第六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二如果我们用两端点“高度”与这样导出的求积公式这就是我们熟悉的梯形公式的算术平均作为平均高度的近似值，第八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二如果改用区间中点的“高度”近似地取代平均高度则又可以导出所谓中矩形公式第九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二对定积分，其数值积分公式就是：某种线性组合，作为原定积分的近似值，在区间[a,b]内取n+1个点利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的这样的方法称为数值积分，相应的公式称为数值积分公式。第十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二式中称为求积结点；这类数值积分公式通常称为机械求积公式。称为求积系数，亦称伴随结点的权。第十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二定义1.

若求积公式则称该求积公式具有m次的代数精度二、代数精度第十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度。要使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于都能准确成立，这就要求第十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二例：第十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二三、插值型的求积公式且已知函数在这些节点上的值，作插值函数

积分数值计算的方法很多,最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式具体步骤如下:第十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二作为积分的近似值，这样构造出来的称为是插值型公式，由于代数多项式的原函数是容易求出，因此取通过插值基函数积分得出式中求积系数求积公式第十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二由插值型的求积公式的余项可推得由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项式中与变量有关.的求积公式至少有n次定理1

形如代数精度的充分必要条件是，它是插值型求积公式.第十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二四、求积公式的收敛性与稳定性在求积公式中，若第二十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第二十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第二十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二

牛顿－柯特斯公式是指等距节点下使用拉格朗日插值多项式建立的数值求积公式。各节点为§1牛顿－柯特斯求积公式

一、牛顿－柯特斯求积公式第二十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二而因此对于定积分第二十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二有第二十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二即有n阶牛顿－柯特斯求积公式牛顿－柯特斯公式的余项第二十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二等距节点时第二十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二所以牛顿-柯特斯公式化为称为Cotes系数第二十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二

n

11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/905…

…

…

…

…

…列出柯特斯系数表开头的一部分下表4-1第二十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二

二、偶数阶求积公式的代数精度定理当阶数n为偶数时，牛顿－柯特斯公式至少有n+1次代数精度。

在牛顿－柯特斯公式中，n=1,2,4时的公式是最常用、也最重要的三个公式；通常称为低阶公式。第三十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二

三、低阶牛顿－柯特斯公式及其余项1.梯形公式及其余项柯特斯系数为第三十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为求积公式为梯形公式具有1次代数精度第三十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二梯形公式的余项为第三十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二2.辛普森公式及其余项柯特斯系数为求积公式为第三十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二称为辛普森求积公式，也称三点公式或抛物线公式辛普森公式的余项为辛普森公式具有3次代数精度第三十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二3.柯特斯公式及其余项柯特斯系数为第三十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二求积公式为第三十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二上式称为柯特斯求积公式，也称五点公式柯特斯公式的余项为柯特斯公式具有5次代数精度.第三十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二例:

用n=2和n=3的牛顿-柯特斯公式解：求的近似值。1.n=2时：2.n=3时（的精确值为0.7668010）第三十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二§2

复合求积法复合求积公式余项及收敛的阶算法设计步长的自动选择第四十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二Newton-Cotes积分公式第四十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二低阶Newton-Cotes积分公式n=1,2,4时的Newton-Cotes公式称为低阶公式n=1：梯形公式及其余项梯形公式具有1次代数精度·bayx0f(a)f(b)y=f(x)··第四十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二低阶Newton-Cotes积分公式n=2：辛普森公式及其余项辛普森公式具有3次代数精度bayx0f(a)f(b)y=f(x)(a+b)/2····第四十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二低阶Newton-Cotes积分公式n=4：柯特斯公式及其余项柯特斯公式具有5次代数精度第四十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二Newton-Cotes积分法的稳定性因此，实际应用中常用低阶Newton-Cotes公式，即：梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式。高阶公式稳定性不好，低阶公式精度不高问题第四十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二b=xn函数y=f(x)上的数据点a=x0yx0f(a)x1y1f(b)y=f(x)x2xixi+1y2yiyi+1·······复合求积法·

将积分区间[a,b]分成若干个子区间，在每个子区间上用低阶公式计算，然后对所有子区间上的计算结果求和，即得到原定积分的近似值，这种方法称为复合求积法。第四十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.复合求积公式1.1

复合求积公式由定积分的区间可加性得：第四十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.1

复合求积公式第四十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二x0x1xkxk+1xn1.2

复合梯形求积公式复合梯形公式第四十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.2

复合梯形求积公式b=xna=x0yx0f(a)x1y1f(b)y=f(x)x2xixi+1y2yiyi+1········第五十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.3

复合辛普森求积公式444444第五十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二复合辛普森公式1.3

复合辛普森求积公式第五十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二xi+1/2=xnxixi+1x1ba=x0yx0f(a)y1f(b)y=f(x)yiyi+11.3

