数值计算方法练习题

数值计算方法练习题

习题

1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有儿位有效数字以及它们的绝对误差限、相对

误差限。

x；=1.0021X；=0.032小X；=385.6

3X；=65,430yx：=7xio5-x；=0,10xl03

力X；=65,4300

2.为使下列各数的近似值的相对误差限不超过010x10-2,问各近似值分别应取几位有效数字？

X,=-；X,=—；X,=AAOT

1321013

3.设用均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。

X；

（]）演+弓+芥3；（2）Z1,X2：（3）石

4.计算/=（V2-I）6,取0^1.4,利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？

]]

（1）西+1）6；（2）（3-2、份）3；（3）（3+203

（4）99-70^2

5.序列GJ满足递推关系式

A=1OA-1-15=12…）

若％=、也*141（三位有效数字），计算Ji。时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

6.求方程（-56x4-1=0的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用J丽*27.982）。

7.利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。

11-x

|刃«1;

(2)1+2x1+X

rx+id/1

1+/H«

(4)JN

、I=-

8.设点Jo,求证：

(1)4=14_］伽=0,1,2,…)

(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。

9.设x>0,x*的相对误差为8,求f(x)=lnx的误差限。

10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

x；=1.1021,x；=0.031,%；=560.40

11.下列公式如何才比较准确？

即11

⑴加1+/

Jx+3-Jx」,|x|±l

(2)VXVX

12.近似数x*=0.0310,是I位有数数字。

13.计算•/=(尤T)，取正卬14,利用|式计算误差最小。

厂17(3-2亚)3,——1-,99-7072

(72+1)6(3+2、②3

四个选项:

习题二

1,已知八°)=L/⑴=2，/⑵=4,求/(x)的二次值多项式。

2令4=0,与=1,求y=e-x的一次插值多项式，并估计插值误差。

3.给出函数y=sinx的数表，分别用线性插值与二次插值求sin0.57891的近似值，并估计截断误

差。

X0.40.50.60.70.8

sinx0.389420.479430.564640.644220.71736

4.设/（力,试利用拉格朗日余项定理写出以一LIL2为节点的三次插值多项式。

5.已知/W=+/+3X+1,求力2。,2】,…,2。及/12°,21,--,28］的值。

6.根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算/J682）和/Q813）的近似值。

X1.6151.6341.7021.8281.921

尸⑴2.414502.464592.652713.030353.34066

7.已知函数y=f（期的如下函数值表，解答下列问题

（1）试列出相应的差分表:

（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

X0.00.10.20.30.40.5

f(x)1.001.321.682.082.523.00

8.下表为概率积分乃J0的数据表，试问:

(1)x=0.472时，积分F=?

（2）x为何值时，积分P=0.5?

X0.460.470.480.49

P0.4846550.49374520.50274980.5116683

9,利用/（力=/-3x+l在x=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5各点的数据（取五位有效数字），求方程

/（X）=°在0.3和0.4之间的根的近似值。

10.依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。

表10

X01

''01

~39

11.依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。

表11

X012

Y0-23

加01

12.在-44x44上给出/(»=产的等距节点函数表，用分段线性插值求靖的近似值，要使截断误

差不超过IO”，问函数表的步长h应怎样选取？

13.将区间[髭切分成n等分，求/(»=/在[髭句上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断

误差。

14、给定/(x)=Inx的数值表

X0.40.50.60.7

Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675

用线性插值与：次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限

15、在-4WX*I：给出/(x)=e*的等距节点函数表，若用二次插值法求e"的近似值，要使误差不超过104，

函数表的步长h应取多少？

017018

16、若八x)=x，+x'+3x+l,#[2,2,—,2]^/[2,2,—,2]

17、若『(X)=4+i(x)==0,1,…㈤互异，求加

的值,这里pWn+1.

=叙一的

18、求证束。

19、已知/(X)=shx的函数表

Xi00.200.300.50

KXi)00.201340.304520.52110

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

20、给定f(x)=cosx的函数表

段00.10.20.30.40.50.6

1.000000.995000.980070.955340.921060.877580.82534

用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差.

