椭圆的定义及标准方程

221221椭的义标方题一椭的标方例1已椭圆

mx

2

y

2

m

的一个焦点为（0，）求m的．例2已椭圆的中心在原点，且经过点

，求椭圆的标准方程．例3求心在原点，对称轴为坐标轴，且经过

(

和

(3,1)

两点的椭圆方程．例4、求适合条件的圆的标准方程．（1长轴长是短轴长的2倍且过点

（2在

x

轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为．题二椭的一义例5、

底边

，

和

边上中线长之和为30，求三角形重心

的轨迹和顶点

A

的轨迹．例6、已知

P

点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点

P

到两焦点的距离分别为

4和3

，过

P

点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．例圆

x22

上的点

M

到焦点

F

的距离为2N

为

MF

的中点

ON

为坐标原点为)A4B．．8D．题三椭的第定

例8、设

()0

是离心率为

e

的椭圆

x2(a

上的一点，

到左焦点

F

和右焦点

F

的距离分别为

r

和

r

，求证：

r10

，

r2

．例9已知椭圆

xF为焦点能否在椭圆上找一点M到准线l的离是MF4与的比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2例10、椭

x2

的右焦点为F,过点，3,M在椭圆上,AM

为最小值时求点的标例11、已椭圆

x24bb2

上一点

到右焦点

F

的距离为

bb

，求

到左准线的距离．题四椭的迹1

2．椭圆和ky22222222222222．椭圆和ky2222222222222例12、已动圆

过定点

A且在定圆

B

的内部与其相内,求动圆圆心

的轨迹方程．例13、已圆

2

y

2

，这个圆上任意一点向

轴作垂线段，求线段中点M的迹．练：知焦点在

x

轴上的椭圆的离心率是

12

且其长轴长等于圆

x,椭圆的标准方程）2A4

yxx2y2B．2．1616．已知椭圆

xyab>过焦点F的的长是另一焦点为F则的长(b2

）A2

B

4a

C．

4a

D．

4a4xxa

（）A相同的离心率B．同的焦点C．同的顶点D．相同的长、短轴．若椭圆两准线间的距离等于焦距的，则这个椭圆的离心率为（）A

B

22

C．

24

D．

椭圆有点(1,F

为椭圆右焦点,椭圆上有一点M,使的最小则最小值）A

7B

C．3．．椭圆

xy4

上的点到直线y

的最大距离是

（）AB．

C．

D．10．已知椭圆

x22m

的离心率

10e,5

则

m

．．已知椭圆Ｅ短轴长为焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等则椭圆Ｅ的离心率等___1．已知椭圆中心在坐标原,焦点在轴上,其离心率为焦为8,则该椭圆的方程为．2x．若方程＋＝示椭圆，则m的围是．7m－5x11．已知椭圆的标准方程为＋＝1(>0)并且焦距为6求实数m的为．m．已知椭圆的长轴长是8，离心率是

34

，则此椭圆的标准方程是

.．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍则椭圆的离心率等于．x．若直线＝＋∈R与椭圆＋＝有公共点，则实数的值范围_______x．浙江台州调)过椭圆＋＝1(>>0)的顶点A作率为1直线，与椭圆的另一个交点为M与by轴交点为，若AM＝MB，该椭圆离心率_．x．盐城市高三调设，分是椭圆＋＝1(>b>0)的左顶点与右焦点若在其右准线上存在点P，b使得线段PA的直平分线恰好经过点F则该椭圆的离心率的取值范围是____________．2

2→2．全国)知是圆C的一个焦点B是轴的一个端点，线段BF的长线交C点D，B＝→，C的心率．．如果点

M(xy)

在运动中满足关系式

2+(y+3)2+2+(y-3)10

，点M的轨迹；方程是；果点M的轨迹上一点P到点

(0-3)1

的距离为，则点到

,2

的距离等于__________；若过点F做一直线与点M轨迹交于点AB，则△的周长是____________22．已知

P

是以

F

、

F

为焦点的椭圆

xyb2

>

>

上的一点，若

1tanF,11

则此椭圆的离心率为______．已F、为椭圆:2的面积为9，则b．

x2y>b>0)的两焦点，P是圆上的一点且2b

PFPF,若F11221．平面直角坐标系中，已知ABC顶点（—）（顶B在圆A+sin=B

x2=1

上，则22．已知椭圆

x229

的右焦点F，点P位椭圆C上点，设O为点．①若点P到F的离等于2，点N为PF的中点，则ON|=__________；②设A(44)，|PF|-|PA|的最大值为_____________．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率

23

，短轴长为

，求椭圆的方程．．已知P点以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到焦点的距离分别为和5过作长轴的垂线恰好过3椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．．已知

F1

、

F2

是椭圆的两个焦点，

为椭圆上一点，

PF12

（1求椭圆离心率的范围；（2求证：

1

的面积只与椭圆的短轴长有26.已椭圆的中心在原，离心率为

12

，一个焦点是

F(,0)(m

是大于常数.（1求椭圆的方程；（）是椭上的一点，且过点FQ的直

l

与y轴交点M，若

QF

，求直线

l

的斜率．已知椭圆的两焦点为

F(F(12

离心率

e

32

.

