初三数学寒假复习几何练习册教师版

第1讲解直角三角 第2讲相 第3讲 1讲解直角三角形A（1）1.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥ABDAC=5BC=2那么 C 525 B． 525 坡的坡角为α，则tanα的值为（ A qB B． C． 如图a，飞机P在目标A的正上方1100米处 测得地面目标B的俯角＝30°，求地面目标A、B之间的距离（结果保留根号）3【答案】3如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示 如图，⊙O△ABC的外接圆，AD⊙O⊙O3，AC22则sinB的值是 31- 353 3333=-4-3=-（见例2）7.（2014海淀一模13）(3π)02tan60(1)13

27【答案】(3π)02tan60(1)1333 333=4 3得岛A在北偏西6024海里后到CA在北偏西30.请通过计算说明，A000 解：如图，过点AAD⊥BD∴AD=AC•cos30°=12≈20.78＞20．答：货轮继续向西航行，没有触礁．A300B、C两B、C1000米的笔直公路将两村连通，经测得AA 在RtABH中，BH

3tan3

在RtACH中，CH

AH

tan

1000AH

500 B（2）1.（201413）

2cos45(1)1(2014)08228222

2

22323

（2）2.（2014（2）2.（2014丰台一模）2 2

3tan

10

31 333（2）3.（2014

53tan30

53tan30

133

0

53

31= 333ECE=1BCDE，CF2ABCD∴FAD的中点，∴FD1AD∵CE=1BC CEDFDDG⊥CEABCD∴∠1=∠B=60Rt△DGC∴CG=CD·cos∠1=2DG=CD·sin∠1=23∵CE=12DG2在Rt△DGE中，∠DGE=90°，∴DEDG2（

AC为边在△ABC的外部作等边△ACDABCDBD E E （1）∵在△ABC中，∠ACB=90º，∠ABC=30ºBD23ABC9030∴cosABCBC,AC1ABC9030 AB 2 4AC142∵△ACD 过点D作DEAC于E，则DEADsinDAC2sin60 3S四边形ABCDS△ABC3331ACBC1ACDE12 1 333 （2）DDFABFBACDACBACDAC1806060 ∴DFADsinDAF2sin

AFADcosDAF2cos

1.∴BFABAF41 ∵DFAB7∴在Rt△BDF中，BD2DF2BF2(3)25228.∴BD 7（5）6.（201221）MOAB上任意一点，过MABMPDMPADO于点C，且PDPCPCOtanD

，OA3APCANONAN2B CACO∵DM⊥AB∴∠D+∠A=90°PDPC∵OC=OA∴PC⊥OCPCOAPCANO,∴Rt△CQA中∴tanQACtanD 2

2x∴OQ=322∵OA2OQ2AQ2∴32(2x)2(322x

∴AQ

∴AN2AQ

∴CD

AC2AC2（见例5）7.（2012海淀二模20）如图，AC、BC是⊙O的弦, AO的延长线与过点C的射线交于点D,且D=90-2A.CDOBC=4tanD1CDAD2OBCOBCOBCOEBC OBCOEBCOCDOCOC是⊙OCD是⊙O的切线OOE⊥BCE,∵BC=4,∴CE=1BC=2.∵BC//AO,∴2∵∠COE+∠OCE=90,∠D+∠DOC=90,∴∵tanD=1,∴tanCOE1.∵∠OEC=90,CE=2,∴OE

4 Rt△OEC中,

OC

2Rt△ODC中,由tanDOC1，得CD

5,5

OD ∴ADOAODOCOD25C

BEEFDFGDFEGCGECE在CBEG与GCEC将图中的BEFB顺时针旋转（090BE1，ABFDDF的长及tanABFAGFEFDDF的长及tanABFAGFAGAG

EDFE

2.（201222）x、y、z1的正数，求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．ABCBE=z，CF=y，设△ADF、△CEF和△BDES1S2S3，则

