离散型随机变量的数学期望

离散型随机变量的数学期望

2021/5/91复习引入2021/5/921.独立重复试验定义：

一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验1、每次试验是在同样条件下进行；2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生；3、各次试验中的事件是相互独立的；4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。注：独立重复试验的基本特征：1.基本概念2021/5/93基本概念2、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。2021/5/9451.概率分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2,…,xn且P(X=xi)=pi,（i=1,2,…,n）则称为随机变量X的分布列，简称为X的分布列.Xx1x2…xnPP1,p2…pn此表叫X概率分布列，表格表示2021/5/951、某人射击10次,所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P互动探索2021/5/96一、离散型随机变量取值的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称为随机变量X的均值或数学期望。············它反映了离散型随机变量取值的平均水平。2021/5/97试问哪个射手技术较好?例1

谁的技术比较好?乙射手甲射手2021/5/98解故甲射手的技术比较好.2021/5/993．(2011·福建福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，则a的值为(

)A.5 B．6C．7 D．8解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3∴a＝7.故选C.答案：Cξ4a9P0.50.1b2021/5/910类型一求离散型随机变量的期望解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤：①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．【典例1】

(2011·福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由．(2)求随机变量ξ的期望Eξ.2021/5/9112021/5/912[点评]

本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题(1)，对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可．2021/5/913（广东卷17）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为X．

（1）求X的分布列；

（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？高考链接：2021/5/914【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；，，,

故的分布列为：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得所以三等品率最多为3%2021/5/915设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？思考：············2021/5/916···············Y＝aX＋b2021/5/917一、离散型随机变量取值的均值············二、随机变量数学期望的性质（线性性质）2021/5/918即时训练：1、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)=.

2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=7.5,则a=

b=

.0.40.12021/5/919例1：已知随机变量X的分布列如下：2021/5/920例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则三、例题讲解两点分布的期望2021/5/921三、例题讲解变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？X0123P分析：X～B（3，0.7）为什么呢？Ex=2021/5/922例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？三、例题讲解变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分x的均值是多少？x01…k…np……x的概率分布如下：x~B(n,p)为什么呢？能证明它吗？E(X)=np2021/5/923证明：所以若ξ～B(n，p)，则E（ξ）＝np．证明：若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np2021/5/9242；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则E(X)=np结论：1；一般地，如果随机变量X服从两点分布（1，p)，则E(X)＝p2021/5/9253，一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是

.3即时训练：4，随机变量X~B（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P（x=3)=

.

2021/5/926例2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中摸出3个球.（1）求得到黄球个数ξ的分布列；（2）求ξ的期望。小结：一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则超几何分布的数学期望2021/5/927例3.

假如你是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为X万元，则X的分布列为0.40.6－410PXEX=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4万元＞2万元,故应选择在商场外搞促销活动。2021/5/928例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.思路分析：设甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为Y1=5X1、Y2=5X2，问题转化为求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服从什么分布？5E(X1)5E(X2)2021/5/929解：

设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则X1～B(20，0.9)，

X2～B(20，0.25)，EX1＝20×0.9＝18，EX2＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)＝5EX1＝5×18＝90，E(5X2)＝5EX2＝5×5＝25．2021/5/930布置作业谢谢！2021/5/931(2010·衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)若这箱产品被用户接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的条件下，记抽检的产品次品件数为X，求X的分布列和数学期望．作业：2021/5/932【解】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，∴n＝2.(2)X的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=2021/5/933∴X的概率分布列为：X123P2021/5/9341．(2010·河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：

(1)至少有三人面试合格的概率；

(2)恰有两人签约的概率；

(3)签约人数的数学期望．2021/5/935解：(1)设“至少有3人