四川省绵阳市南坝中学高三数学理月考试卷含解析

四川省绵阳市南坝中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是，则双曲线离心率是（

）A．2 B． C．3 D．参考答案：C略2.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h的值为（

） A．

B．C．

D．参考答案：B略3.在钝角中，已知，，，则的面积是

参考答案：B略4.将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（

）参考答案：A5.函数的图象向右平移动个单位，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，两个侧面是全等的三角形，三边分别为2，2，4，另一个侧面为等腰三角形，求出各个侧面面积即可得到表面积．【解答】解：由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为4，两个侧面是全等的三角形，三边分别为2，2，4，面积之和为4，另一个侧面为等腰三角形，面积是×4×4=8，故选B．7.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论个数为（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：D试题分析：因为，所以令得：且当或时，；当时，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，在处取得极大值，在处取得极小值；由题设知方程有三个根，所以必有，即，所以③正确；同时，因为，所以，所以①②都正确；另外，由，可设又，所以，所以，④正确；综上，答案应选D.8.已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段的中点的横坐标为A．

B． C．

D．参考答案：A9.已知，则A.

B.

C.

D.参考答案：C10.对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件B．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若方程的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是_____.参考答案：12.设向量满足：且的夹角是，则_________参考答案：略13.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数是

．参考答案：12814.已知函数则函数的单调递减区间为

参考答案：15.某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是．参考答案：200【考点】分层抽样方法．【分析】根据学校的总人数和要抽取的样本容量，做出每个个体被抽到的概率，根据学生要抽取150人，做出教师要抽取的人数是10，除以概率得到教师的人数．【解答】解：∵学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴=，∴学校的教师人数为10×20=200．故答案是：200．16.已知随机变量服从正态分布=

。.参考答案：略17.(几何证明选讲选做题)如图，在中，，，，以点为圆心，线段的长为半径的半圆交所在直线于点、，交线段于点，则线段的长为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知、满足约束条件，求的最值。参考答案：①画出可行域，如图（1）所示。②将变为，令，；③平移直线，显然当直线经过点A（1，1）时，最大，当直线经过点B（0，－1）时，最小，如图（2）；④当，时，，当，时，。19.如图，正方形ABCD和梯形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AF⊥AC，G为AD的中点，．（1）求证：FG∥平面CDE；（2）求二面角A﹣DF﹣E的余弦值；（3）设点P是线段DE上的动点，是否存在点P使得直线BP⊥平面DEF，说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取CD的中点H，连接EH，GH，证明四边形HGFE是平行四边形，推出FG∥EH，然后证明FG∥平面CDE；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADF的法向量，平面DEF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣DF﹣E的余弦值即可．（3）存在点P使得直线BP⊥平面DEF，设=λ（1，﹣1，2）=（λ，﹣λ，2λ），P（λ，2﹣λ，2λ），=（λ﹣2，2﹣λ，2λ），利用∥，解得λ=．即可得到结果．【解答】解：（1）证明：取CD的中点H，连接EH，GH，因为G为AD的中点，可得GH∥AC，GH=AC=，∵EF∥AC，EF=，∴GHEF，∴四边形HGFE是平行四边形，∴FG∥EH，EH?平面CDE，FG?平面CDE，∴FG∥平面CDE；（2）正方形ABCD和梯形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AF⊥AC，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨平面ADF的法向量为：=（2，0，0），D（0，2，0），F（0，0，2），E（1，1，2），设平面DEF的法向量为：=（x，y，z）．=（0，﹣2，2），=（（﹣1，﹣1，0））即，不妨取y=1，则x=﹣1，z=1，可得=（﹣1，1，1），二面角A﹣DF﹣E的余弦值为：cosθ===．由图形可知二面角为锐角，所以二面角A﹣DF﹣E的余弦值为：．（3）由（2）可知B（2，0，0），点P是线段DE上的动点，存在点P使得直线BP⊥平面DEF，设=λ（1，﹣1，2）=（λ，﹣λ，2λ），P（λ，2﹣λ，2λ），=（λ﹣2，2﹣λ，2λ），平面DEF的法向量为：=（﹣1，1，1），可知∥，可得2﹣λ=2λ，解得λ=．说明存在P是距离E比较近的DE的一个3等分点．20.（本小题满分12分）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数，使得直线与曲线C有两个不同的公共点、，且（其中为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）∵，∴可将曲线C的方程化为普通方程：.

……2分①时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；

……4分②当时，曲线C为中心在原点的椭圆.

……6分（Ⅱ）直线的普通方程为：.

……8分联立直线与曲线的方程，消得，化简得.若直线与曲线C有两个不同的公共点，则，解得.又

…10分故.解得与相矛盾.

故不存在满足题意的实数.

…12分略21.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（，）．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．①设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；②设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意c=1，，解出即可；（2）①设P（x0，y0）（y0≠0），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k1，k2，再利用点P在椭圆上即可证明．②利用直线的点斜式及其①的有关结论即可证明．【解答】解：（1）由题意椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（，），∴c=1，∴解得a=2，b=，∴椭圆E的标准方程为．（2）①设P（x0，y0）（y0≠0），则直线AP的方程为：y=（x+2）令x=2得M（2，）∴k1=，∵k2=，∴k1k2=，∵P（x0，y0）在椭圆上，∴=1∴k1k2=﹣为定值．②直线BP的斜率为，直线m的斜率为km=，则直线m的方程为y=（x﹣2）+y0=（x﹣2）+=（x