中科大《线性代数与解析几何》讲义7实二次型

1第七章实二次型在解析几何中一般方程所表述的二次曲线(或二次曲面)可通过所在空间的坐标平移或旋转化为所谓的标准型,进而可对所有二次曲线(或曲面)进行分类特别,对于空间中一个有心二次曲面的一般方程首先经过坐标平移后化为如下形式a11x+a22x+a33x+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3=1通过坐标的旋转变换上述曲线方程变为下列标准形式λ1y+λ2y+λ3y=1系数λ1,λ2,λ3的符号就确定了二次曲面的类型如λ1,λ2,λ3都是正的,曲面是椭球面λ1>0,λ2>0,λ3<0,对应的是单叶双曲面等等从代数上看,上述旋转变换即是变元x1,x2,x3,或向量坐标之间的线性变换,而且是满秩的,即系数行列式等于该变换将曲线方程左边的二次齐次多项式变成不含交叉项的二次齐次多项式所谓k次齐次多项式是指满足下列条件的多元多项式F(x1,···,xn):F(tx1,···,txn)=tkF(x1,···,xn)所以Q(x1,x2,x3)=a11x+a22x+a33x+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3就是一个二次齐次多项式当然G(y1,y2,y3)=λ1y+λ2y+λ3y也是一个二次齐次多项式本章的目的就是要研究n维空间(或者说包含n个变元)的二次齐次多项式经过满秩的线性变换,化成没有交叉项的简单的形式(即所谓的标准形),以及二次齐次多项式在变换过程中系数的变化规律,并称具有n个变量的二次齐次多项式为二次型.本章只讨论系数为实数的二次型—实二次型.2?7.1二次型的矩阵表示在实数域上一个含n个变元x1,···,xn的二次型Q(x1,···,xn)的一般表达式如下Q(x1, ,xn)=a11x+2a12x1x2+2a13x1x3+···+2a1nx1xn+a22x+2a23x2x3+ +2a2nx2xn+ +annx这里系数aij是实数借助于矩阵,可以将二次型表示成为一种更加对称的形式nnQ(x1,···,xn)=aijxixji=1j=1这里aji=aij,i<j它们是xixj,ij的系数的一半所以这些系数组成的矩阵⎛a11a12···a1n⎞A=⎜a21a22···a2A=⎜············⎟(an1an2···ann⎠是一个对称矩阵,即A=A\引进记号⎛x1⎞X=(x1,x2,···,xn)(xn⎠这里\"表示矩阵的转置,或行(列)向量转置成为列(行)向量则二次型可以表示成矩阵乘积的形式Q(x1,···,xn)=X\AX需要指出的是二次型的这种表示是唯一的,即如果存在另一个对称矩阵B=(bij)使得Q(x1,···,xn)=X\AX=X\BX则取x1=1,x2=x3=···=xn=0,有a11=b11,同理得aii=bii;3取x1=x2=1,x3=···=xn=0,得a11+a22+2a12=b11+b22+2b12,推出a12=b12,如此等等可推出aij=bij.所以n元的实二次型与n阶对称矩阵是一一对应的.例如Q(x1,x2,x3)=x1x2Q(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3+x1x3=(x1,x2,x3)⎜0⎟⎜x2⎟(12120⎠(x3⎠.对应的实对称矩阵就是而一个只含平方项的二次型12012⎠Q(x1,···,xn)=λ1x+λ2x+···+λnx对应的实对称矩阵是对角矩阵⎛λ10···0⎞⎜0λ2···0⎟⎜...⎟J⎜0λ2···0⎟⎜...⎟(00...λn⎠对于n个变元x1,x2,···,xn,所谓满秩的线性变换就是x1=p11y1+p12y2+···p1nynx2=p21y1+p22y2+···p2nyn···························xn=pn1y1+pn2y2+···pnnyn其中系数矩阵⎛p11p12···p1n⎞P=⎜p21p22···p2nP=⎜············⎟(pn1pn2···pnn⎠是满秩的,或者说是可逆的n阶矩阵.上式也可以写成下列矩阵形式X=PY这里⎛x1⎞⎛y1⎞⎟(⎠(⎠X=(x1,x2,···,xn)\=.⎟(⎠(⎠xnyn4在这个变换下,二次型X\AX通过变换X=PY变成为X\AX=Y\P\APY=Y\BY这里B=P\AP不难验证矩阵B也是对称的:B\=(P\AP)\=P\A\P=P\AP=B,所以变换后的结果Y\BY是变元y1,···,yn的二次型而B=P\AP就给出变换前后二次型对应矩阵之间的关系显然上述变换是可逆的,即Y=P−1X.