控制理论(状态空间表达式)

章控制系统状态空间表达式2021/5/91§1-1状态变量及状态空间表达式§1-0概述§1-2状态空间表达式的建立§1-3状态向量的线性变换§1-4从状态空间表达式求系统传递函数阵§1-5离散时间系统状态空间表达式§1-6时变系统和非线性系统的状态空间表达式§1-1状态变量及状态空间表达式§1-0概述2021/5/92§1-0概述

§1-1状态变量及状态空间表达式§1-2状态空间表达式的建立§1-3状态变量的线性变换§1-4从状态空间表达式求系统传递函数§1-5离散时间系统状态空间表达式§1-6时变系统和非线性系统的状态空间表达式2021/5/93§1–0概述

在经典控制理论中，对一个线形定常系统，可用常微分方程或传递函数加以描述，可将某个单变量作为输出，直接和输入联系起来．实际上系统除了输出量这个变量之外，还包含有其他独立变量，而微分方程或传递函数对这些内部的中间变量是不便描述的，因而不能包含系统的所有信息．

2021/5/94

在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的．它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始条件．这样，在设计控制系统时，不再只局限于输入量，输出量，误差量，为提高系统性能提供了有力的工具．2021/5/95§1-0概述§1-1状态变量及状态空间表达式

§1-2状态空间表达式的建立§1-3状态变量的线性变换§1-4从状态空间表达式求系统传递函数§1-5离散时间系统状态空间表达式§1-6时变系统和非线性系统的状态空间表达式2021/5/96足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量.一个用n阶微分方程描述的系统,就有n个独立变量,当n个独立变量的时间响应都求得时,系统的运动状态就被揭示无疑了.因此可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量.一．状态变量§１－１状态变量及状态空间表达式2021/5/97同一系统中,究竟选取哪些变量作为独立变量,这不是唯一的,重要的是这些变量应该是相互独立的,且其个数应等于微分方程的阶数;又由于微分方程的阶数唯一的取决于系统中独立储能元件的个数,因此状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数.2021/5/98状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量，当其在t=to时刻的值已知，则在给定t≥to时间的输入作用下，便能完全确定系统在任何t≥to时间的行为．众所周知，n阶微分方程式要有唯一的解，必须知道n个独立的初始条件，很明显，这个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻的值．2021/5/99二．状态矢量

如果n个状态变量用X1(t),X2(t),…,Xn(t)表示，并把这些状态变量看作是矢量X(t)的分量，则X(t)就称为状态矢量．2021/5/910三.状态空间

以状态变量为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间．四.

状态方程

由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程．2021/5/911五.

输出方程

在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式,称为系统的输出方程.

六.状态空间表达式

状态方程和输出方程总和起来,构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式.2021/5/912

根据函数向量的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：线性定常(时不变)系统线性时变系统；

非线性定常系统；

非线性时变系统。

在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。这时，系统的动态方程可以表示如下:2021/5/913单输入－单输出定常系统，其状态变量为则状态方程的一般形式为：输出方程：2021/5/914用向量矩阵表示状态空间表达式则为：对于一个复杂系统，具有r个输入，m个输出，此时状态方程和输出方程变为：2021/5/9152021/5/916写成矢量矩阵形式:2021/5/917

上式中，Anxn称为系统矩阵，Bnxr称为输入(或控制)矩阵。A由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B则主要体现了系统输入的施加情况。

Cmxn矩阵称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称为直接传递矩阵，表示了控制向量U直接转移到输出变量Y的转移关系。2021/5/918将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接转移。和经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信号的传递关系．2021/5/919§1-0概述§1-1状态变量及状态空间表达式§1-2状态空间表达式的建立§1-3状态变量的线性变换§1-4从状态空间表达式求系统传递函数§1-5离散时间系统状态空间表达式§1-6时变系统和非线性系统的状态空间表达式2021/5/920§１－２状态空间表达式的建立

用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式．这个表达式一般可以从三个途径求得：一是由系统方块图来建立，即根据系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空间表达式；二是从系统的物理或化学的机理出发进行推导；三是由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得．2021/5/921一．从系统方块图出发建立状态空间表达式三个步骤：

