2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试（二）数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试（二）数学试题一、单选题1．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（

）A．13种 B．22种 C．30种 D．60种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，故选：D．2．若直线与直线平行，则实数（

）．A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.【详解】解：两直线的斜率分别是，，由两直线平行可知，解得．故选：B．3．已知数列满足，，则（

）．A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】解：因为，，所以，，，．故选：C4．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（

）A．6种 B．12种 C．18种 D．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（

）．A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a值.【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l的斜率，由切线与直线l垂直知，即，解得．故选：C．6．记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件列关于的方程，由此可求离心率.【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，所以，因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，因为直线的倾斜角为，所以，又，化简，所以解得.故选：A.7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（

）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因为，所以有，解得.故选：C.8．已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.【详解】根据题意，构造函数，则，所以函数在R上单调递增，又，即，所以，即，解得.故选：D.二、多选题9．下列运算错误的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：AC10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（

）A．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种【答案】AD【分析】A选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C用间接法列式求解；D分情况讨论.【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A正确；恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B错误；至少有1名女生的不同选法共有种，故C错误；选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D正确.故选：AD.11．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.【详解】依题意，抛物线C的准线为，因为为C上一点，且，则，解得，故A正确；可得抛物线C:，焦点为，因为A为C上一点，则4，所以，故B错误；若，则线的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为B与A分别在x轴的两侧，可得；同理：若，可得；综上所述：或，故C错误；若，则，则；同理：若，可得；故D正确；故选：AD.12．已知是数列的前项和，，，，则（

）A．B．数列是等比数列C．D．【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A正确；将递推关系式转化为，结合，由等比数列定义可得B正确；利用累加法可求得C错误；采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D正确.【详解】对于A，，，，，，，，A正确；对于B，由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；对于C，由B知：，当时，，又满足，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列的前n项和为，若，则__________．【答案】35【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前n项和公式求解作答.【详解】因为是等差数列，，所以．故答案为：3514．若圆与圆外切，则________．【答案】【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解．【详解】由题意可得：圆的圆心分别为，半径分别是，因为圆外切，所以，则，解得．故答案为：.15．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.【答案】450【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有（种）不同的方案.所以共有不同的安排方案.故答案为：450.16．设函数在区间[上有零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解.【详解】令，则，函数在区间[，3]上有零点等价于直线与曲线在上有交点，则，当时，单调递减，当时，单调递增，，，显然，，即当时，函数在上有零点；故答案为：.四、解答题17．已知的展开式中前三项的二项式系数和为.(1)求；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)；(2).【分析】（1）写出前三项二项式系数，根据和为，列方程求出的值；（2）利用通项，并令的指数为0，求出常数项．【详解】（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，所以，即，解得或（2）的展开式中通项为，由时，可得，即第7项为常数项，所以展开式中的常数项为.18．已知等差数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列公式，运用条件列方程求出；（2）运用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{}的公差为，由，得，解得，；（2），；综上，.19．已知函数的两个极值点满足.(1)求的值；(2)求在区间上的最值.【答案】(1)(2)最大值为36，最小值为-16【分析】（1）有2个极值点等价于导函数有2个零点，根据条件运用韦达定理求解；（2）根据导函数求出的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解.【详解】（1），令，则有2个零点，显然，由韦达定理得，又代入①得：，再代入②得：，，符合题意，；（2），得下表：-1200单调递减极小值-16单调递增极大值11单调递减又，

，所以在区间上的最大值为36，最小值为-16；综上，，在区间上的最大值为36，最小值为-16.20．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式求直线与平面夹角.【详解】（1）因为，点是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面ABCD，又平面，所以平面平面；（2）取的中点，连结，因为四边形为矩形，且，所以四边形为正方形，，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量，则有，即，令，则，所以平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角正弦值为.21．已知双曲线的离心率为，是上一点.(1)求的方程；(2)已知直线与交于两点，为坐标原点，若，判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)直线恒过定点【分析】（1）根据离心率、双曲线关系和双曲线所过点可构造方程求得，进而得到双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得，由此可得直线所过定点.【详解】（1）双曲线的离心率，，则，又为上一点，，解得：，，双曲线的方程为：.（2）设，，由得：，，则；，，，整理可得：，又，，则，直线恒过定点.22．已知函数，.(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；(2)若，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4