从几何上看,这是自然的,为坐标变换总是可逆的但是目前讨论的二次型之间的变换并不要求变换矩阵P一定是行列式等于1的正交矩阵定义1对于实数域上两个n阶矩阵A,B,如果存在一个可逆的实数矩阵P使得B=P\AP则称A和B是相合的,或者说B相合于A,记做BA.矩阵P称为相合变换矩阵.根据上述定义,经过非退化的线性变换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是相合的因此,讨论二次型的变换,就等价于讨论矩阵的相合性注意到矩阵之间的相合关系是一种等价关系,即1◦反身性:A=E\AE,这里E是n阶单位矩阵,即自身与自身相合;2◦对称性:如果B=P\AP,则A=(P−1)\BP−1,即如果B相合于A,则A相合于B;3◦传递性:如果C=Q\BQ,B=P\AP,则C=(PQ)\A(PQ),即如果C相合于B,B相合于A,则C相合于A.根据矩阵之间相合的这种等价关系,可以将所有n阶实对称矩阵进行分类,即同一类中的矩阵是两两相合的,不同类的矩阵之间不相合同时希望对于每一类的矩阵找出一个最简单的矩阵作为代表由于实对称矩阵与n个变元的二次型之间是一一对应的,因此,实对称矩阵的分类,对应了二次型的分类,即同一类的二次型之间存在非退化的线性变换,我们希望能够找出反映同一类的实二次型的代表5?7.2标准形类比于空间解析几何中曲面的分类如果一个二次型nnQ(x1,···,xn)=aijxixj=X\AXi=1j=1经过可逆的线性变换X=PY,化为下列平方和(即没有交叉项)的简单形式Q(x1,···,xn)=λ1x+λ2x+···+λnx=Y\JY这里J=diag(λ1,λ2,···,λn)是实对角矩阵则称这种平方和的形式为二次型的标准形.自然要问是是不是每一个二次型都可以化为标准形如果可以怎样才能化为标准型注意到实二次型和实对称矩阵是一一对应的标准形对应的对称矩阵就是一个对角矩阵因此通过线性变换X=PY将实二次型化为标准形的问题等价于将实对称矩阵A通过相合变换化为对角矩阵的问题P\AP=J对上述问题的回答是肯定的,即定理1实数域上任何一个二次型都可以经过非退化的线性变换化为标准形上述定理翻译成矩阵语言就是定理1’实数域上任何一个对称矩阵都可以通过非退化的相合变换,相合于一个实的对角矩阵定理1的证明就是熟知的配方法的推广,是一种构造性的证明为此先看下面的例子例1化三元的二次型Q(x1,x2,x3)=2x+x1x2+x为标准型解利用配方法有Qxxxx4x2、2−18x+x所以令⎧⎨(y1=x1+14x2y2=x2y3=x3⎧或⎨(x2=y2x3=y36便有这里对应的对称矩阵经过相和变换相合于或者0Q(x1,x2,x3)│X=PY=2y−18y+yP=⎜010⎟A00⎟A00⎟1200100⎟=⎜000例2化三元的二次型Q(x1,x2,x3)=2x1x2−6x2x3+2x1x3为标准型解作非退化变换⎧x1=y1+y2⎪⎪⎨x2=y1−y2⎪⎪⎩x3=y3代入得Q(x1,x2,x3)=2y−2y−4y1y3+8y2y3从而消去x1和x2的交叉项再利用配方消去其他的交叉项,即令⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y1=z1+z3y2=z2+2z3y3=z3则Q(x1,x2,x3)=2z−2z+6z综合两次变换,得⎛113⎞X=PZ,P=⎜1−1−1⎟⎝001⎠使得P\AP=diag(2,−2,6)7即⎛1⎜1⎝1−1−10⎞⎛00⎟⎜11⎠⎝110−31⎞⎛1−3⎟⎜10⎠⎝01−103⎞⎛2−1⎟=⎜01⎠⎝00−200⎞0⎟6⎠定理1的证明(配方法)对变量的个数作归纳法对于n=1,Q(x1)=a11x,结论是显然的假设定理对n−1元的二次型成立则对于n元的情形,分三种情形讨论:1◦a110(如果a11=0,但存在某个aii0,只需将x1和xi对换,使二次型成为上述形式即可).这时nnQ(x1,···,xn)=a11x+2a1jx1xj+aijxixjn=2i,j=2=a11╱x1+n2a1ja1x1xj\2−a1╱n2a1jxj\2+i,jaijxixj=a11╱x1+n2a1ja1x1xj\2+i,jbijxixj上式中i,j=2n=2nbijxixj=−a1╱na1i,j=2n=2naijxixji,j=2是一个含n−1个变元x2,x3,···,xn的实二次型令⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩或⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩对应的变换矩阵是⎛1⎜0P=P=⎝ny1=x1+a1ja1xjn=2y2=x2······yn=xnnx1=y1−a1ja1yjn=2x2=y2······xn=yna10a10···