第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。2021/5/922

第二步：将上述变换过的方块图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数。

第三步：根据变换过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。2021/5/923【例1-1】某控制系统的方块图如下图所示，试求出其动态方程。解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。2021/5/924上图所示方块图经等效变换后如下图所示：我们取每个积分器的输出端信号为状态变量积分器的输入端即2021/5/925从图可得系统状态方程：取y为系统输出，输出方程为：写成矢量矩阵形式，我们得到系统动态方程：2021/5/926二

.从系统的机理

出发建立状态空间表达式

一般控制系统可分为电气、机械、机电、气压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。2021/5/927【例1-2】RLC电路如下图所示.以ei作为系统的控制输入u(t)，eo作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。2021/5/928解:该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，可以取电容C两端电压和流过电感L的电流

作为系统的两个状态变量，分别记作x1和x2。根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：2021/5/929整理得：

2021/5/930写成矢量形式为：这就是如图2-3所示RLC电网络的动态方程。2021/5/931【例1-3】多输入多输出系统（MIMO）如图2-5所示机械系统,质量各受到的作用，其相对静平衡位置的位移分别为。解:根据牛顿定律，分别对进行受力分析，我们有：2021/5/932取为系统四个状态变量，为系统两个控制输入，则有状态方程：2021/5/933如果取为系统的两个输出，即：写成矢量矩阵形式，得系统的状态空间表达式：2021/5/934【例1-4】下图是直流电动机的示意图.图中R和L分别为电枢回路的电阻和电感,J为机械旋转部分的转动惯量,B为旋转部分的粘性摩擦系数.列写该图在电枢电压作为控制作用时的状态空间表达式.MJ。。2021/5/935解：电感Ｌ和转动惯量Ｊ是储能元件，相应的物理变量电流i和旋转速度w是相互独立的，可选择为状态变量．即则2021/5/936由电枢回路的电路方程，有由动力学方程有由电磁感应关系有式中为反电动势；转矩常数和反电动势常数．2021/5/937整理得：把代入，有2021/5/938若指定角速度为输出，则若指定电动机的转角为输出，则上述两个状态变量不足以对系统的时域行为加以全面描述，必须增添一个状态变量则2021/5/939于是，状态方程为输出方程为2021/5/940三.由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数

出发建立状态空间表达式从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可以用下列线性微分方程表示：2021/5/941

其传递函数就是输出信号y(t)的Laplace变换Y(S)与输入信号u(t)的Laplace变换U(S)之比，其形式为如下S的有理分式：2021/5/942

由系统的传递函数求其状态方程的过程称为系统的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。2021/5/943考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线性常系数微分方程相应的传递函数为2021/5/944所谓实现问题，就是根据以上两式寻求如下状态空间表达式并非任意的微分方程或传递函数都能求得其实现，实现的存在条件是，当时，，而当时．在这种情况下，传递函数可写成如下形式：2021/5/945这意味着输出含有与输入直接关联的项．应该指出：从传递函数求得的状态空间表达式并不是唯一的一．传递函数中没有零点时的实现此时，系统的微分方程为2021/5/946相应的传递函数为上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图导出．2021/5/947∫∫∫∫＋＋＋＋＋＋＋－将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出的各阶导数．至于积分器的输入，显然就是个状态变量的导数．2021/5/948通过系统模拟结构图，我们可以列出系统的状态方程：输出方程为2021/5/949表示成矩阵形式为式１－２－１2021/5/950【例1-4】系统的输入输出微分方程为列写其状态方程和输出方程.解:选为状态变量即2021/5/951可得:2021/5/952写成矩阵方程:2021/5/953二．传递函数中有零点时的实现此时，系统微分方程为系统传递函数为2021/5/954从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到n阶．设待实现的系统传递函数为因为上式可变换为１-２-２2021/5/955令则对上式进行拉氏变换，可得2021/5/956我们可以得到系统模拟结构图∫∫∫图1－－－2021/5/957每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统状态空间表达式：2021/5/958表示成矩阵形式为2021/5/959推广到n阶系统，系统的实现可以为：式１-２-32021/5/960前面已经提到，实现是非唯一的，仍以式1-2-3的传递函数为例．系统另一种模拟结构图如下∫∫∫从输入、输出关系看，二者是等效的，输入函数的各阶导数作适当的等效移动，就可以用下图表示：图2－－－2021/5/961∫∫∫图3－－－2021/5/962∫∫∫图4－－－2021/5/963容易求得其对应的传递函数为:通过对多项式系数的比较,得:2021/5/964所以或记为2021/5/965将图3中的每个积分器输出选作状态变量,得状态空间表达式:2021/5/966扩展到n阶系统,其状态空间表达式为:2021/5/967或记为：也可以用长除法求系数。2021/5/968三．多输入－多输出系统微分方程的实现以双输入－双输出的三阶系统为例，设系统微分方程为：采用模拟结构图的方法，按高阶导数项求解2021/5/969对每个方程积分2021/5/970系统模拟结构图为∫∫∫－－－2021/5/971取每个积分器的输出为一个状态变量，则一种实现为2021/5/972或表示为2021/5/973§1-0概述§1-1状态变量及状态空间表达式§1-2状态空间表达式的建立§1-3状态变量的线性变换