1

1-y）sin60oS1 S1

1-z）sin60o1-x）sin60o由S1S2S3SABC H

1-D 1-

1- 得1

1-y）sin60o+12

1-z）sin60o+12

1-x）sin60o＜34x（1-y）y（1-z）z（1-x）＜1．已知正数a、b、cdxyz、taxbyczdtkaybzctdx2k2

yyb t E 证明：如图，作边长为k并分别在各边上截取：AEa，DHb,CGc,BFd∵a+x=b

y=c+z=d+t=k，∴BE=x，AH=y,DG=z，CF=t∵ABCD90O,∴

=1ay，S1 1

1dx，S

1ct，S

12∵S+S+S+S<

,∴1ay+1dx+1ct+1bz<k2

∴ay+bz+ct+dx<2k第2讲A在△ABCD，EAB，AC上，∠AED=∠B△ADE4BCED5AB

AD③CD2ADBD，能证明ABC是直角三角形的条件有

F.证明：111 EAEC 【答案】证明如下,AB∥EF∥CD得:EFDF,EF DB 两式相加，得:EFEFDFBFDB 如图，ABCDOABEOEFABa，ADc，BEb,BFOF OF BF

a如图，在平行四边形ABCD中，E是BD上的点，BE：ED=1：2，F，G分别是BC，CD上的点，EF∥CD，EG∥BC，若SYABCD1，则SYEFCG的值为 9如图，在等边△ABC中，PBC上一点，DACCD2，则△ABC的边长为 3A. B. C. D.，与x之间的函数关系式是( y1x4

y1x24

y1x24

y4x2AB2DBCE若∠BAC＝40°，求∠DAEAADBCE【答案】(1)AB2DBCEABDBCEAB∴AC:DB=CE:AB又∵∠DBA=180°-∠ABC=180°-∠ACB=∠ACE∴△ADB∽△EAC ∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC=（180°-∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=70°BABCDEADDAEAD

51AE,BE交DC于点F，已知AB 1，求CF的长525BCFBCF【答案】ABCD中，ECD上一点，DE：CE2：3AE、BE、BD△ △F FAB410D是△ABCABDEBCACEDFACBC点F，已知△ADE△DBF的面积分别为m、n．则四边形DECF的面积 mDmDEnF 【答案】如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为 【答案】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=ACBC22D，EBC边上（均不B，CDE左侧），且∠DAE=45°．设BE=m，CD=nmn的函数关系式 m14

m

mn

mn【答案 共享型∵∠BAC＝90°AB＝ACC=2

（12 222mm42

n2 6.如图，ABC中，DBCADEABCEPAD2DE，求证:AP3ABBBH BBH 【答案】过点D做FD//PC交AP于点F∵在△AEP中 ∵在△BCP中 C在ABCBCE、FBC三等分，BMAC上的中线，AE、AFBMG、HBGGHHM532。GAMGAMGH 【答案】过MMH//BCACH，MHAD,AEIJ两点。 BFOFOECA【答案】OA、∵△ABC与△DEF均为等边三角形，OBC、EF∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，∴OD：OE=OA：OB=3∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=3如图，△ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积S1,S2,S3分别为1、1、2，则△ABC的面积是 AFI S2E 【答案】显然三角形S1，S2，S3和△ABC相似而S1=S2∴四边形 又记S3的高为h，S1的高为g则 P为ABCAP、BP、CPDEF，PDPEPF1． AEEFP 【答案】EE PDPD'

DP' ．SSSSSSS,同理：BE ,SSSBPCSBPASPACSSBPCSBPASPACS S S 4ABCEABAE1DCBED=ECCD 1EEF∥BCACFAE的大小关系，然后求出CD的长为 73

3

7

4在原题条件下，若AE1(n0)，△ABC边长为m，则CD的长为 nm

mn

m(nn

n(mm【答案】BA的面积为1．则四边形ABCE的面积为 ∵ABCDAD∥BC(AB∥CD)D=∠ECFDAE=∠EFC，ECD中点，∴CE=DE，∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴AD=CF=BCS△ECF==1CF/B=CF/(BC+CF=1/2∥CB=∠ECFBAF∠CEF， ∴SABCD=S四边形ABCE+S△ADE=S（1）2.ABCD中(AB≠BC)EF②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是 A. B. C. 13.AB＝3AD＝4∠ABC＝60°垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 【答案】2（1）4．如图，ABCDEABFADAF1FD2AC于GAGAC【答案】ABCD中,EAB中点,FAD上,AF=1/2FD∴AF=1/3·ADFDM,CDK,N、HBCBM,ND,HKBN=NH=HC,∵AD∥BC,ND∥BN,BMDN是平行四边形DE.【答案】同弦对应的圆周角相等，∴∠B=∠E又∠BAD=∠CAE（AE是角平分线∴△ADB∽△ACE ∴AD·EC=BCFFG，G为切点，求证：EF＝FG．BEF=∠A=∠CBFE=∠EFC∴FE/FB=FC/FE∴FE2=FB•FC又∵FG2=FB•FC，∴FE2=FG2（2）7.如图，AB是⊙O直径，ED⊥ABD，交⊙OG，EA交⊙OEDF【答案】∵△ADE∽△FDB,∴AD•BD=DE•DF.AG,BG.∵△ADG∽△GDB,（3）8.ABCD中，AB＝4，AD＝10PAD上滑动时（PA，D不重合CABE．我们当∠CPD＝30°AEPC23PC23