0⎟···⎟···⎠···8经过这个变换,二次型化为nQ(x1,···,xn)=a11y+bijyiyji,j=2n由归纳假设,对于n−1元的二次型bijyiyj,存在一个可逆的线性变换i,j=2⎜⎟=T⎜⎟⎝⎜⎟=T⎜⎟⎝⎠⎝⎠ynzn使得nnbijyiyj=λizi,j=2i=2这里T是n−1阶的对称矩阵于是,将两步线性变换进行复合,得⎛x1⎞⎛y1⎞⎛z1⎞x..2=Sy..2=S╱\z..2⎝xn⎠⎝yn⎠⎝zn⎠即对应的变换矩阵是P=S╱\2◦如果所有的aii=0,(i=1,2,···,n),但至少有一个a1j0(j>1),不妨设a120,令⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩x1=y1−y2x2=y1+y2x3=y3······xn=yn它是可逆的线性变换,对应的变换矩阵为⎛1−1⎜11⎜⎜P=⎜00⎜使得0···0···1···0···0⎞0⎟⎟⎟0⎟⎟⎠Q(x1,···,xn)=2a12x1x2+···=2a12(y−y)+···9ayay+···成为关于变元y1,y2,···,yn的二次型且平方项y的系数不为零因此属于1◦的情形故再使用1◦的做法,可以将二次型化为标准形3◦如果对所有的aii=0(i=1,2,···,n),a1j=0(j=1,2,···,n),则有对称性有a21=a31=···=an1=0.因此二次型为nQ(x1,···,xn)=aijxixji,j=2这是一个含有n−1个变元的二次型由归纳假设它经过线性变换化为标准形总之,对于任一种形式的实二次型Q(x1,···,xn)=X\AX都存在可逆的线性变换X=PY,将其化为标准形,或者说存在一个可逆矩阵P使得实对称矩阵A相合于对角矩阵P\AP=diag(λ1,λ2,···,λn)注意到定理1的证明过程中线性变换X=PY中的矩阵都是初等变换,定理1’中的结果可进一步细化为如下定理定理2对每一个实对称矩阵A,都存在初等矩阵P1,P2,···,Pr,使得A相合于实对角矩阵PP−1···PAP1P2···Pr=diag(λ1,λ2,···,λn)这里P=P1P2···Pr就是定理1中所要求的线性变换对应的矩阵证明该定理的证明实质上就是把定理1证明中的配方法,用矩阵语言重新描述一遍因此,对矩阵A的阶数n进行归纳.当n=1时结论是显然的如果对于n−1阶对称矩阵,定理已成立,则对n阶对称矩阵A=(aij)n×n(aij=aji),分如下情形1◦如果a110,为了把第1行的其他矩阵元化为零作"把第1列的−ai1a1陪加到第i列"的初等变换,即将初等变换矩阵⎜Pi=Pi=P(i,1(−ai1a1))=0⎜⎜⎜(01···0···0···010············⎞0⎟⎟⎟⎟⎠右乘于矩阵A.同样因为A是对称矩阵因此为了把第1列的其他矩阵元化为零作"把第1行的−ai1a1陪加到第i行"的初等变换,即用对应的初等矩阵左乘于A.注意到这个初等矩阵不是别的,正是Pi的转置矩阵P.逐个完成上述过程并取P1=In是单位矩阵,得PP−1···PAP1P2···Pn=P\AP=╱aA−1\这里⎛1−a12a···−a1na⎞⎜01···0⎟⎜...⎟(⎠P=⎜...⎟(⎠00···1而An−1是一个n−1阶的实对称矩阵根据归纳假设它可用初等变换化成对角矩阵当对矩阵A−1\中的An−1作初等变换时,并不影响第一行第一列的元素于是a110时,定理已经证明2◦当a11=0时如果有一个aii0,(i=2,3,···,n),则只要把A的第一行与第i行互换,再把第1列和第i列互换,就成上面的情形.这个过程就是对A作相合变换⎛aii···ai1···ain⎞⎜...⎟⎜⎟P\AP=a1i···a11···a1n...an1an1···ani···ann这里初等矩阵是⎛0⎜0⎜⎜P=P(1,i)=0⎜⎜1⎜⎜⎜0⎜⎜⎜(00···01···0...0···10···00···00···01000000···0···0···0···1···0···0⎞0⎟⎟⎟⎟⎟⎟0⎟⎟0⎟⎟⎠3◦当aii=0,(i=1,2,···,n)(即A的所有对角线上的元素都等于零)时则第一行的其他元素至少有一个不等于零,否则根据矩阵的对称性有A−1\因此就退化为n−1的情形不妨设a1j0,j1.首先通过初等矩阵P(2,j)作相合变换,把a1j搬到第一行第二列的位置再使用初等矩阵⎛1−10···0⎞⎜110···0⎟⎜⎟⎜⎟P=⎜001···0⎟⎜⎟...000000···1作相合变换,使得矩阵P\AP的第一行第一列的元素等于2a1j0,于是问题归结到第一种情形这样就完成了定理的证明?9.2相合不变量在上节讨论中我们将一个实二次型通过配方法,将其化为只含平方项的标准型换句话说就是将对应的实