求一个次数不高于四次的多项式P（X）,使它满足（④t

s*（x）=」一片+式工）,阀20,s*f\

22.令«+1称为第二类Chebyshev多项式，试求^的表达式，并证明Bn）是

［-1,1］上带权°（x）X?的正交多项式序列.

用最小二乘法求一个形如'=0+小-的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.

23、

Xi1925313844

贝19.032.349.073.397.8

24、填空题

⑴满足条件P（6T，fO）=P'（l），P（2）=2的插值多项式p（x）=（）.

(2)f(X)=2x3+5,则f[123,4]=(),f[123,4,5]=().

4

（0）

（3）设双尸0,1,2,3,4）为互异节点，卜色）为对应的四次插值基函数，则JO=（），

4

£国+2）/式X）

（4）设｛伙（X）｝七=°是区间［0,1］上权函数为p（x）=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中

例（x）=l,则/'伙""=（）,02（x）=（）

习题三

1.给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。

X-1.00-0.75-0.50-0.2500.250.500.751.00

y-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836

2.用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。

3为+2X2=2

4々-5X2=3-2々+x2+x3=-2

2xj+x2=11<X]—2x?+x?=-2

（2）〔&+沟-24=4

-A+3X2=10

3.用最小二乘法求一个形如y=a+力7的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计算均方误差。

X1925313844

Y19.032.349.073.397.8

4.在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量W的数据见下表。设已知t与W之

间的关系为即=01',试用最小二乘法确定参数“、S。

t(秒)1248163264

W(克)4.224.023.854.593.443.022.59

5,试构造点集(-1-075-0.5-0.25,0,0.25,0.5,0,75,1)上的离散正交多项式系

玛(x)｝。并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项式。

6.现测量长度4和4=15.5米、4=6」米，为了提高测量的可靠性，又测量到

勺+与=209米。试合理地决定长度4和J的值。

习题四

1.确定卜列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。

...I*f(x)dx«A_1f(rh)+&/(0)+AJ@

QI?J-ft;

1：J(x)dxN*/(-〃)+&/(0)+4/(人)

kZ),一AM;

Wi[/(-l)+2/(X2)+3/(X3)]

(3)J13.

ffW)dxa?[f⑷+/(到+月侬一。)2次⑷一/例

(4)Ja2；

1

I=Ife~xdx

2.用辛甫生公式求积分J。的值，并估计误差。

3.分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分:

04+x2,8等分积分区间;4等分积分区间;

,8等分积分区间;6等分积分区间。

4.用复化梯形公式求积分问将积分区间分成多少等分，才能保证误差不超过e(不

计舍入误差)？

5.导出下列三种矩形公式的项

(1)；(2)；

⑶Ja<2)

提示：利用泰勒公式。

6.用龙贝格公式计算下列积分，要求相邻两次龙贝格值的差不超过IO"。

e-dx

7.根据等式

.K

用sin一

以及盟当〃=3,6/2时的三个值，利用外推算法求产的近似值。

8.分别用下列方法计算积分hx,并比较结果精度(积分准确值1=109861228.

(1)复化梯形法，n=16；(2)复化辛甫生法，"=8；

(3)龙贝格算法，求至R?；(4)三点高斯一勒让德公式；

(5)五点高斯一勒让德公式。

9.试确定下面求积分式的待定参数，使其代数精度尽可能高。

；/(x)lnxdxw-0.2〃xp+A2/(x2)

/(x)=---

10.已知/(X)的值见表6-13。用三点公式求函数Q+#)在x=10,1.1,1.2处的一阶导数值,

并估计误差。

/(X)=—J—

11.用二阶三点公式求函数Q+三)在户1.2处的二阶导数值(利用数表613)。

X1.01.11.2

t\x)0.250000.226760.20661

12.用中点公式的外推算法求/(X)=、旧在x=2处的一阶导数值，取方=0.8开始，加速二次。

13、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.

[—受一ydx,阀=8

Jo4+x2

Ce^dx、、

14、用Simpson公式求积分“，并估计误差

15、确定卜.列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.

rl

⑴工/⑶加"婚(0)+与氏)+(7。)

P/Wctec«A4/(-h)+4)/(0)+A/W

\L)l-2n

j\(x)dx«Af(-h)+3/(x0

(3)

"1cf7r

>I=[^sinxdx,不'10[0,—J

16、计算积分J。若用复合Simpson公式要使误差不超过2,问区间2要分为

多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间[。与2应分为多少等分？

17、用Romberg求积算法求积分左1#.，取人3

18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.

