数列与数学归纳法

专题39数列与数学归纳法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一个主要数学方法，其应用主要表现在证实等式、证实不等式、证实整除性问题、归纳猜测证实等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证实数列问题.1、数学归纳法适用范围：关于正整数命题（比如数列，不等式，整除问题等），则能够考虑使用数学归纳法进行证实2、第一数学归纳法：经过假设成立，再结合其它条件去证成立刻可.证实步骤以下：（1）归纳验证：验证（是满足条件最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设成立，证实当初，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立3、第一归纳法要注意地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从开始成立，可从任意一个正整数开始，此时归纳验证从开始（2）归纳假设中，要注意，确保递推连续性（3）归纳假设中，命题成立，是证实命题成立主要条件.在证实过程中要注意寻找与联络4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设命题成立时，可用条件只有，而不能默认其它时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法补充，将归纳假设扩充为假设，命题均成立，然后证实命题成立.可使用条件要比第一归纳法多，证实步骤以下：（1）归纳验证：验证（是满足条件最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设成立，证实当初，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立.5.注意点：对于归纳猜测证实类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n初始值n0不准确；三是在第二步证实中，无视应用归纳假设.【经典例题】例1.【重庆市第一中学5月月考】已知为正项数列前项和，，记数列前项和为，则最小值为______.【答案】【解析】分析：由题意首先求得，然后利用题意结合函数性质确定最小值即可.详解：由题意结合，以下用数学归纳法进行证实：当初，结论是成立，假设当初，数列通项公式为：，则，由题意可知：，结合假设有：，解得：，综上可得数列通项公式是正确.据此可知：，，利用等差数列前n项和公式可得：，则，结合对勾函数性质可知，当或时，取得最小值，当初，当初，因为，据此可知最小值为.点睛：本题关键在于合理利用归纳推理得到数列通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到通常推理，由归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳个体数目越多，越具备代表性，那么推广通常性命题也会越可靠，它是一个发觉通常性规律主要方法．例2.设Sn为数列{an}前n项和，满足Sn＝2an－2(n∈N*)（1）求值，并由此猜测数列{an}通项公式an；（2）用数学归纳法证实（Ⅰ）中猜测．【答案】（1）；（2）看法析.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.由此猜测：(n∈N*)．(2)证实：①当n＝1时，a1＝2，猜测成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜测成立，即，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak∴ak＋1=2ak，这表明n＝k＋1时，猜测成立，由①②知猜测成立．点睛：数学归纳法被用来证实与自然数关于命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘记.例3．已知数列满足：，.（Ⅰ）试求数列，，值；（Ⅱ）请猜测通项公式，并利用数学归纳法证实之.【答案】（Ⅰ），，.（Ⅱ），证实看法析.由此猜测.下面用数学归纳法证实之：当时，，结论成立；假设时，结论成立，即有，则对于时，∴当初，结论成立.综上，可得对，成立点睛：利用数学归纳法证实数学问题步骤及其需要注意问题：1、第一步：归纳奠基（即验证时成立）；第二步：归纳递推（即假设时成立，验证时成立）；3、两个条件缺一不可，在验证时成立时一定要用到归纳假设时结论，最终得到形式应与前面完全一致.例4.【浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列前项和为，求证：．【答案】(1)证实看法析；（2）证实看法析；（3）证实看法析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证实；（2）化简，由可得是等差数列；（3）由（2）可得，从而可得，先证实，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，所以，当初，，即时，，所以时，，显然，只需证实，即可．当初，．例5.已知函数（1）若函数在处切线斜率为，，已知，求证：（2）在（1）条件下，求证：【答案】看法析下面用数学归纳法证实：当初，成立假设成立，则时时，不等式成立（2）由（1）可知例6．【浙江省绍兴市5月调测】已知数列中.（1）证实：；（2）设数列前项和为，证实：．【答案】（1）看法析；（2）看法析详解：（1）数学归纳法：①当初，，，显然有.②假设当，结论成立，即，那么，，即，总而言之成立.（2）由（1）知：，，即，；点睛：处理数列与函数、不等式综合问题关键是从题设中提炼出数列基本条件，综合函数与不等式知识求解；数列是特殊函数，以数列为背景不等式证实问题及以函数为背景数列综合问题表现了在知识交汇点上命题特点．例7．【福建省南平市5月检验】己知函数.（Ⅰ）求函数单调区间；（Ⅱ）若函数最小值为-1，，数列满足，，记，表示不超出最大整数．证实：．【答案】（Ⅰ）看法析;（Ⅱ）看法析.详解：（Ⅰ）函数定义域为.1、当初，，即在上为增函数；2、当初，令得，即在上为增函数；同理可得在上为减函数.（Ⅱ）有最小值为-1，由（Ⅰ）知函数最小值点为，即，则，令，当初，，故在上是减函数所以当初∵，∴.（未证实，直接得出不扣分）则.由得，从而.∵，∴.猜测当初，.下面用数学归纳法证实猜测正确.1、当初，猜测正确.2、假设时，猜测正确.即时，.当初，有，由（Ⅰ）知是上增函数，则，即，例8.已知函数，在原点处切线斜率为，数列满足为常数且，．（1）求解析式；（2）计算，并由此猜测出数列通项公式；（3）用数学归纳法证实你猜测．【答案】（1）；（2）；（3）证实看法析．（2），则，，，由此猜测数列通项公式应为．（3）①当初，猜测显然成立，②假设时，猜测成立，即，则当初，，即当初，猜测成立．由①②知，对一切正整数都成立．例9.已知数列是等差数列，.(1)求数列通项公式；(2)设数列通项(其中且)记是数列前项和，试比较与大小，并证实你结论.【答案】（1）；（2）当初，,当初，，证实看法析.详解：(1)设数列{bn}公差为d,由题意得,∴bn=3n－2.