PD 44

1044

33（3）9.如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cmPA出发，AB4cmBQCCA3cm/s的Ax秒。（1）x（2）x为何值时，PQ△APQ能否与△CQBx10/3∴Q,P10/3，由（1）PQBCQC=30-(80/3)=10/3，P,Q两点运动的时间为(10/3)/3=10/9AP=4*(10/9)=40/9，即AP40/9厘米（3）10.已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4QAC上的一个当点P段AB上时，求证当△PQBAPB(1)1.已知：如图，□ABCDEF//AD,BE、CF延长线交于点G,AE、H,连接GH.GH//AGAGEFCBH【答案】AD//BC//EF(1)2.□ABCDACPABBCCDDAEF、GHPEPFPGHDCGPFDCGPF【答案】ABCD∴AD‖BC,∴△AEP∽△CFP,∴PE/PF=AF/CF,ABCD(1)3.ABCD的一边CBEEDABFFFGBEAE于G，求证GFFB【答案】△EBF∽△ECD∴GF/CA＝EF/EC＝BF/CD.(1)4.PABCDBDCPADE，BAF.AB2DPPB12PABFBDP PB(2)解：∵四边形ABCDCD∥BACD=BACPD∽△FPB2

，∴CD=2

BF，CP=2

PF，∴ABF12

PB2=22+（1PB）2，解得PB= 3，则PD= 3，∴BD=PB+PD=2 (2)5.AB是⊙OC在⊙O上，∠BAC＝60°，POBPABACQOCC作CD⊥OCPQQPAB，则∠QPA=90∴∠Q=90°-60°=30°.CD是圆的切线,∴∠OCD=90°,则∠DCQ=90°-60°=30°,∴∠Q=∠DCQ=30°，CD=DQ,∴△CDQ是等腰三角形(2)△CDQ∽△COB,BC=CQBP：PO=（3－√3（√3－1）=√3:1(2)6.△ABCO，∠BAC的平分线交⊙OD点，交⊙OBEF，BD，CD．求证：(1)BD（2）BCD是等腰三角形 ∴BD=DE30°PP点旋转。aAB、ACE、F时，求证：△BPE～△CFPACE、FEF△BPE与△PFEEF=m，△PFESmS∠∠BPE=∠CFP又∠B=∠C相等°,°=333

23所以 3（3）9.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEFBC1DEABM，EFACN2，将△DEFEDEBAM，EFAC（1）∵△ABC =EM/NE．又 =EM/NE，则△ECN与△MEN中有 AD=3，CE=5PABDPPQ⊥DPQ（i）

PAACDQ（线段（Cy关于x的函数解析式及其定义域．经过思考认为可以通过添加辅助线﹣﹣过点OOM⊥BCM1的答案及相应的推导过程；1中的条件“ABCD是正方形，BC=1”改为“ABCD是平如果将问题1中的条件“四边形ABCDBC=1”四边形（如图3），yx的函数解析式以及相应的推导过程．∵OM⊥BC，∴∠OMB=∠DCB=90∴OM1DC1，CM1BC1．∵OM∥DC，∴

CEy1

xx

y

x2x

x0

y

2x

（x0AD∥BC，BOBCa，BO a 过点O作ON∥CD，交BC于点 ，∴ON

a∵ON∥CD，CNODc，∴CN ，∴CNac

a

a ， yxy

a

xac（x0(ac)x(1)2.1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABCBC方向平移得AE.ACBEO.ABCE2，PBC上一动点（2（B、C重合PO并延长交ABQ，QR⊥BDR.PQEDP的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，PQED的面积；BP的长为何值时，△PQR与△BOCOO OO

O O

D

（备用图（1）ABCE∵△ECD是由△ABCBC平移得到的，∴EC∥ABABCE是平行四边形，又∵AB=BCABCE（2）①PQED方法一：∵ABCE是菱形 H（