I=f11

J-l&

19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分—X

习题五

1.用列主元素法解卜.列方程组

一%=

4X]+2X2+=7―5x+x?-6X]一叼+2句=-2

2勺-5X2+2X3=-1<Xj+5X2-2X3=-1<-2Xj+x2-x5=2

为+2毛+6%=9-々-2%+4%=3；⑶4再-%+2%=T

(1)；(2)2

对(1)(2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点，右卜.方矩阵是否对称，列主元在何处，消元过程

是否符合上题结论。

2.用追赶法解下列方程组Ax=b

21-1

1315.5

A=b=

1316

2

3.求第1题及第2题中系数矩阵A的LU分解、并用此分解法解对应的线性方程组。

-400

x=(l,0,-5,2KM04-4

002求卜II,Ml,3=128)

4.给定

5、用Gauss消去法求解下列方程组.

「公-与+

1233X3=15

4-18%1+3X2+3X3=-15

6,用列主元消去法求解方程组+叼+G=6并求出系数矩阵A的行列式detA的值.

7、用Doolittle分解法求习题5(1)方程组的解.

8、卜述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解，分解式是否唯一？

1231[111126

A=241,5=221,C=2515

46733161546

9、用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中

2-1000T

-12-1000

A=0-12-10,b0

00-12-10

000-120

‘164

45

8-4

10、用平方根法解方程组L

11、设xeRx,证明llzIL-IHL-^lxIL

0.60.5

A=

12、设0.3J计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数.

13、冲1为R”上任一种范数，PeR**"是非奇异的，定义凡=加小，证明网》=||凡4尸II

14、求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计M.

240-3191R1pl

779240]区]田即Ai

240-319.5]ki]

-179.5240][x2][4]即（月+54）（x+加）=3

15、是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：题口中*=

（1）若A对称正定，xe&*,则卜L=（，兀；0"2是我"上的一种向量范数（）

ML）=maxN|

（2）定义HijSx是一种范数矩阵（）

X

出=（ZW•产

（3）定义i>l是一种范数矩阵（）

（4）只要det工W°,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（）

（5）只要det^N°,则总可用列主元消去法求得方程组=3的解（）

（6）若A对称正定，则A可分解为j=£尸，其中L为对角元素为正的下三角阵（）

（7）对任何RXxX都有心I乩训（）

（8）若A为正交矩阵，则,。陷穴"）2=1（）

习题六

I.对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯一塞德尔迭代法是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若

下收敛，能否将方程变形，使之用雅可比迭代法或高斯一塞德尔迭代法时收敛？

4再-x2-x3=1.8

-%1+4-x3-x4=2

一X]-叼+-x4=3x-5y=4

一x与一&+=0.2/八5x+y=6.

(1)I234；(2)

X[=1X

+2X2-2X3+0.4X2+(Mx?=1

%1+x2+x3=1<0.4X]+x2+0.8x3=2

2々+2盯+/=1；0.4再+0.8X+0=3

(3)(4)2

2.试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代5次求线性方程组的解（取初值

般=君。）=嫂）==0）

-4

-Xi+10x2-x3-x4=12

-X]-x2+5j-x4=8

--x2-x3+10x4=34

3.用雅可比迭代法解下列方程组。

’20/+2X2+3X3=24

X]+8X2+x3=12

X

(1)2xj-3X2+153=30

X]一句+2X3=5

・X]+3X2=-1

2々X=30

(2)+73

取那)=(0,0,0)「，并判别此迭代是否收敛？

4.用塞德尔迭代法解方程组。

’20公+2X2+3X3=24

<Xi+8X2+x3=12

2xx-3X2+15X3=30

取=(0,0,0)’,并判别此迭代是否收敛？

5.证明对于任意的矩阵A,序列LA9©3®.，'二敛于零矩阵.

6.方程组

5句+2X2+x3=-12

<-X]+4盯+2X3=20

2xj-3X2+10X3=3

(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.