(2)证实：由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)…(1+)］而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1大小比较(1+1)(1+)…(1+)与大小取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测(1+1)(1+)…(1+)＞(*)①当n=1时，已验证(*)式成立②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n都成立于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1,当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1.例10.【浙江省高考模拟】已知数列满足：.证实：当初，（1）；（2）；（3）.【答案】（1）看法析；（2）看法析；（3）看法析由数列递推式，以及（2）结论可得，依照等比数列通项公式即可证实，再结合已知可得，即可证实不等式成立.详解：（1）数学归纳法证实：当初，成立假设时，成立，那么时，假设，则，矛盾所以，故得证所以，故（2）由得设则（3）由（2）得，则所以又，所以，所以，故所以，所以【精选精练】1．用数学归纳法证实“”时，由时等式成立推证时，左边应增加项为__________.【答案】点睛：项数改变规律，是利用数学归纳法解答问题基础，也是易错点，要使问题顺利得到处理，关键是注意两点：一是首尾两项改变规律；二是相邻两项之间改变规律.2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所表示：按照上面规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒根数为______________．【答案】【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒根数依次组成一个等差数列，首项为8，公差为6，所以第n项为x+kw3．已知数列中，且.（1）求，，；（2）依照（1）结果猜测出一个通项公式，并用数学归纳法进行证实；（3）若，且，求.【答案】（1）；（2），证实看法析；（3）.（2）由此猜测.下面用数学归纳法加以证实：①当初，由（1）知成立；②假设，结论成立，即成立.则当初，有，即即时，结论也成立；由①②可知，通项公式为.（3）由（2）知，.4．已知数列前项和为，且满足，.（1）计算，，，依照计算结果，猜测表示式；（2）用数学归纳法证实你猜测结论.【答案】(1)答案看法析；(2)证实看法析.【解析】分析：（1）计算，，，依照计算结果，猜测.（2）用数学归纳法证实猜测结论.由此猜测，（2）下面用数学归纳法证实，①当初，显然成立，②假设当初猜测成立，即，由题意得，∴，∴，∴当初猜测也成立，由①和②，可知猜测成立，即.点睛：（1）在利用数学归纳法证实数学问题时，一定要注意利用前面时假设，不然就是伪数学归纳法，是错误.（2）看到或，要注意联想到项和公式解题.5．已知数列满足，.（1）计算，，，依照计算结果，猜测表示式；（2）用数学归纳法证实你猜测结论.【答案】(1)答案看法析；(2)证实看法析.由此猜测；（2）下面用数学归纳法证实，①当初，显然成立，②假设当初猜测成立，即，由题意得，∴当初猜测也成立；由①和②，可知猜测成立，即.6．已知数列满足且.（1）计算、、值，由此猜测数列通项公式；（2）用数学归纳法对你结论进行证实．【答案】（1），；（2）证实看法析.【解析】试题分析：（1）由,，将代入上式计算出、、值，依照共同规律猜测即可；（2）对于，用数学归纳法证实即可.①当初，证即当初，结论也成立，由①②得，数列通项公式为.7．在数列中，，，，，．（）计算，，值．（）猜测数列通项公式，并用数学归纳法加以证实．【答案】（1），，；（2），证实看法析.（）由（）可猜测：，证实：当初，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当初，，即当初，等式也成立，总而言之，对任意自然数，．8．已知数列数列{an}通项公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn为其前n项和．(1)求S1，S2，S3，S4值；(2)猜测Sn表示式，并用数学归纳法证实你结论．【答案】(1)S1＝－1，S2＝2，S3＝－3，S4＝4；(2)答案看法析.【解析】试题分析：(Ⅰ)依照，代入计算，可求值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜测表示式，再依照数学归纳法证题步骤进行证实，检验时等式成立，假设时命题成立，证实时命题也成立刻可.试题解析：(1)依题意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4；(2)猜测：Sn＝(－1)n·n.证实：①当n＝1时，猜测显然成立；②假设当n＝k时，猜测成立，即Sk＝(－1)k·k，那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)．即n＝k＋1时，猜测也成立．故由①和②可知，猜测成立.【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法应用，属于中等题.由归纳推理所得结论即使未必是可靠，但它由特殊到通常，由详细到抽象认识功效，对科学发觉十分有用,观察、试验、对有限资料作归纳整理，提出带规律性说法是科学研究最基本方法之一.经过不完全归纳法发觉规律，用数学归纳法加以证实才能应用.9．设，，令，，.（1）写出，，值，并猜测数列通项公式；（2）用数学归纳法证实你结论.【答案】(1)a1＝1，a2＝，a3＝；a4＝，猜测an＝（n∈N+）；(2)证实看法析.试题解析：（1）∵a1＝1，∴a2＝f（a1）＝f（1）＝，a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝，猜测an＝（n∈N+）；（2）证实：①易知，n＝1时，猜测正确.②假设n＝k时猜测正确，即ak＝，则ak＋1＝f（ak）＝=.这说明n＝k＋1时猜测正确.由①②知，对于任何n∈N+，都有an＝.点睛：数学归纳法是一个主要数学思想方法，主要用于处理与正整数关于数学问题．证实时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)基础，步骤(2)是递推依据．10.【浙江，22】已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．证实：当初，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1−xn≤；（Ⅲ）≤xn≤．【答案】（Ⅰ）看法析；（Ⅱ）看法析；（Ⅲ）看法析．【解析】（Ⅱ）由得【名师点睛】本题主要考查数列概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和处理问题能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证实不等式；（2）结构函数，利用函数单调性证实不等式；（3