＝5【或∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠BCA

24＝5

×方法二:由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO＝∵△ECD是由△ABC∴SPQED＝S△QEO＋SPOED＝S△PBO＋S O O

O O 1H R

D

GR 2PBC上运动，使△PQR与△COB∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠155

3PBC上运动，使△PQR与△COB∵∠2是△OBP∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1

5

＝5EEF⊥BDFPB＝xED2ED2EF62245

=5

＋5＋＋5 方法三:4PBCRC由菱形的对称性知，OPQ的中点，∴CORt△PCQ＝＝

—5O 1O 1

O R O

D C (2)3.如图，AB、AC分别是⊙ODACED分别交⊙OEABHACFCEDP．DACAD2=DE·DF ， ， ， （2）DACAD2=DE•DFAE(2)4．D是△ABC的BC边上一动点（B、C点除外），作△ABC在劣弧上AD为△ABCAE经过圆心时（如图）．ADBCAE不过圆心时，要使（1）中的结论成立，还需增加一BE，∵AE∵AD是△ABC∴AB

AB•AC=AE•AD成立，abaBE，b（增加条件为∠CAE=∠BAD也正确(3)5ABCDEFDEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中ABCDEF90，CF45，ABDE4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋DEABPDFBC相交于点Q。1DFBQB△APD∽△CDQ DEF1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为中 在（2）的条件下，设CQx，两块三角板 面积为y，求y与x的函数关系式（图2，图3供解题用）AP·CQ的值不会改变.在△APD与△CDQ 。 时 ， 此时两三角板部分为四边 ，过D 于 于，由（2）知 ， 于 时 此时两三角板部分 ，由 易证 解得 ，于 综上所述， 时 时 (3)6．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB3GCDOP32

PG，求△POD与△PDGPOMOBD，OD=1，另OP（图已给出，辅助线已划出，请附过程）图 图 图（1）P作PH⊥OAPN⊥OB，垂足分别为HN，得 ．∴CE=CD∵CO⊥ED∴OE=OD∴OP=1ED=OD=1PCOA2PPH⊥OA，PN⊥OBH，N，∵∠PED＞∠EDC ∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°2 22

2222222

2222 22

x+x222

1即 第3讲A（见例1）1．已知⊙O上一条弦将BC分为1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度 （见例1）3．若圆的一条弦把圆分成度数比为3：7的两条弧，则优弧所对的圆周角 ABCD间的距离．【答案】7cm（见例1）5.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为 （2）6.已知：⊙OOA=1AB、AC的长分别为2，3，求∠BAC的度 【答案】6cm （8）9.AB、AC120°，AB30cmBD20cm【答案】 （5）10.CBA的延长线上一点，CD切⊙O如图①，若∠CDA=26°，求∠DABB作⊙OCDE，若⊙O的半径为3，BC=10BE的长．∵CD切⊙ORt△ODC∵ED、EB分别为⊙O在Rt△CBE中，设BE=x，由EC2=EB2+BC2得：（x+2）2=x2+102， ，∴BE的长是BC解（2）∵∴= CC′DCC′E， ∴蚂蚁爬过的最短路线长为（ABCAB为直径的⊙OBCDDE⊥AC,2，AE=3BF的长．【答案】BFx ∵AD平分 ODOF2x2

x解得 是⊙O的切线；若⊙O2，求图中阴影部分的面积。【答案】OC∴∠A=∠D=30°CD是⊙O∴∠1=2∠A=60°∴S扇形BOC=．在Rt△OCD中，∵ ∴图中阴影部分的面积为 (8）4．如图，AB是⊙OCD⊥ABE，∠CDB=30°，OC=2，求阴影部分图形的面积（∴CE=DE，∠CEO=∠DEB=90°在△OCE和△BDE ∴S阴影=S扇形 =12的圆中，两圆心角∠AOB=60°、∠COD=120°AB、CD，求图【答案】解：S扇形AOB==24π，S△AOB= ，则S弓形 则S弓形CD=48π﹣36，则S阴影=S弓形CD﹣S弓形AB=48π﹣36﹣（24π﹣36ADFDA=2．求线段EC【答案】ABCDSFAB﹣S△DAE﹣S扇形=﹣ ﹣ ﹣2=如图，AB为量角器（O）的直径，等腰直角△BCDBD交量角器边缘于GCD60°E处（AE60°），第三边交F处．GAB=8cm【答案】∵CDOE∴OE⊥CD∵BD为等腰直角△BCDGα=AG的度数 ∴S阴影=S扇形OBF﹣S△OBF=（π﹣）cm2∴阴影部分的面积为（π﹣CBC．【答案】OA，OCOOE⊥ACE，∴AE= 则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣ 2（CD.CCE⊥DBEABCEF点.CF为⊙O的切线；BF=5,sinF3BD的长5CEOBCEOB【答案】解：连接OCADCF为⊙ORt△BEF中，∠BEF=90°,

