2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题-附答案

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的定义判断作答.【详解】若，则，即，当，即时，满足，而无意义，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A2．如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（

）A． B． C．24 D．48【答案】D【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，求解面积即可.【详解】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，其面积为.故选：D.3．将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】按题意平移、伸缩变换求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象.∴.故选：B.4．已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解得的虚根，代入求解即可.【详解】由，，∴方程的两个虚根为，或，，不妨取，，则，，∴.故选：A.5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由二倍角公式和两角和的余弦公式化简已知条件，再求解即可.【详解】∵，∴，∴，∴，两边同时平方，得，∴，∴，解得或，又∵，∴，.故选：B.6．如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，取AC的中点D，可得BD⊥平面，分别计算四棱锥的体积与正三棱柱的体积，即可得解.【详解】正三棱柱中，设，取AC的中点D，连接BD，则BD⊥AC，BD＝，，正三棱柱的体积，平面ABC，BD平面ABC，则BD，又BD⊥AC，，平面，则BD⊥平面，，则四棱锥的体积．故选：B．7．在ABC中，Q是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在ABC中，取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DQ．由可得，即可判断各选项正误.【详解】在ABC中，取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DQ．故，由，得，因点到直线垂线段最短，可知.A选项，因，则，则，故A错误；B选项，由题目条件，无法判断大小，故B错误；CD选项，因，E为AB中点，则Q为EB中点，结合D为BC中点，可知，，又E为AB中点，则，又由题目条件不能判断AB,AC关系，故C错误，D正确.故选：D8．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则m=（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式，以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值.【详解】对于式子，两边同乘，可得，即，由正弦定理化简可得，由，两边同时除以得，∴，故选：C．二、多选题9．在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若是的一个根，则=（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AD【分析】分解因式，求解的值，分别代入计算.【详解】解：因为，所以，即，所以或.即或.当时，；当时，.故选：AD10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则△ABC为等腰三角形C．若，，，则符合条件的三角形有2个D．若△ABC的面积，则【答案】ACD【分析】对于A：利用正弦定理直接判断；对于B：由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断；对于C：由即可判断；对于D：由条件及余弦定理，三角形面积公式可得，求出即可判断．【详解】对于A：在中，由正弦定理得：，（为的外接圆半径），因为，即，所以，故A正确；对于B：因为，即，展开整理得，又，所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B错误；对于C：因为，，，所以，所以，所以符合条件的三角形有两个，故C正确；对于D：三角形面积且可得，因为，所以，故，所以，故D正确．故选：ACD．11．一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论正确的是（

）A．B．当时，C．若，，则D．平行六面体的体积【答案】ABD【分析】根据的定义以及数量积的几何意义逐项分析.【详解】对于A，，而，故，正确；对于B，，当，有意义则，正确；对于C，，，，，，错误；对于D，的模长即为平行六面体底面OABC的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面OABC的方向上的投影向量的模长（即为高）乘以底面的面积，即为体积，正确；故选：ABD．12．已知平面向量，，满足，且，下列结论可能正确的是（

