自考线性代数第一章行列式

自考线性代数第一章行列式第一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二题型一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）四、证明题（本大题共1小题，6分）第二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第一章行列式第三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二§1.1

行列式的定义从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.第四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【例1】二元线性方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解第五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二求解公式为二元线性方程组

请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.第六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二其求解公式为二元线性方程组引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.记号数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j

列.原则：横行竖列1.1.1

二阶行列式与三阶行列式第七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二二阶行列式的计算主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积。——对角线法则第八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为第九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【例2】求解二元线性方程组【解】因为所以第十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习1】若，则k=

．【解】第十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习2】行列式的值为_________.【解】－2第十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习3】行列式的值为_________.【解】-16第十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二三阶行列式定义

设有9个数排成3行3列的数表原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！第十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.第十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二三阶行列式的规律规律：三阶行列式共有6项，即3!项．每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．第十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【例3】

计算行列式【解】按对角线法则，有第十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二方程左端【解】由得【例4】

求解方程第十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习4】计算行列式D=的值．第十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第二十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习5】3阶行列式____．－5第二十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第二十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习6】3阶行列式=____．16第二十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第二十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.1.2n阶行列式

n

阶行列式共有

n!项．每一项都是位于不同行不同列的

n

个元素的乘积．第二十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.所以必须写清楚，如一阶行列式|－2|=－2，或者D=|－2|=－2。第二十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二余子式与代数余子式结论三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？第二十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二例如把称为元素的代数余子式．在n阶行列式中，把元素所在的第行和第列划后，留下来的n－1阶行列式叫做元素的余子式，记作.结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.第二十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习7】行列式中元素的代数余子式____．11第二十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第三十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习8】3阶行列式中元素的代数余子式（）A．－2 B．－1 C．1 D．2B第三十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第三十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习9】设3阶行列式的第2行元素分别为对应的代数余子式分别为，则

_______．－10第三十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习10】已知3阶行列式中元素的代数余子式，求元素的代数余子式的值．第三十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二由，得，所以【解】第三十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二§1.2

行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.第三十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二引理

一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如第三十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二即有又从而下面再讨论一般情形.分析当位于第1行第1列时,第三十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二行列式按行（列）展开法则定理1.2.1（行列式展开定理）

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即第三十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二同理可得第四十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【例5】计算行列式第四十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】其中第四十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第四十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二四个结论：(1)对角行列式(2)第四十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）第四十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二计算3阶行列式【例6】第四十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】用对角线法第四十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二用按行或按列展开法按第一列展开得到按第二列展开得到按第三列展开得到第四十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二用按行或按列展开法按第一行展开得到按第二行展开得到按第三行展开得到第四十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二计算4阶行列式【例7】第五十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】行列式的第二列只含有一个非零元素a22=－1，其他元素均为0，按第二列展开计算量最小，得第五十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二§1.3行列式的性质与计算第五十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.3.1行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.若记，则.记性质1

行列式与它的转置行列式相等,即.行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第五十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二性质2

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数，等于用数乘以此行列式.验证我们以三阶行列式为例.记根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第行（列）乘以，记作.第五十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．备注：第行（列）提出公因子，记作.第五十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二计算3阶行列式【例8】第五十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第五十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二计算3阶行列式【例9】第五十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】在行列式D中的每一行都提出公因数（－1），并用行列式性质1，可以得到因为行列式D是一个数，所以由

D=－D,可得D=0。第五十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二性质3

互换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有，所以.

备注：交换第行（列）和第行（列），记作.第六十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二验证我们以4阶行列式为例.性质4

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．第六十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二计算3阶行列式【例10】第六十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】因为行列式中第一行与第三行成比例，所以第六十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二性质5

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：则第六十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二验证我们以三阶行列式为例.第六十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二性质6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．则验证我们以三阶行列式为例.记备注：以数乘第行（列）加到第行（列）上，记作.第六十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二定理1.3.1

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得第六十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析我们以3阶行列式为例.把第1行的元素换成第2行的对应元素，则第六十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二1.3.2行列式的计算计算行列式常用方法：（1）利用运算把行列式化为上三角形（或下三角形）行列式，从而算得行列式的值．（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值。通常是利用运算在某一行或某一列产生很多个0元素，再按包含0最多的行或列展开，以减少计算量。第六十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【例11】1.3.2行列式的计算计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．第七十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第七十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第七十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第七十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第七十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第七十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二例12

计算阶行列式【解】将第列都加到第一列得第七十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第七十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【例13】设

证明第七十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【证明】对作运算，把化为下三角形行列式设为对作运算，把化为下三角形行列式设为第七十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二对D

的前k行作运算，再对后n

列作运算，把D

化为下三角形行列式故第八十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二计算4阶行列式【例14】第八十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第八十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第八十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【例15】第八十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【例16】计算行列式【解】第八十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第八十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二例17

设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用及第八十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第八十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二第八十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【证明】

用数学归纳法【例18】

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2时(1)式成立.第九十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开，并提出每列的公因子，就有第九十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二

n−1阶范德蒙德行列式第九十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习11】若则行列式

=____．0【解】根据性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

第九十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习12】计算3阶行列式．第九十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第九十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习13】【解】D第九十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习14】C第九十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第九十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习15】已知3阶行列式则__________．2第九十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第一百页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习16】设行列式=2，则行列式=（）A.12 B.24C.36 D.48A第一百零一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习17】设行列式=3，则行列式=（）A.-18 B.-12C.12 D.18D第一百零二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习18】设行列式=6，则=（）A．－12B．－

18C．18 D．12C第一百零三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习19】设A为3阶方阵，且，则（）A．－4 B．－1 C．1 D．4D第一百零四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第一百零五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习20】行列式中第4行各元素的代数余子式之和为________.0第一百零六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第一百零七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习21】计算行列式D=第一百零八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第一百零九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【练习22】设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为______.0第一百一十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二【解】第一百一十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二(行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立).

计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．小结行列式的6个性质第一百一十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二§1.4

克拉默法则第一百一十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期二二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为第一百一十四页，共一百二十三页，编辑于20