sinF5

∴BE∵OC∥BE,∴△FBE∽△FOC∴FBBE.设⊙O的半径为 3.∴r

5 ∵AB为⊙O直径，∴AB15.∴ADB90∵4EBF,∴FBAD.sinBADBDsinF3

∴BD3

∴BD 3.如图所示，AB是⊙O的直径，AB=4，D是⊙O上的一点，∠ABD=30°，OF∥ADBDE，交⊙ODE【答案】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；又∠ABD=30°，AB=4，∴BD=AB•cos∠ABD=4×=2 ∵OF∥ADOAB的中点，∴OE是△ABD∴点E是线段BD的中点，∴DE=由（1）知，∠ADB=90°．∵∠ABD=30°，∴∠DAB=60°（三角形内角和定理 ×=，∴S阴影=S扇形OBF﹣S△OBE=π﹣ABCD15．【答案】∵∠ABC=60°，BD∴==∵BC在直角△BDC中，BC （2）BCO，由（1）O即为圆心．OA，ODOOE⊥ADE． S△AOD= ∴S阴影=S扇形 = 如图在矩形ABCDAB=1AD=22的半圆形纸片放置在矩形ABCDA′DADP，设∠ADA′=α．若AP=2﹣，求α的度数【答案】 （2）S阴影部分=S半圆﹣S弓形PD=π﹣（S扇形 ×=PA交⊙OA、B两点，AE是⊙OC为⊙O上一点，且10AB的长.【答案】 OCDFRt△AOF中，由勾股定理得AF2OF2即(5x)2(6x)225x2xAD<DF，知0x5x2AD=2,AF=5-∵OF⊥AB，由垂径定理知，FAB（见例勾股定理7.OABCDEAE=1cmEB=5cm，CDCDE15°，交⊙OC、DCD67 cm,DC= 67（1中，OE=2cm，∠OEH=60°OH=3cmRt△OHD6得求出 6HDDC=2DH，代入即可．8.ABCD6AB为直径的⊙OACF，E⊙O【答案】OFABCD是正方形，AC12

= A（见例1）1.D在⊙OABC在⊙O上，且OC

，

∵,∴ ∴

332

.∴

331OCCD12 33 3∴图中阴影部分的面积为 33（1）2.MOABMABMPDMPADO于点CPDPCPCO若tanD

OA3APCANONAN222B CA【答案】CO,APCANO ∵PD

∵OC=OAPCO , 2∴设

∴OQ=3∵OA2OQ2

∴32

2x)2(3

2∴AQ2AC2AC2

∴AN2AQ223（2）3.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACBAC为直径的⊙OAB、M、NPAB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.CP是⊙O的切线；BMBMNO OAO∵AC是⊙O ∴∠BCP＋∠ACN=90°∵OC是⊙O的半 ∴CP是⊙O的切44.PA=6PB=2⊙O5 （见例2）5.如图，AC、BC是⊙O的弦, AO的延长线与过点C的射线交于点D,且D=90-2A.求证：直线CD是⊙O的切线。OBOBCOBOBCOCDOC=2∠A∵∠D902A，∴∠D+∠DOCOCD=90OC是⊙OCD是⊙O

OD10.∴ADOAODOCOD25BCABDOB、DEDE是⊙OAC4BC

3 的值3EBC的中点，DEBEOAOD，DE

ADOA，DBEDBEA90，BDEADO90EDO90ODDEDEOOEOE∥ABOE12 ∵BCOCACB3在Rt△ABCAC4BC3

，∴根据勾股定理得，AB= ∴OE=∵∠A=60°

△AOD2

AD2，BD=AB－AD∴EFOE4 67.ABPAABAC=30求∠PBAC（1）∵A是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PAABBAC∵∠BAC=30，

PAC

∴PA

P2BC．∵AB是直径，∠ACB=90Rt△ACB33∴ACABcosBAC6cos33

PAAC（8）8.AB、CDO，∠AOD=30°1cm的⊙P的圆心动，那么（）CD相切． C．4或 D．4或（6）9.如图，BC是⊙O的直径，A是⊙OC作⊙ODCDE，AEBC求证：AP是⊙O3 ，求CD的长3AO，AC.BC是⊙O

BACCADECD

CEDEAE.

