考点05-函数的单调性与最值课件

05函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内①___________上的②_____两个自变量x1，x2当x1<x2时，都有③__________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有④__________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数某个区间D任意f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数．例如，函数y＝x2，当x∈[0，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，0]时是减函数．(2)函数单调性的常用结论(i)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；(ii)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(v)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有⑤____________；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意的x∈I，都有⑦__________；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为⑥__________M为⑧__________f(x)≤M最大值f(x)≥M最小值考向1确定函数的单调性(单调区间)

确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分，但有时也出现在解答题的某一问中，属中低档题目．例1(1)(2017·课标Ⅱ文，8)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 (

)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)(2)(2015·湖南，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(

)A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B．奇函数，且在(0，1)上是减函数C．偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数【解析】

(1)由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.(2)方法一：定义域：x∈(－1，1)．∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．x∈(－1，1)，∴f′(x)在定义域内恒大于0，∴f(x)在(0，1)上是增函数．方法二：奇偶性同方法一，∴y＝f(x)在(－1，1)上单调递增，即f(x)在(0，1)上是增函数．【答案】

(1)D

(2)A

判断函数单调性的常用方法(1)利用已知函数的单调性，如已知f(x)，g(x)为增函数，则－f(x)为减函数，f(x)＋g(x)为增函数．(2)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质作出判断．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定它的单调性．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(5)复合函数单调性的判断法则：“同增异减”，即对于y＝f(g(x))型的复合函数，可以把它看成由y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的，若它们的单调性相同，则复合函数为增函数；若它们的单调性相反，则复合函数为减函数．变式训练

(2014·北京文，2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是 (

)A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝|x|B考向2求函数的最值(值域)

函数的最值(值域)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的最值(值域)问题．高考中选择题、填空题、解答题都有考查．当a>1时，y＝logax＋3在(2，＋∞)上单调递增，所以只需loga2＋3≥4，即loga2≥1＝logaa，得1<a≤2.当0<a<1时，y＝logax＋3→－∞，所以不符合题意．综上，1<a≤2.【答案】

(1)2

(2)(1，2]

求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．变式训练1考向3函数单调性的应用

函数单调性的应用广泛，是解决函数有关问题的重要方法，高考中常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．例3(1)(2017·天津，6)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为 (

)A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a(2)(2014·课标Ⅱ，15)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．【解析】

(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)为偶函数．又∵f(x)在R上单调递增，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增．∴g(－log25.1)＝g(log25.1)．而20.8<2<log25.1<3，∴g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，∴b<a<c.(2)由题意知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为偶函数，故满足|x－1|<2，解得－1<x<3.【答案】

(1)C

(2)(－1，3)变式训练1．(2018·吉林长春月考，8)已知函数f(x)＝x2－cosx，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是 (

) A．f(0)<f(0.6)<f(－0.5) B．f(0)<f(－0.5)<f(0.6) C．f(0.6)<f(－0.5)<f(0) D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6) 【解析】因为函数f(x)＝x2－cosx是偶函数，且在(0，π)上是增函数，所以f(0)<f(0.