§1-4从状态空间表达式求系统传递函数§1-5离散时间系统状态空间表达式§1-6时变系统和非线性系统的状态空间表达式2021/5/974§1-3状态向量的线性变换系统状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的定常系统,可以选取多种变量,对应地有许多种状态空间表达式描述同一系统,也就是说系统可以有多种结构形式.所选取的状态矢量之间,实际上是一种矢量的线性变换.2021/5/975设给定系统为

我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T,将原状态向量x作线性变换，得到另一状态矢量z设变换关系为2021/5/976我们可以得到新的状态空间表达式很明显，由于Ｔ为任意非奇异阵，故状态空间表达式为非唯一的．通常称Ｔ为变换矩阵.2021/5/977二．系统特征值的不变性及系统的不变量１．系统特征值

系统特征值就是系统矩阵Ａ的特征值，即特征方程的根．n×n方阵Ａ有n个特征值2021/5/978２．系统的不变量与特征值不变性同一系统，经非奇异变换后，得其特征方程为2021/5/979上式的系数就是系统不变量。2021/5/9803.特征矢量

一个n维矢量经过以A作为变换阵的变换,得到一个新的矢量,即若则我们称为Ａ的对应于的特征矢量，此时有⑴特征矢量的定义2021/5/981⑵特征矢量的求法①根据定义求特征矢量;②代数余子式法求特征矢量.按某一行展开的代数余子式构成矢量P,相应地将代入分别得.2021/5/982三．状态空间表达式变换为约旦标准型这里的问题是通过一个非奇异矩阵Ｔ，x的线性变换x=Tz，从而将变换为根据系统矩阵Ａ，求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵Ｊ2021/5/983无重根时有q重根时2021/5/984要求控制矩阵和输出矩阵，则必须求出变换矩阵Ｔ，下面根据Ａ阵形式及有无重根的情况，分别介绍几种求Ｔ的方法．１．Ａ为任意形式⑴．特征值无重根时设是Ａ的n个互异特征根，求出的特征矢量，则变换矩阵由Ａ的特征矢量构成，即2021/5/985【例1-５】试求的特征矢量．2021/5/986解：Ａ的特征方程为方法一：定义法2021/5/987１）对应于的特征矢量2021/5/988取得对应的特征向量m1为：解之有:为简便起见2021/5/989同理可得：所以：2021/5/990方法二:按某一行展开的代数余子式构成矢量P,相应地将代入分别得.代数余子式法2021/5/991按第一行展开得将代入得,取2021/5/992将代入得,取将代入得,取2021/5/993按第二行展开得将代入得,取2021/5/994将代入得,将代入得,取取2021/5/995按第三行展开得将代入得,取2021/5/996将代入得,取将代入得,取2021/5/997当A的特征根互异时,所求出的特征矢量不唯一,但是所求出的所有特征矢量都成比例,若取它们的最简形式,则所有特征矢量都相同.小结:2021/5/998⑵．