培优专题圆锥曲线压轴小题归类（原卷版）高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

培优专题圆锥曲线压轴小题归类目录TOC\o"1-1"\h\u重难点题型归纳 1【题型一】曲线与轨迹 1【题型二】三曲线定义法 2【题型三】双曲线渐近线 3【题型四】三大曲线焦半径 4【题型五】三大曲线焦点弦 5【题型六】焦点三角形 5【题型七】中点弦 6【题型八】焦点圆 6【题型九】双余弦定理 7【题型十】双角度 8【题型十一】四心与曲线 8【题型十二】切线 9【题型十三】小题大做：坐标运算 10好题演练 10重难点题型归纳【题型一】曲线与轨迹【典例分析】若，则的最小值和最大值分别是（）A．和 B．和1 C．和 D．和1【技法指引】（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.【变式演练】1.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为______.2.方程|x-1|+|y-1|=1表示的曲线所围成的图形的面积是____.【题型二】三曲线定义法【典例分析】已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.【技法指引】(1)椭圆定义：动点P满足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c为常数)(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c为常数且a>0，c>0).(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.【变式演练】1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．2.已知实数a，b，c成等差数列，记直线与曲线的相交弦中点为P，若点A，B分别是曲线与x轴上的动点，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【题型三】双曲线渐近线【典例分析】已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【技法指引】与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．【变式演练】1.已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．2.．如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【题型四】三大曲线焦半径【典例分析】已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________．【技法指引】圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言对于抛物线，则常见抛物线的（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.【变式演练】1.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为__________．2.已知点是椭圆上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若为的平分线上一点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【题型五】三大曲线焦点弦【典例分析】设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【变式演练】1.双曲线，，方向向量为的直线过点且与双曲线交于两点，,，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2.已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．【题型六】焦点三角形【典例分析】已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式演练】1.已知椭圆C的方程为离心率，，分别为左焦点和右顶点，点在椭圆上，若为锐角，则实数的取值范围是______．2.已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【题型七】中点弦【典例分析】已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（

）．A． B． C． D．【变式演练】1.已知平行四边形内接于椭圆，且的斜率之积为，则椭圆的离心率为________．2.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A.1 B. C.2 D.【题型八】焦点圆【典例分析】已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，，左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式演练】1.设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，为过点，，的圆与椭圆的一个交点，且，则的值为__________.2.已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．【题型九】双余弦定理【典例分析】如图所示，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于B．D两点且，E为线段上靠近的四等分点．若对于线段上的任意点P，都有成立，则椭圆的离心率为________．【变式演练】1.椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________.2.设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________.【题型十】双角度【典例分析】如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率________．【变式演练】1.已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为__．2..已知，为椭圆：的左、右顶点，点在上，在中，，，则椭圆的离心率为________．【题型十一】四心与曲线【典例分析】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为A． B． C． D．【变式演练】1.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．2.已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【题型十二】切线【典例分析】已知圆在椭圆的内部，点为上一动点.过作圆的一条切线，交于另一点，切点为，当为的中点时，直线的斜率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【变式演练】1.两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2.已知椭圆，焦距为，以点O为圆心，b为半径作圆O，若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【题型十三】小题大做：坐标运算【典例分析】已知点为椭圆：的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式演练】1.已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．2.过原点的一条直线与椭圆=1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A． B． C． D．好题演练一、单选题1．（2023春·湖北·高三宜昌市三峡高级中学校联考）椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、上、下顶点，为其右焦点，直线与直线交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点若，，，则双曲线的离心率为（

）A．4 B． C． D．3．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考）过抛物线的焦点作斜率分别为，的两条不同的直线，，且，与相交于点，与相交于点．分别以、为直径的圆、圆（为圆心）的公共弦记为，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023·河南郑州·三模）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2023·河南郑州·模拟预测）设，为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆的上顶点，点B在椭圆上且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2023·天津河西·统考一模）已知抛物线，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的右焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．7．（2023·四川达州·统考二模）点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题(9．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知拋物线，点均在抛物线上，点，则（

）A．直线的斜率可能为B．线段长度的最小值为C．若三点共线，则存在唯一的点，使得点为线段的中点D．若三点共线，则存在两个不同的点，使得点为线段的中点10．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线，，则下列结论正确的是（

）A．曲线C可能是圆，也可能是直线B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为11．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则（

）A．的周长为 B．C．平分线的斜率为 D．椭圆的离心率为12．（2023·湖北·校联考三模）已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（

）A．或B．圆与抛物线的准线相切C．在抛物线上存在关于直线对称的两点D．线段的垂直平分线与抛物线交于，则有三．填空题13．（广西2023届高三