OA=OCOACOCA CD是⊙O∴ECAOCA90,∴EACOAC90.∴A是⊙OAP是⊙O的切线Rt△OAPOAP90，OC=CP=OA∴sinPOA1

P30

AOP60∵

ACO 3在Rt△BAC中，∵BAC ，ACO3∴AC

333tan603Rt△ACDCAD90ACD90ACO3∴CD

10.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙OAC与⊙OD,AD=8，tanC=4，求⊙O3DODO DODO BD∵BC是⊙O的切线∵AB是直径∴∠ADB=90°∴∠ABD=∠C∵OD=OB∵∠AOD=∠ODB+∠OBD 在Rt△ABD中有：tan∠ABD=3AD2AD2BD

11.已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙OA，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙OC.PC与⊙OBC=2sin1APC1PCCPA O OPA3O3O4PA（1）OC，∵BC∥OP，∴∠1∵OB=OC，∴∠1=∠3又∵OC=OA，OP=OP，∴△POC≌△POA∴∠PCO 325O 257 A（2）解 ∴∠5=∠6=12∴sin5sin1APC

∠PCO∴cos2sin53

∵∠3=∠1=∠2，∴cos33AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB∴AB

cos

21OP2OP22

Rt△POCOP

AB2AB22

PC ∴∠3+∠7=90°，∠7+∠8 ∴cos8cos33在Rt△CAD中，ADACcos8421 B（6）1.A、B在⊙OAC是⊙OAB552

ACBBOD BBO4213 （1）证明∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC（2）Rt△OAC2

，∴OA55 55∴设AC=2x，则AO=5x．由勾股定理得 ∴AC=CD ∴AC=21DEOPDE=EP．求证：DE是⊙O3作DHOP于点H，若 ，求⊙O的半径的长3 21 OAOBOA+∠P=90°1+∠2=90ODE=90°．即ODDEOD是⊙ODE是⊙O的切线解：∵DHOPHDHE=90°cos∠3=DH

=3．∴64644Rt△ODE中，tan∠3=OD4

OD

OD=4.O33.如图，AB、BF分别是⊙OCDAB、BFE、G，过点FHFDCHHF＝HG.3sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半径长4FOFOGED4242CAOF，∵HF是⊙O的切线，∴∠OFH即∠1∠290º∵HF=HG，∴∠1HGF.HGF∠3，∴∠3∵OF=OB，∴∠B=∠2.∴∠B+∠3=90º.∴∠BEG=90º.AF，∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，∴∠AFB即∠2∠490º∴∠HGFRt△AFB中，AB

3=4∴⊙O34ABCDOACOA长为半径的⊙OAD，AC分E，F，∠ACB=∠DCE．22若

BC2，求⊙O（1）ABCDBC//AD,∠ACB∠DACOE,则DACAEOQDCEDEC90oAEODEC90o.OEC

CE与⊙O

tanACBAB

,BC26226ABBCtanACBACB

2,ACtanDCE

2DEDCtanDCE233设⊙O的半径为rRtCEO中,CO2CE2EO2即(6-r)2r23,解得r 4⌒5.已知，如图，AB是⊙OE是ADBEACG，BGCFBGHABF点求证：BC是⊙OAB=8，BC=6BE的长CDEGHDEGHOCDEG3DEG314H2OAE.BGCFCB=CG⌒ BC是⊙OABC=90°.CG=CB=6AG=4.

AEAG45 5

x22x)2102.

x 5∴BE2x5⑴求⊙OADsin∠DAO的值CDEOCDEOHF解：⑴∵DBC的中点，EF是直径∴CB⊥EF ∴OD=8

∵OB2OD2DB

∴R2(8R)2

ACDDH⊥ABABH．∵AB是直径 ∴AC=6∴∠ACD=90°，AC=6，CD=4AD 43⑵∵Rt△DHB中 sinDAODH6 CABCAB为直径作⊙O，⊙OBCDBC的中点D作⊙OACE．OCDEF，若sinABC3OF

AOAOEFBD(1)OD∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD∵AB是⊙O的直径，∴OAB的中点.又∵DBC ∴∠DEC=90°∵OD∥AC，∴OF