(0)T卜口+"-X'对II<I。"

(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以x=(0,0,0)计算到「11~

为止.

7.设方程组

d/i+anx2=瓦

311，。22*0)

形=

+a??b2

证明：解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散.

8.下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解，是否收敛？

,12-2

A=111

221

110a0

A=b10b

9.设L°&5jdetA^O,用a,b表示解方程组Ax=f的」法及GS法收敛的充分必要条件.

10.用SOR方法解方程组（分别取3=1.03,3=1,3=1.1）

々

’4-X2=1

<一勺+

4X2-x3=4

-x2+4X3=-3

.11T

精确解'W5）,要求当|x-x阳L<5x10时迭代终止,

并对每一个3值确定迭代次数.

11.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使

<5x10^

那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次？

12.填空题

'a10'

A=1

0-

(1)2)要使；］=0应满足().

12瓦

0.321.打」，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收

（2）已知方程组

敛速度R(B)=().

2-1

A=

1

（3）设方程组Ax=b,其中L1.5J其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.

+ax2=4

（4）用GS法解方程组+*2=-3,其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.

,1X-

（5）给定方程组「?2Ja为实数.当a满足（），且0V3V2时SOR迭代法收敛.

习题七

1.判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。

X1八

sinx------1"—=U

x

（1）34（2）x=2-e

(3)x3-5x-3=0；(4)x4+4z3+2x2+1=0

2.方程/(x)=X”一°,9矛一8.5=°在区间(3,4)中有一实根，若用二分法求此根，使其误差不

超过10“，问应将区间对分几次？并请用二分法求此根。

3.下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出,

个收敛的迭代格式。

17、

x二一(cosx+sinx)v

(1)4；(2)X=4-2X

4.求方程x3-x2-1=0的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判断各迭代格式的收敛性，选

一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。

(1)狂犬(2)X=V1+%2(3)*"/.-1

(4)X=Vx3-1

5.考察方程X=10"—2有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允许误差£=104

6.用牛顿法求出的方程/(*)=°根的迭代结果见表2-6,试估计所求根的重数。

表2-6

kXkXk-Xk-l

00.75

10.7527010.00270

20.7547950.00208

30.7563680.00157

40.7575520.00118

50.75844410.000889

7.用二分法求方程--X-1=0的正根，使误差小于0.05.

8.求方程X，-X*-1=0在X(J=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.

I1r=1+1

X=1+—7曲+11/

(1)X,迭代公式五.

1

(2)X，=1+二1迭代公式不上+1=。+北户

1_1

=7X*+lI_1

(3)X-1,迭代公式g1

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.

9.设方程12一3芯+2cosx=0的迭代法

2

Xk+i=4+§COSXE

(1)证明对中％eR,均有出=x*其中x*为方程的根

(2)取X。=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过10T,并列出各次迭代值.

(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.

0(力(2

io.给定函数/'(x),设对一切x,/'(X)存在，而且°<m<f(x)<M证明对M的任意常数Z,

迭代法入行=底一石'(曲)均收敛于方程/(x)=0的根.

11.用Steffensen方法计算第12题中(2)、(3)的近似根，精确到ICF4

12用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.

d)/(x)=x3-3%-l=0在X()=2附近的根.

(2)/W=--3x-e*+2=0.在勺=1附近的根.

13.应用Newton法于方程小，­a=°,求立方根痂的迭代公式，并讨论其收敛性.