(1)求此椭圆的标准方程；(2)设线

lx

若

l

与此椭圆相交于

,

两点，且

|PQ

等于椭圆短轴长，求

的值．3

例答题一椭的标方例1分：椭圆的方程化为标准方程，由

c2

，根据关系

22

可求出

的值．解方程变形为

x

．因为焦点在

轴上，所以

2

，解得

．又

c2

，所以

m

2

，

m

适合．故

m

．例2分：因椭圆的中心在原点，故其标方程有两种情况据设条件，运用待定系数法，求出参a和（或和b2）值，即可求得椭圆的标准方程．解当点在

x

轴上时，设其方程为

x2222

由椭圆过点

P

90．又，入得，a，椭圆的方程为a

x2

y

2

．当焦点在

轴上时，设其方程为

y2xa

．由椭圆过点

9．aa

，联立解得

a

，

，故椭圆的方程为

y9

．例分析由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见可设其方程为mx

2

ny

2

m，n0)，且不必去考虑焦点在个坐标轴上，直接可求出方程．解设所求椭圆方程为

mx

2

ny

2

(m，．由

((3,

两点在椭圆上可得3)2

n即

所以

11，．15故所求的椭圆方程为

x2

．例4、分：方程有两种形式时，应分别求解，如1题中由

x2

求出

，

，在得方4

x2222x2222程

x22后不能依写出另一方程

．解1设椭圆的标准方程为

xy2或2b222

．由已知

．①

又过点

22或aba

．②由①、②，得2，b37或a52，2．所求的方程为

x2或．52（2设方程为

x2b2

．由已知，

c

，

b

，所以

2

．故所求方程为

x9

．说：据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程

xy2或b2a22

．题二椭的第定例5、分）已知可得

GC

，再利用椭圆定义求解由的迹方程、坐的关系，利用代入法求的迹方程．解（）BC所在的直线为，中为原点建立直角坐标系．设

点坐标为

，由GCGB

，知

点的轨迹是以

B

、

为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因

10

，

c

，有

，故其方程为

36（2设

，则

xy

．①，3由题意有代①，得的轨迹方程为3

x2y

，其轨迹是椭圆（除去轴上两点例6、析讨论椭圆方程的型，根据题设求出和（和）的值．从而求得椭圆方程．解设两焦点为

F

、

F

，且

PF1

452，3

．从椭圆定义知

aPFPF5．即a

．5

00从

PF知PF垂焦点所在的对称轴，12所以在

RtF1

中，

F2

PFPF

12

，可求出

PFF1

6

，

PF

，从而

b2

103

．∴所求椭圆方程为

xy23x或

．例7、：如所示，设椭圆的另一个焦为

F

，由椭圆第一定义得

MF12

，所以MF21

，又因为

ON

为

F2

的中位线，所以

ON

12

MF

，故答案为A．说：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于

F1

）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这定义，即的有关距离．题三椭的第定

a1

，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点例8、分析：题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解

P

点到椭圆的左准线

l：

2a的距离，xcc

，由椭圆第二定义，

PFPQ

，∴

r10

，由椭圆第一定义，

raa21

0

．6

2211122111例9、解假设

M存，设

件a，

，，

．∵左准线

l

的方程是

x

，∴

MN1

．又由焦半径公式知：1xMF．2

MF

12

x

，∵

MNMFMF1

，∴

x

12x2

整理得

xx481

．解之得

x

或

x

125

．①另一方面

x

．②则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．例10、分析本题的关键是求出离率

e

，把

MF

转化为

M

到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求

AM

1e

MF

均可用此法．解由已知：，2．所以e

，右准线

l：

．过

A

作

l

，垂足为

，交椭圆于

M

，故

MF

．显然AMMF的小值为AQ即为求点因此圆上．故．以M，3．M

yM

且

M

在椭说：题关键在于未知式

AMMF

中的“2的处理．事实上，如图，

e

，即

是

M

到右准线的距离的一半，即图中的，题转化为求椭圆上一点M，M到的离与到右准线距离之和取最小值．例11、析利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解一由

x2y42

，得

，

cb

，

e

32

．由椭圆定义，

ab，PFb1212

．由椭圆第二定义，

PF

，d为P到准线的距离，∴

1

PF1

3b

，7

00即到准线的距离为23b解二∵

PF

，d为P右准线的距离，

cPFe，∴b23

．又椭圆两准线的距离为

a283232b．∴到准线的距离为bc33

．说：用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．例12、分析关键是根据题意，列点P满的关系式．解如图示，设动圆

P

和定圆

B

内切于点

M

．动点

P

到两定点，即定点

和定圆圆心

距离之和恰好等于定圆半径，即

PBBM

．∴点的