高考数学一轮总复习 第六章 一元二次不等式及其解法

高考数学一轮总复习第六章一元二次不等式及其解法课件第1页，共46页，2023年，2月20日，星期四第六章不等式第3节一元二次不等式及其解法第2页，共46页，2023年，2月20日，星期四1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程度框图．第3页，共46页，2023年，2月20日，星期四[要点梳理]1．一元二次不等式及标准形式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫做一元二次不等式，其标准形式为ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a>0.2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程用程序框图表示为第4页，共46页，2023年，2月20日，星期四第5页，共46页，2023年，2月20日，星期四3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：

判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像第6页，共46页，2023年，2月20日，星期四第7页，共46页，2023年，2月20日，星期四质疑探究：以上解法是按照a>0进行的，若a<0情况应该如何处理？提示：若a<0，则可以先进行转化，使x2的系数为正，但是一定要注意在转化过程中不等号的变化．第8页，共46页，2023年，2月20日，星期四[解析]

原不等式化为(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1，故原不等式的解集为(－2,1)．[答案]

C第9页，共46页，2023年，2月20日，星期四第10页，共46页，2023年，2月20日，星期四[答案]

C第11页，共46页，2023年，2月20日，星期四第12页，共46页，2023年，2月20日，星期四如图由“穿针引线法”，可解得：0<x<1或x<－1.①[答案]

A

第13页，共46页，2023年，2月20日，星期四[解析]

由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，∴x≤－4或x≥3.[答案]

(－∞，－4]∪[3，＋∞)第14页，共46页，2023年，2月20日，星期四5．已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为________．第15页，共46页，2023年，2月20日，星期四第16页，共46页，2023年，2月20日，星期四第17页，共46页，2023年，2月20日，星期四第18页，共46页，2023年，2月20日，星期四第19页，共46页，2023年，2月20日，星期四拓展提高(1)分式不等式可转化为整式不等式求解．(2)在解含参数的不等式时，应注意分类讨论，其分类标准一般有三种：①按二次项系数分为a＝0和a≠0(有时需分a>0与a<0两类讨论)；②a≠0时，按判别式Δ分为Δ>0，Δ＝0，Δ<0；③当Δ>0时，按两根的大小进行分类．第20页，共46页，2023年，2月20日，星期四活学活用1

(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式ax2－bx＋c>0的解集为________．[解析]

令f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(－x)＝ax2－bx＋c，结合图像，可得ax2－bx＋c>0的解集为{x|－3<x<－2}．[答案]

{x|－3<x<－2}第21页，共46页，2023年，2月20日，星期四(2)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．第22页，共46页，2023年，2月20日，星期四第23页，共46页，2023年，2月20日，星期四第24页，共46页，2023年，2月20日，星期四考向二与一元二次不等式有关的恒成立问题例2

(1)若不等式mx2－2x－1<0恒成立，则m的取值范围是________.(2)若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________.

思路点拨(1)首先对不等式中二次项系数m讨论确定不等式类型然后求解；(2)题中条件等价于“关于x的不等式ax2－x＋2a≥0恒成立”．第25页，共46页，2023年，2月20日，星期四第26页，共46页，2023年，2月20日，星期四第27页，共46页，2023年，2月20日，星期四第28页，共46页，2023年，2月20日，星期四活学活用2

(1)若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________.(2)若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________.[解析]

(1)由题意知Δ＝a2＋4a<0，解得－4<a<0，因此实数a的取值范围为－4<a<0.第29页，共46页，2023年，2月20日，星期四(2)由题意知关于x的一元二次方程x2－ax－a＋3＝0有解，因此有Δ＝(－a)2－4(3－a)＝a2＋4a－12≥0，所以a≤－6或a≥2.因此实数a的取值范围为：a≤－6或a≥2.[答案]

(1)(－4,0)

(2)(－∞，－6]∪[2，＋∞)第30页，共46页，2023年，2月20日，星期四考向三一元二次不等式的实际应用例3

某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；第31页，共46页，2023年，2月20日，星期四(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？思路点拨(1)依据“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量”写出；(2)年利润有所增加，即y－(12－10)×10000>0，解此不等式即可得x的范围．[解]

(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0<x<1)．第32页，共46页，2023年，2月20日，星期四第33页，共46页，2023年，2月20日，星期四拓展提高不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．活学活用3某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．第34页，共46页，2023年，2月20日，星期四(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．第35页，共46页，2023年，2月20日，星期四第36页，共46页，2023年，2月20日，星期四思想方法13数形结合思想在不等式问题中的应用典例若x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.审题视角当a≤1时，(a－1)x－1<0，可化为x2－ax－1≤0对x>0恒成立，而当a>1时，f(x)＝(a－1)x－1与g(x)＝x2－ax－1均过点(0，－1)，故可用数形结合思想解题．第37页，共46页，2023年，2月20日，星期四[解析]

(1)当a≤1时，对x>0，恒有(a－1)x－1<0，∴原不等式化为对x>0，恒有x2－ax－1≤0，(*)由于二次函数y＝x2－ax－1的图像开口向上，∴(*)式不恒成立，即a≤1时，原不等式不会恒成立．(2)当a>1时，令f(x)＝(a－1)x－1，g(x)＝x2－ax－1，两函数图像都过定点P(0，－1)．第38页，共46页，2023年，2月20日，星期四第39页，共46页，2023年，2月20日，星期四第40页，共46页，2023年，2月20日，星期四第41页，共46页，2023年，2月20日，星期四方法点睛(1)对于常规方法不易解决的不等式问题，可构造函数，利用数形结合的方法解决；(2)解决本题的关键点是：①找到参数a分类讨论的标准；②将不等式恒成立问题转化为两函数图像间的关系问题，借助函数图像特征，找到两函数零点的关系．第42页，共46页，2023年，2月20日，星期四第43页，共46页，2023年，2月20日，星期四[答案]

D

第44页，共46页，2023年，2月20日，星期四[思维升华]【方法与技巧】1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形．2．f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图像在x轴上方的点的横坐标的