习题八

A.=230A=

192141

103j

i.已知矩阵L14

试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。

2.设*=(/，*2,…，》3尸是矩阵A属于特征值4的特征向量，若1刈8=1巧

j=l

试证明特征值的估计式>**■

232

A=1034

3.用事法求矩阵36的强特征值和特征向量，迭代初值取y"”=

62

A=23

4.用反塞法求矩阵最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取

泮=(1,1,1)，

5.设AGR"""非奇异，A的正交分解为A=QR,作逆序相乘A尸RQ,试证明

(1)若A对称则A］也对称；

(2)若A是1:Hessenberg阵，贝UA|也是上Hessenberg阵。

1

4=

6.设矩阵12

(I)任取一非零向量作初始向量用事法作迭代，求A的强特征值和特征向量；

(2)用QR算法作一次迭代，求A的特征值；

(3)用代数方法求出A的特征值和特征向量，将结果与(1)和(2)的结果比较。

2

A=02-1

7.设矩阵1-11

(1)用Householder变换化A为对称三对角阵人1。

(2)用平面旋转阵对人1进行一步QR迭代计算出4

8.用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。

4230

010,(2)A=121

0230

9.设A€Rnxn,且已知其强特征值人和对应的特征向量X⑴，

(I)证明：若构造Householder阵H使比⑴=3(常数A。=(1,0,…,0)'GR"),则必有

4x

HAH=

0A]

其中,xeK，且A的其余n-1个特征值就是Al的特征值。

32

A=

(2)以3一2」为例，已知4=4,x">=(2,1)7,用以上方法构造H阵，并求出A的第二个

特征值

10.对以卜.的实对称阵用QR方法求其全部特征值。

3104-1

(DA=142,(2)4=-13-2

0211-23

习题九

I.取步长〃=0.1,分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题

2

V+y=x0<%<0,4=xytQ<x<0,4

<<

(1)1X0)=0；⑵[y(0)=l

⑺2

准确解：(1)y(x)=e-^x+x-l;(2)八可-+2；

2.用四阶标准龙格一库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。

3.用欧拉法计算下列积分在点x=0.5,1,1.5,2处的近似值。

4.求卜列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。

,、、匕+i=匕+][3/,一4_J

②%+1=%+/234-16九I+5力_J

,、4+1=%i+%_i+4Z,+£+J

(3)3

、八+1=刈-3+：施力_2-力一1+2力1

(4)J

5.用Euler法解初值问题y'='+100^\丁(0)=°取步长h=O.l,计算到x=O.3(保留到小数点后4

位).

6.用改进Euler法和梯形法解初值问题丁'=一+无一乂?(0)=°取步长h=O.l,计算到x=0.5,并与准

确解丁=一1+——x+l相比较.

-%+i=居+大必+#i)A=/(%〃)

7.证明中点公式(7.3.9)22是二阶的，并求其局

部截断误差主:项.

8.用四阶R-K方法求解初值问题丁'=3^/(l+x),0<x<l,^(0)=1取步长h=0.2.

y=y+△h(55工-59工+37工2一9工3)

9.对于初值问题2*24、八八J*“心

10.(1)用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定？

11.(2)若用梯形法求解，对步长h有无限制？

12.(3)若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取？

h

、、〃+1=八+且(55以一59力+37以一2一9九.3)

13.用四步四阶的Adams显式方法24

求解初值问题A3x-2乂0M0.5,y(0)=1取h=o.i.

14.用形如八+1=a8+y*-D+MA)工+//“)的线性二步法解

y'=」(xjkyOo)=坊

15.试确定参数a，£o，£i,使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.

习题一

-4

LXILIxlOLx10-3Lxl0-l

1.(1)5,2,2；(2)2,2,6

IxlO-1LxILIxlO_3—xlO"*

(3)4,2,6；(4)5,2,12

IxlO51-J-xlOIxlO_1

(5)1,2,(6)2,2,2；

-4

IxlO—xlO-5

(7)6,2,12

2.口=4；«=3.月=4

1-3

3.(1)0.5055xlO-;(2)0.50265xlO.(3)4.91x10-1

4.第(3)个结果最好

1x10

5.不稳定。从计算到,1。时，误差约为2

6Xj^55.982r2»0.01786

(4)

求Inx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有

叫x*)=|Wx)/x*)|L布罚I/'(X)15(X*)

|x-r*|1

।*iMJ<1f(x)=lnx,f(x)=—,|r-x*|<<5(x*)=z.lx*1

已知x*的相对误弊满足lxI，而x1，故

区|XT*|

|Inx-inx*凤*品

x'1|x*D

*、IX-X*I1/J

3(lnr*)=J----------<----

即/x*1-5\-8

10.直接根据定义得

j5(x)<lxl0^枷

X1有5位有效数字，其误差限r2，相对误差限2

/15(x；)<lxl0-\<5(r^^lxlO-1

々