Ａ阵的特征根有重根时设Ａ的特征根有q个的重根，其余（n–q）个根互异，则Ｔ的计算公式为：其中，上对应与（n–q）个单根的特征矢量，对应于q个重根的个向量的求得，应根据下式计算2021/5/999显然,仍为对应的特征矢量,其余则称为广义特征矢量.2021/5/9100例:已知求特征矢量.2021/5/9101解:当时,方法一定义法2021/5/91022021/5/9103根据所以2021/5/9104同理可得2021/5/9105方法二:代数余子式法按第三行展开新的余子式构成向量2021/5/9106当时,对应特征向量为当时,对应特征向量为2021/5/9107规律:当时,对应特征向量为2021/5/9108同理,按第一行展开分别求得对应特征向量为2021/5/9109取同理,按第二行展开2021/5/9110分别求得对应特征向量为取2021/5/9111小结:当特征根有重根时,利用代数余子式方法求出的T值可能不完全相同,即所谓的特征矢量不唯一,但是约旦阵都相同,不同的仅仅是和2021/5/91122.A阵为标准型,即2021/5/9113⑴.A的特征值无重根时,其变换矩阵是一个范德蒙德矩阵,为2021/5/9114⑵.A的特征值有重根时,以有的三重根为例;2021/5/9115⑶.有共轭复根时,以四阶系统其中有一对公轭复根为例,即2021/5/9116此时,2021/5/91173.系统的并联型实现已知系统传递函数将上式展开成部分分式.由于系统特征根有两种情况:一是所有根均是互异的,一是有重根;现分别讨论:1-3-12021/5/9118⑴.具有互异根的情况式1-3-1可写成将其展开成部分分式2021/5/9119∫∫∫＋＋＋＋＋＋＋＋＋…2021/5/9120取每个积分器的输出作为一个状态变量，系统的状态空间表达式为：2021/5/9121∫∫∫＋＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＋或2021/5/9122系统的状态空间表达式为2021/5/9123⑵.具有重根的情况设有一个q重的主根其余是互异根．这时的部分分式展开式为2021/5/9124模拟结构图如下2021/5/9125列出状态空间表达式2021/5/9126写成矩阵形式:2021/5/91272021/5/9128【例1-6】将下列（A,B,C,D）组成的动态方程转换为约当标准型。解：先求特征根：2021/5/9129对于λ1=-1，m1=2，我们有：对于λ2=-2，m2=1，我们有：所以：2021/5/9130系统的约当标准型为：

2021/5/9131§1-0概述§1-1状态变量及状态空间表达式§1-2状态空间表达式的建立§1-3状态变量的线性变换§1-4从状态空间表达式求系统传递函数

§1-5离散时间系统状态空间表达式§1-6时变系统和非线性系统的状态空间表达式2021/5/9132§1－4从状态空间表达式求系统传递函数阵一.传递函数阵1.单输入—单输出系统已知系统状态空间表达式为2021/5/9133式中x—n维状态矢量；y和u—输出和输入；Ａ－n×n方阵；b－n×1列阵；－１×n行阵；d—标量，一般为零．对其进行拉氏变换，并假定初始条件为零，则有：2021/5/9134故Ｕ－Ｘ间的传递函数为U－Ｙ间的传递函数为2021/5/9135２．多输入－多输出系统已知系统状态空间表达式为：其中，X、Y、U分别为n×1、m×1、r×1的列向量，A、B、C、D分别为n×n、n×r、m×n、m×r的矩阵。2021/5/9136作拉氏变换，并设系统初态为零，则有：故Ｕ－Ｘ间的传递函数为而Ｕ－Ｙ间的传递函数为2021/5/9137§1-0概述§1-1状态变量及状态空间表达式§1-2状态空间表达式的建立§1-3状态变量的线性变换§1-4从状态空间表达式求系统传递函数§1-5离散时间系统状态空间表