湖南省永州市鹿马桥镇金江中学高二数学理下学期期末试卷含解析

湖南省永州市鹿马桥镇金江中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝(

)A．

B.

C.

D.

参考答案：A3.函数有()．A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3参考答案：D略4.在下面的四个图象中，其中一个图象是函f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于(

)．A.

B．－

C.

D．－或参考答案：5.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则(

)A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩参考答案：D【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．6.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n?β，则下列叙述正确的是（）A．若m∥n，m?α，则α∥β B．若α∥β，m?α，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则α⊥β D．若α∥β，m⊥n，则m⊥α参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n?β，知：若m∥n，m?α，则α与β相交或平行，故A错误；若α∥β，m?α，则m与n平行或异面，故B错误；若m∥n，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α∥β，m⊥n，则m与α相交、平行或m?α，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7.函数在（0，1）内有极小值，则 （

）A． B． C． D.参考答案：D8.已知（为常数），在上有最大值，那么此函数在上的最小值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.已知两条相交直线、，平面，则与的位置关系是（

）．A．平面 B．平面C．平面 D．与平面相交，或平面参考答案：D根据空间中直线与平面的位置关系的可得：与平面相交或平面．故选．10.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁参考答案：B【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论．【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x项的系数是_______．参考答案：9【分析】令，可得：，解出的值，再利用通项公式即可得到答案。【详解】由于的展开式中各项系数和为2，令，可得：，解得：，的展开式的通项公式，要得到展开式中含项的系数，则或，解得或4；所以展开式中含项的系数故答案为：912.=

。参考答案：0略13.如图，边长为a的正△ABC的中线Aks5uF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①

动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②

恒有平面A′GF⊥平面BCED；③

三棱锥A′—FED的体积有最大值；④

异面直线A′E与BD不可能互相垂直；其中正确命题的序号是

．参考答案：①②③14.过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则=．参考答案：3【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得xA+xB和xAxB的表达式，进而可求得xAxB=﹣（）2，整理后两边同除以xA2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知xA＜0，xB＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0∴xA+xB=p，xA?xB=﹣p2，∴xAxB=﹣p2=﹣（）2=﹣（xA2+xB2+2xAxB）∴3xA2+3xB2+10xAxB=0两边同除以xA2（xA2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵xA+xB=p＞0，∴xA＞﹣xB，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．15.已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=．参考答案：±2【考点】函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值，∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0，∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故答案为：±2．16.原命题：“设复数（为虚数单位），若为纯虚数，则”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有________个.参考答案：1

17.若直线与抛物线相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,四棱锥的底面是边长为的菱形,,平面,.（1）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;（2）求二面角A－PB－D的大小.

参考答案：解析：（1）取DC的中点E.∵ABCD是边长为的菱形,，∴BE⊥CD.∵平面,BE平面，∴

BE.∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角.∵BE=，PE=,∴==.（2）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.∵平面,AO平面，∴

PD.∴AO⊥平面PDB.作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB.故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.∵AO=，OF=，∴=.∴=.19.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知可先求sinB的值，由ac=35，即可根据面积公式求S△ABC的值．（2）由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cosC的值，即可求出C的值．【解答】解：（1）∵cosB=，且B∈（0，π），∴sinB==，又ac=35，…∴S△ABC=acsinB==14．…（2）由ac=35，a=7，得c=5，…∴b2=a2+c2﹣2accosB=49+25﹣2×=32，∴b=4，…∴cosC===…又C∈（0，π）…∴C=．…20.已知函数f（x）=aex+bxlnx图象上x=1处的切线方程为y=2ex﹣e．（Ⅰ）求实数a和b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）﹣ex2的最小值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可求实数a和b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）﹣ex2的导数，研究函数的单调性，判断函数的极值和最值关系即可求g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=aex+blnx+bx=aex+blnx+b，则f′（1）=ae+b，∵f（x）=aex+bxlnx图象上x=1处的切线方程为y=2ex﹣e．∴当x=1时，y=2e﹣e=e，即切点坐标为（1，e），则切线斜率k=f′（1）=ae+b=2e，f（1）=ae+bln1=ae=e，得a=1，b=e；（Ⅱ）∵a=1，b=e，∴f（x）=ex+exlnx，x＞0，则函数g（x）=f（x）﹣ex2=ex+exlnx﹣ex2，函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数g′（x）=ex+e（1+lnx）﹣2ex，①，则g″（x）=ex+﹣2e，②，令φ（x）=ex﹣ex，则φ′（x）=ex﹣e，由φ′（x）=ex﹣e=0得x=1，∴当x＞1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）递增，当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）递减，即当0＜x≤1时，φ（x）≥φ（1）=0，当x＞1时，φ（x）＞φ（1）=0，即对?x∈（0，+∞），都有φ（x）≥0，即ex≥ex＞0，③，由②③得当x＞0时，g″（x）≥ex+﹣2e≥2﹣2e=0，∴函数y=g′（x）在（0，+∞）上递增，∴当0＜x≤1时，g′（x）≤g′（1）=0，当x＞1时，g′（x）＞g′（1）=0，即函数y=g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增，当0＜x≤1时，g（x）≥g（1）=0，④，当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，⑤，由④⑤得?x∈（0，+∞），都有g（x）≥0，⑥，当且仅当x=1时，不等式⑥取等号，从而g（x）的最小值为0．21.有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和．参考答案：【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可．【解答】解：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项．共有=16个，也是等差数列，它们的和为=1472这个新数列的各项之和为1472．22.（2016秋?温江区期末）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取