线性规划法课件

第二章

资源合理配置的线性规划法2.4.3线性方程组1线性方程组的矩阵表示2用初等行变换解线性方程组－－消元法3用MATLAB软件解线性方程组本节重点：用初等行变换解线性方程组－－消元法2.4.1线性方程组的矩阵表示引入我们以前学过的方程组：“二元一次”方程组x，y是“未知数”，也称为“元”。未知数的次数都是1的方程，就称为“线性方程”。《物流管理定量分析方法》－－线性方程组1、n元线性方程组为：这里有m个方程，n个未知数.《物流管理定量分析方法》－－线性方程组2、齐次线性方程组：如果常数项不全为0，则称为：非齐次线性方程组。即，常数项全为0的方程组《物流管理定量分析方法》－－线性方程组3、方程组的系数矩阵为：对做初等行变换，同时也是对A做变换。m×n矩阵“增广矩阵”《物流管理定量分析方法》－－线性方程组未知量矩阵常数项矩阵《物流管理定量分析方法》－－线性方程组4、方程组(*)的矩阵形式：系数矩阵A未知量矩阵X常数项矩阵b《物流管理定量分析方法》－－线性方程组例1:写出下列线性方程组的系数矩阵、增广矩阵和矩阵形式解：系数矩阵是增广矩阵方程组的矩阵形式是AX＝B，即物流管理定量分析方法》－－线性方程组例2:写出下列线性方程组的系数矩阵、增广矩阵和矩阵形式解：系数矩阵是增广矩阵方程组的矩阵形式是AX＝B，即 由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。物流管理定量分析方法》－－线性方程组例3：已知方程组的增广矩阵如下，试写出它的线性方程组解：“常数项”物流管理定量分析方法》－－线性方程组5、方程组的解：方程组的解是满足方程组的未知量的一组取值：例如：显然，就是它的一组解。《物流管理定量分析方法》－－线性方程组显然：是齐次线性方程组

注意：方程组的解可能有惟一解，也可能有无穷多组，也可能是无解。的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为非零解。《物流管理定量分析方法》－－线性方程组2.4.2用初等行变换解线性方程组－－消元法基本思想：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵；再写出线性方程组的解。《物流管理定量分析方法》－－线性方程组回忆：“行简化阶梯形矩阵”若阶梯形矩阵还满足下两个条件：(1)各个非0行的第一个不为0的元素(首非0元)

都是1；(2)所有首非0元所在列的其余元素都是0.如：《物流管理定量分析方法》－－线性方程组例4：解线性方程组：解：①+②(-2)③+②(-4)第一步，写出增广矩阵，并用初等行变换变为阶梯矩阵；②+①(-2)③+①(-1)(③,②)③+②×3第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为行简化阶梯形矩阵；阶梯形矩阵《物流管理定量分析方法》－－线性方程组③×②×(-1)②+③①+②行简化阶梯形矩阵《物流管理定量分析方法》－－线性方程组所以方程组化简为：即方程组的解为：第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再整理出方程组的一般解。《物流管理定量分析方法》－－线性方程组用初等行变换解线性方程组的步骤：第一步，写出增广矩阵，并用初等行变换变为阶梯矩阵；第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为

行简化阶梯形矩阵；第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再整理出方程组的解。 例3的解是惟一的，下面例4的解则是无穷多组。《物流管理定量分析方法》－－线性方程组例5：解线性方程组：解：对增广矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即(①,②)②+①(-2)③+①④+①(-4)②×③×④×《物流管理定量分析方法》－－线性方程组③+②(-1)④+②(-1)①+②(-3)其中，首非零元对应的未知量称为非自由未知量，除此之外的未知量称为自由未知量行简化阶梯形矩阵出现“零行”《物流管理定量分析方法》－－线性方程组所以方程组化简为： 将自由未知量移至等号的右边，非自由未知量留在等号的左边，这样表示的解，称为线性方程组的一般解，即：因为可以任意取值，所以原方程组有无穷多组解。《物流管理定量分析方法》－－线性方程组例6：练习2.4题11P－74求方程组的解。 已知线性方程组AX=B的增广矩阵经初等行变换化为阶梯形矩阵：解：对系数矩阵进行初等行变换，将其进一步化成行简化阶梯形矩阵，即①+③②+③(-1)①+②(-1)《物流管理定量分析方法》－－线性方程组②

其中，是自由未知量《物流管理定量分析方法》－－线性方程组写成方程组的形式为：所以，方程组的解为：其中，是自由未知量《物流管理定量分析方法》－－线性方程组解齐次线性方程组一般方法是：(1)写出齐次线性方程组的系数矩阵A；(2)对A施行初等行变换，使A化为行简化阶梯形矩阵；(3)在行简化阶梯形矩阵中，当非零行行数＝未知量个数时，齐次线性方程组只有零解x1＝x2＝…＝xn＝0；当非零行行数＜未知量个数时，齐次线性方程组有非零解，可由行简化阶梯形矩阵写出一般解。《物流管理定量分析方法》－－线性方程组例7：求线性方程组：解：的一般解。对系数矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即②+①(-2)③+①(-2)《物流管理定量分析方法》－－线性方程组②×③+②(-1)③

(-1)①+③(-1)②+③2①+②(-1)《物流管理定量分析方法》－－线性方程组所以方程组化简为：《物流管理定量分析方法》－－线性方程组练习：《形成性考核册》P－11题6例6：解齐次线性方程组：解：先写出增广矩阵，对其做初等行变换②+①(-3)《物流管理定量分析方法》－－线性方程组③+②②×①+②(-1)《物流管理定量分析方法》－－线性方程组这个矩阵对应的方程组为:从而得到方程组的一般解为：《物流管理定量分析方法》－－线性方程组练习：《形成性考核册》P－11题7例7：解齐次线性方程组：解：先写出系数矩阵，对其做初等行变换②+①(-2)③+①(-3)《物流管理定量分析方法》－－线性方程组③+②(-1)阶梯形矩阵①+②3将其还原为方程组：