复合辛普森求积公式············第五十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.4

复合柯特斯求积公式第五十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二2.复合求积法的余项及收敛阶2.1

复合求积公式的收敛阶定义.第五十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1,2,4阶牛顿-柯特斯积分公式的余项分别为：积分区间[a,b]上：积分区间[xk,xk+1]上：第五十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二2.2

复合梯形公式的余项及收敛阶第五十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二R1(f)是h的2阶无穷小量，所以因此复合梯形公式是2阶收敛的。于是复化梯形公式余项为：2.2

复合梯形公式的余项及收敛阶第五十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二因此复合辛普森公式是4阶收敛的。2.3

复合辛普森公式的余项及收敛阶R2(f)是h的4阶无穷小量，所以第五十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二因此复合柯特斯公式是6阶收敛的。2.4

复合柯特斯公式的余项及收敛阶R4(f)是h的6阶无穷小量，所以第六十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二2.5三种复合求积公式比较

相关项复合公式余项收敛阶计算公式增加数据点复合梯形公式O(h2)2很简单0复合辛普森公式O(h4)4较简单1复合柯特斯公式O(h6)6较复杂3第六十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二例1.分别用8阶复合梯形公式、4阶复合辛普森公式和并对结果进行比较分析。第六十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098n=8时的函数数据表第六十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二分别由复合梯形、辛普森、柯特斯公式得：第六十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二比较三个复合公式的计算结果：积分的精确值为精度最高精度最低第六十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二3.步长的自动选择通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可第六十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.变步长公式在实际计算中，借助于计算机来完成积分步长h的自动选择，即采用变步长求积公式。具体地讲，就是将步长逐次折半，反复利用复合求积公式，直到满足精度要求为止。

第六十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二2.变步长复合辛普森公式逐次将区间［a，b］分成21，22，…，2m等份，并按复合抛物线公式逐次计算积分得到S1，S2，…，Sm，而其中第六十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二2.变步长复合辛普森公式再把每个子区间分成两半,用

作步长,按复合抛物线公式计算出积分的近似值S2m。对于相邻两次的积分近似值Sm、S2m，考察当｜S2m｜＜1当｜S2m｜≥1第六十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二2.变步长复合辛普森公式

设给定的精度为ε，若｜d｜＜ε则以S2m作为所要求的积分近似值，否则继续将区间分半，利用复合抛物线公式求积分，直到满足给定的精度为止。第七十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二4.自动选择步长的算法步骤依此类推以上这种方法称为自适应求积法。有时去掉后精度会更高不同的方法P取不同值第七十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二§3

龙贝格积分方法复合梯形公式的递推化龙贝格算法算法设计第七十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为1次,3次和5次复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶在代数精度和收敛速度方面,梯形公式都较差但梯形公式形式简单、计算量小有没有办法改善梯形公式呢?第七十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.复合梯形公式的递推化

由前面讨论可知，加密节点可以提高求积公式的精度，复合求积方法对提高精度是行之有效的，但选择合适的步长（即n的选取）是个问题。

上节的变步长方法解决了这个问题，即把区间逐次二分，反复利用复合求积公式进行计算，直到二分前后两次积分近似值之差符合精度要求为止。第七十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二各节点为复合梯形公式为--------(1)经过二分只增加了一个分点第七十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二--------(3)--------(2)用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为这里h仍为二分前的步长.将每个子区间上的积分值相加得由(1)(2)两式可第七十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二(3)式称为递推的梯形公式递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复化梯形公式优点：梯形法计算简单缺点：收敛慢，为了达到要求的精度，需要二分区间多次，分点大量增加，计算量很大第七十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二2.龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式可知假定，则有第七十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二即用积分近似值的误差作为的一种补偿，得到第七十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二复合辛普森公式第八十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二也就是，相邻的两个梯形值的外推，即却得到了辛普森公式的值。简单的组合，改变了近似值的代数精度和收敛阶。第八十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二同理，由复合辛普森公式的余项可得由复合柯特斯公式的余项得通称为龙贝格公式，是一种加速技术第八十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二一般的，若记，则有上述处理方法称为理查森外推加速法

通常，取m≤3即可。因为当m较大时，校正的效果已经很微小了。第八十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二设以表示二分k次后求得的梯形值，且以表示的m次加速值，则依递推公式(4.10)可得公式(4.12)也称为龙贝格求积算法第八十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二T－数表第八十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二

00.920735510.93979330.946145920.94457350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831

例2

用龙贝格积分公式求龙贝格积分值R1=0.9460831的每位数字都是有效数字

解：由龙贝格公式得如下T-数表：第八十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二3.算法设计Romberg序列<?<?<?………………

T1

=)0(0T

T8

=)3(0T

T4

=)2(0T

T2

=)1(0T

S1

=)0(1T

R1

=)0(3T

S2

=)1(1T

C1

=)0(2T

C2

=)1(2T

S4

=)2(1TRomberg算法第八十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二引言求积公式

(1)

当求积系数、求积节点都可以自由选取时，其代数精确度最高可以达到多少次?

