2023 届 高 三 第 一 次 学 业 质 量 评 价 (t8 联 考 ) 数学试题

2023届高三第一次学业质量评价(t8联考)数学试题2023届高三第一次学业质量评价（T8联考）的数学试题，涵盖了数学的多个方面，包括代数、数学分析、几何、概率与统计等。其中，难度适中，着重考查了学生对于数学概念、方法和思维的理解和应用能力。本文将根据试题内容，对题目中的部分内容进行详细的解答和解释，以便学生理解并提高数学的学习成绩。

第一题：（本小题满分12分）

在平面直角坐标系$xOy$中，设函数$f(x)=\frac{3}{2}sinx-2cosx$。

（1）若$f(x+\frac{\pi}{2})=2f(x)$，求函数$f(x)$的解析式；

（2）若方程$f(x)=m$在$[0,\pi]$上有三个实根，则实数$m$的取值范围是多少？

解析：

（1）当$f(x+\frac{\pi}{2})=2f(x)$时，有：

$f(x+\frac{\pi}{2})=2f(x)$

$\frac{3}{2}sin(x+\frac{\pi}{2})-2cos(x+\frac{\pi}{2})=2(\frac{3}{2}sinx-2cosx)$

$3cosx-4sinx=0$

$\frac{3}{5}cosx=\frac{4}{5}sinx$

$tanx=\frac{3}{4}$

$x=arctan\frac{3}{4}+n\pi$

因此，函数$f(x)=\frac{3}{2}sinx-2cosx$的解析式为：

$f(x)=\frac{3}{2}sin(x+arctan\frac{3}{4})-2cos(x+arctan\frac{3}{4})$

（2）不妨设$f(x)=m$在$[0,\pi]$上的三个实根为$x_1,x_2,x_3$，则方程$f(x)-m=0$在$x_1,x_2,x_3$处的导数均存在，且为零。因此，有：

$f'(x_1)=f'(x_2)=f'(x_3)=0$

$\frac{3}{2}cosx_1+2sinx_1=\frac{3}{2}cosx_2+2sinx_2=\frac{3}{2}cosx_3+2sinx_3=0$

将以上等式相加得：

$\frac{3}{2}(cosx_1+cosx_2+cosx_3)+2(sinx_1+sinx_2+sinx_3)=0$

注意到$cosx+sinx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，

因此对于任意的$a,b\inR$，都有：

$|a\cosx+b\sinx|\leq\sqrt{a^2+b^2}$

因此，有：

$\sqrt{2}\sin(x_1+\frac{\pi}{4})+\sqrt{2}\sin(x_2+\frac{\pi}{4})+\sqrt{2}\sin(x_3+\frac{\pi}{4})\leq\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{4+9}$

$\sin(x_1+\frac{\pi}{4})+\sin(x_2+\frac{\pi}{4})+\sin(x_3+\frac{\pi}{4})\leq\frac{9}{4}$

由于当$|\sinx|\leq1$时，有：

$\sinx\leq|sinx|\leq1$

因此，有：

$\sin(x_1+\frac{\pi}{4})+\sin(x_2+\frac{\pi}{4})+\sin(x_3+\frac{\pi}{4})\geq-3$

综上，得到实数$m$的取值范围：

$-3\leqm\leq\frac{9}{4}$

第二题：（本小题满分12分）

已知函数$f(x)=2^x-ax^2+b$，

（1）当$a=2$，$b=10$时，在区间$[-1,1]$上，函数$f(x)$的最小值为多少？

（2）若函数$f(x)$存在两个不同的零点，求实数$a,b$的取值范围。

解析：

（1）对于任意的$x\in[-1,1]$，有：

$2^x\geq1$

$-ax^2+b\geq-a+b$

因此，有：

$f(x)\geq1-a+b$

当$a=2$，$b=10$时，有：

$f(x)\geq-7$

当且仅当$x=0$时，$f(x)$取到最小值$-7$。

（2）设$f(x_1)=f(x_2)=0$，则有：

$2^{x_1}-ax_1^2+b=0$

$2^{x_2}-ax_2^2+b=0$

将两式相加得：

$2^{x_1}+2^{x_2}=a(x_1^2+x_2^2)$

由于$x_1,x_2$是$f(x)$的零点，因此有：

$2^{x_1}=ax_1^2-b$

$2^{x_2}=ax_2^2-b$

将上式代入原式得：

$ax_1^2+ax_2^2-b\geq(x_1^2+x_2^2)log_2a$

$(a-1)(x_1^2+x_2^2)\leqb$

因此，实数$a,b$的取值范围为：

$(a-1)(x_1^2+x_2^2)\leqb$

其中$x_1,x_2$为$f(