）A．向量，的夹角为 B．向量，共线C． D．【答案】ABD【分析】设，，，如图，不妨设，圆C方程是，动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，且满足．当时，可判断A；当A的坐标为时，可判断B；由，得，又由图易知，即，可判断C；设，则，由及，可得，可判断D．【详解】由题意，，设，，，如图，不妨设，圆C方程是．动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，且满足，对于A，当时，△OAB为直角三角形，此时，即向量，的夹角为，故A正确；对于B，当A的坐标为时，向量，共线，故B正确；对于C，当B在圆C上运动时，由，得，当且仅当O，A，B三点共线时取等号，又由图易知，即，故C错误；对于D，设，则，由得，又，则，即．∴，故D正确．故选：ABD.三、填空题13．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）．【答案】【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可.【详解】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为.故答案为：.14．如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为______．【答案】【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小值，在中，由余弦定理能求出的值．【详解】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：则即为的周长的最小值，在中，，，由余弦定理得：．故答案为：.15．在中，内角，，所对应的边长分别为，，，且，，则的外接圆面积为__________．【答案】【分析】根据正弦定理得到，再根据计算得到答案.【详解】由正弦定理知：，即，，，即.故.故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.16．德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．【答案】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.【详解】由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，，由任意角的三角函数的定义，设，，则，，，∴，∴令，，则，当时，，，，∴存在，使，即，∴当时，的最小值为.故答案为：.四、解答题17．在复平面内，复数对应的点为，i为虚数单位，且______．从条件①；②为关于x的方程的一个根，且点位于第一象限；③，其中．选择一个填在横线上，并完成下列问题．（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)求；(2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z与之间距离的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）条件①，利用复数的运算及模的定义求解即可；条件②，由实系数一元二次方程的解法及模的定义求解即可；条件③，利用复数的运算及模的定义求解即可；（2）解法1：设，可得，因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，结合圆的性质求解即可；解法2：由题意可得，因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，设，则，可求得，结合三角函数的性质求解即可.【详解】（1）条件①：，所以．条件②：由得，，，所以，又点位于第一象限，所以，所以．条件③：因为，所以，所以．（2）解法1：设，，由（1）可得，，，由可得，，因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，故与之间的距离为，所以Z与之间的最小距离为，最大距离为，故Z与之间距离的取值范围是．解法2：由（1）可得，，曲线，即，因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，设，，则，，其中，所以，故Z与之间距离的取值范围是．18．已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式，并求函数在上的值域；(2)求方程在区间内的所有实数根之和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由图得，并求解出周期为，从而得，由点在的图象上，可得，从而求解得，即可得；由求得，即可求得函数的值域；（2）作出函数与的图象，可得两个函数在有4个交点，从而得有四个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和.【详解】（1）由图可知，，∴，∴，又点在的图象上，∴，∴，，即，，∵，∴，∴．当时，，所以，所以．故函数在上的值域为：．（2）如图，作出函数与的图象，由图得在上的图象与直线有4个交点，则方程在上有4个实数根，设这4个实数根分别为，且，由，，得，，所以可知关于直线对称，∴，关于直线对称，∴，∴．19．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．(1)用和表示；(2)设，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可；（2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解.【详解】（1）依题意，，∴，∴（2）由已知，因是线段上动点，则令，，又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，，在上递增，所以，，，，故的取值范围是．20．桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，6分钟后到达N点．在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为．设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示．(1)该山的高度为多少千米？(2)已知该山的下底面圆的半径为1.8km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？【答案】(1)0.4千米；(2)3.9π平方千米【分析】（1）根据正弦定理结合图形求解可得高度；（2）由正弦定理求得底面半径，再根据圆台侧面积和底面积公式求得表面积即可.【详解】（1）由题意可知，∴，在△A'MN中，由正弦定理，，又∵N点观测A时仰角的正切值为，，所以，该山的高度为0.4千米．（2）设的外接圆为圆O，∵，根据圆的性质，，，M，N四点共圆在中，由正弦定理，圆O直径为，在中，由正弦定理，延长与圆台交于C点，由题意下底面圆半径为1.8km，圆台的母线长BC可在直角中由勾股定理得为0.5．圆台的侧面积，圆台的上底面面积，所以，侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米．21．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求角C的大小；(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案.【详解】（1）已知，由正弦定理可得，即，所以，因为，所以．（2）由余弦定理可得，又，则，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得，解得，则，所以，所以，所以，所以中线CD长的取值范围为．22．如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，且，．(1)若，求；(2)若点G是△ABC的重心，设△ADE的周长为，△ABC的周长为．（i）求的值；（ii）设，记，求的值域．【答案】(1)；(2)（i）3；（ii）．【分析】（1）连接AG并延长，交BC于点F，设，则，由B，F，C三点共线可求得，则有，又，可求，，即可得出结果.（2）（i）由题意得，，又D，G，E三点共线，所以，即可得解