下面的引理可以回答上述问题。

§4

Gauss求积公式第八十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二

引理1

当求积系数和求积节点都可以自由选取时，n点的求积公式(1)的代数精确度最高可以达到2n-1次。

证假设求积公式(1)具有m次代数精确度,即对任意的m次代数多项式

求积公式(1)都精确成立。于是成立等式

第八十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二即

(2)若记则(2)式成为

(3)第九十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二由于系数的任意性，故使(3)式成为恒等式的充要条件是

(4)

(4)式的待定系数有2n个，所以确定待定系数的独立条件至多给出2n个，从而可知m至多为2n-1。

第九十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二定义1

n点的求积公式(1)具有2n-1次代数精确度(或称为具有最高的代数精确度)时，称为Gauss型求积公式。

Gauss型求积公式的求积节点，称为

Gauss点，它们可以通过求区间[a,b]上带权(x)的n次正交多项式的n个根获得。所以先介绍正交多项式及其性质。然后讨论Gauss型求积公式的构造。第九十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二

正交多项式及其性质定义2

若

(1)

，则称函数f(x)和g(x)在区间

[a,b]上正交。

(2)

，则称函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上带权(x)正交。第九十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二(3)代数多项式序列(下标k为多项式的次数,表示k次多项式)，在区间[a,b]上满足当mn

当m=n则称多项式序列为区间[a,b]上带权(x)的正交多项式序列。第九十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二定义3

若n次多项式中含项的系数为，则称为的首次系数；时，称为首次系数为1的n次多项式。第九十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二正交多项式有如下性质:

性质1

若是区间[a,b]上带权(x)的正交多项式序列，则它们线性无关。

证对任意的x[a,b],若，在式子两边同乘(x)gl(x)(l=0,1,..n),并从a到b积分,由的正交性定义2中的(3)可知必有

l=0,1,..,n.故正交多项式序列线性无关。第九十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二

由性质1可知,若为[a,b]上带权(x)的正交多项式序列，则序列可以作为空间的一组基函数,即中的任一元素可由它们线性表示：其中为组合系数。第九十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二性质2

若为[a,b]上带权(x)的正交多项式序列,且,则

(1)

(2)

事实上,由性质1,

.由的正交性定义容易证得(1).证(2)也是类似的.第九十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二Gauss型求积公式由引理1和定义1可知，n点的求积公式(1)若具有最高的代数精确度，即具有2n-1次的代数精确度，为Gauss型求积公式.求积公式(1)的求积节点和求积系数如何选取,才能使之成为Gauss型求积公式?第九十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二定理1

求积公式(1)中的n个求积节点,取为区间[a,b]上带权函数(x)的n次正交多项式的n个根，则求积公式(1)为Gauss型求积公式。证设。[a,b]上带权函数(x)的n次正交多项式的n个根记为,记其首项系数为.由定义3有因此,

(5)其中.第一百页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二在(5)式两边同乘(x),并从a到b积分.由正交多项式的性质可知,含项的积分为零,所以

(6)注意到当作为插值节点时建立的n点插值求积公式至少具有n-1次代数精确度,而,所以

(7)第一百零一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二又由(5)式可知,即(8)综合(6),(7),(8)式可知,当时,求积公式(1)成立.因此公式(1)具有2n-1次代数精度，为Gauss型求积公式。第一百零二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二用n点Gauss求积公式

(9)之值近似积分值，有下面的误差估计.

定理2

若,则Gauss型求积公式(1)的误差估计R(,f)为其中定理3

Gauss型求积公式的求积系数大于零.第一百零三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二前面讨论了复合求积公式的收敛性问题．

Gauss型求积公式的收敛性由下面的定理给出.

定理4

若f(x)[a,b],则Gauss型求积公式所求积分值序列收敛于积分值I(f),即第一百零四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二Gauss型求积公式的构造与应用

定理1实际上给出了构造Gauss型求积公式的一种方法。

给定[a,b]和(x)

，构造n个点的Gauss求积公式：先求出区间[a,b]上带权函数(x)的n次正交多项式,然后用多项式求根的方法求出的n个根,从而获得了求积节点第一百零五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二为了求得求积系数,将n个求积节点代入方程组(4)中的前n个方程并加以求解,即解线性代数方程组求得系数,完成Gauss型求积公式的构造.第一百零六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二例1

求使求积公式具有三次代数精确度.

问题是构造区间[0,1]上带权函数的两点Gauss型求积公式.

解

方法1

容易计算出当时的积分值分别为所求公式具有3次代数精确度.第一百零七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二故可得为未知数的方程组为

(1)(2)