人教课标实验版八年级上册第十一章全等三角形1全等三角形全国优质课一等奖

全等三角形典例分析【例1】如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:AE=CN.[思路分析]欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现△AME≌△FCN可证.题设告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由两平行条件,可找两对角相等.∵AD∥BC(已知)∴∠1=∠E(两直线平行,内错角相等)∠3=∠D(两直线平行,同位角相等)∵∠1=∠2(对顶角相等)∴∠2=∠E(等量代换)∵AB∥CD(已知)∴∠4=∠D(两直线平行,同位角相等)∴∠3=∠4(等量代换).至此,两三角形全等条件完全具备.在△AME与△CNF中∠3=∠4(已证)∠2=∠E(已证)CF=AM(已知)∴△AME≌△CNF(全等三角形的对应边相等)【例2】△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D，求证：AE=BD+DE.[思路分析]从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现△ACE与△CBD好像(猜测)全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.[证明]∵∠ACB=90°(已知)∴∠2+∠3=∠ACB=90°∵AE⊥CE，BD⊥CE（已知）∴∠1+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠1=∠3（等角的余角相等）∴∠AEC=∠CDB=90°（垂直定义）在△ACE与△CBD中AC=BC（已知）∠1=∠3（已证）∠AEC=∠CDB（已证）∴△ACE≌△CBD（AAS）∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）∵AE=CE=CE+DE∴AE=BD+DE（等量代换）【例3】如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：EF<BE+CF.[思路分析]由结论EF<BE+CF很容易与定理“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形，BE，CF，EF条件分散，不在一个三角形中，必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在DA上截取DB’=BD),连结EB’,B’F,此时△BDE与△B’DE完全重合,所以△BDE≌△B’DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B’E(全等三角形的对应边相等).∵AD为△ABC的中线(已知)∴BD=CD(中线性质)∵BD=B’D(已证)∴CD=B’D(等量代换)∴在△CDF与△B’DF中CD=B’D(已证)∠CDF=∠B’DF(已知)DF=DF(公用边)∴△CDF≌△B’DF(SAS)∴B’F=CF(全等三角形的对应边相等)在△EFB’中,EF<B’E+B’F(三角形的两边之和大于第三边).∴EF<BE+CF(等量代换).对本例,也可采取平移法把CF平移与BE在一个三角形中(如图),作BF’∥AC交FD的延长线于F’,连结BF’.由AD为△ABC中线知:BD=DC.∵BF’∥AC(由作图知)∴∠C=∠F’BD(二直线平行,内错角相等)在△F’BD与△FCD中∠C=∠F’BD(已证)BD=DC(已证)∠F’DB=∠FDC(对顶角相等)∴△F’BD≌△FCD(ASA)∴F’B=FC(全等三角形对应边相等)此时,连结EF’,便构造出△BEF’,则BE+BF’>EF’(三角形的两边之和大于第三边).即EF’<BE+FC(等量代换)对照结论,只要再证EF’=EF便达目的.由△F’BD≌△FCD(已证)∴DF’=DF（全等三角形对应边相等）∵∠EDA=∠ADB,∠FDA=∠ADC(已知)∴∠EDA+∠FDA=(∠ADB+∠ADC)∵∠ABD+∠ADC=180°(平角定义)∴∠EDA+∠FDA=90°∵∠EDF=∠EDA+∠FDA∴∠EDF=90°∵∠EDF’+∠EDF=180°(平角定义)∴∠EDF’=90°在△EDF和△EDF’中ED=ED(公用边)∠EDF=∠EDF’(已证)DF=DF’(已证)∴△EDF≌△EDF’(SAS)∴EF=EF’(全等三角形对应边相等)∴EF<BE+CF(等量代换)由例1,例2我们可以发现,要证结论成立,必须知道需要什么条件,即要找什么?此时便可由题设,再结合准确的图形便可找到需要条件,使思路打通.再一步步写出找到的条件和依据(即依据的定义,定理,已知,已证等),就可写出完整的证明过程,请同学们在具体的实践过程中慢慢就熟悉证明的方法了.当条件分散或者直接找不到题设与结论的关系时,此时便可添设辅助线.但添设辅助线不能盲目,要有“的”放“矢”.一要有利于架设结论与题设的关系;二要有利于充分利用已知条件;三要把分散条件集中一块,有利于沟通关系.把握这几个原则.添设辅助线便可心中有数.架起“桥梁”铺平道路.思路自然顺畅.从例3就向同学们指示了这一规律.望同学们要养成这种添设辅助线的好习惯!在证明几何问题的道路上会越走越宽,越走越好.【例4】已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,求证:BF=CF.[思路分析]本例要证BF=CF,要看BF与CF在哪两个三角形中,即将问题转化为证明全等三角形问题,结合图形可发现BF与CF在△ABF与△ACF或△BDF与△CDF中,只要证△ABF≌△ACF或△BDF≌△CDF,由两条思路吸引同学们去探索.结合题设,发现这两组三角形都不具备全等条件,使问题搁浅.但结合题设与图形可发现△ABD与△ACD却具备全等条件AB=AC(已知),BD=DC(已知),AD=AD(公用边),给证题提供了有利因素.由它们全等可得∠BAF=∠CAF,这时证△ABF≌△ACF(SAS)便没有阻力.同时由∠ADB=∠ADC可证∠BDF=∠CDF(等角的补角相等),那么△BDF≌△CDF(SAS)也很顺利了,两种思路,残途同归.[扩散一]已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,且B,F,C在一条直线上,求证:F是BC的中点.[思路分析]:欲证F是BC的中点,即证BF=CF,与原例所证结论相同,仿原例思路能行通吗?当然是可以的.请同学们写出证明过程.待学完等腰三角形,还有更简捷的证法,那时你们再探索吧![扩散二]已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,求证:BF=CF.[思路分析]F点由AD的延长线上移动至AD上,要证的结论不变,那么证题的思路沿“老路”走还能走通吗？两种“老路”亦然可行.请同学们写出证明过程.[扩散三]已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,求证:BF=CF.[思路分析]F点由AD的延长线上移动至AD的反向延长线上,要证的结论亦然不变.那么证题思路仍重蹈旧辙,是否是轻车熟路呢?仍然是一路春风.请同学们完成证明过程.[扩散四]已知:AB=AC,DB=DC,F是直线AD上一动点(即点F在直线AD上运动),点F在AD上不停的运动.你发现什么规律?请说出,并进行证明.(1)(2)(3)(4)(5)(6)[思路分析]因为动点F在直线AD上运动.可出现图(1)～(6)六种情况(其中图(3)可看作图(4)的特例).当点F与点D或点A重合时,FB=FC.显然成立,当点F运动至图(3)～图(6)的位置时,FB=FC,证明可仿原例证明,请同学们写出证明过程.由此可知,点F在AD上不停动,始终保持FB=FC这一规律,证明略.[扩散五]已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,求证:点F到AB,AC的距离相等.[思路分析]欲证点F到AB,AC的距离相等,即证FM=FN.由此萌生在角的平分线上一点到这个角的两边距离相等的念头,那么便转化为证明∠BAF=∠CAF即可.证明两角相等,通常转化证明两三角形全等.而△ABD≌△ACD条件具备(AB=AC,BD=DC,AD=AD),则证∠BAF=∠CAF垂手可得了.证明如下:证明:在△ABD与△ACD中AB=AC(已知)BD=DC(已知)AD=AD(公用边)∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAF=∠CAF(全等三角形的对应角相等)∵FM⊥AB,FN⊥AC（已知）∴FM=FN(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).[扩散六]已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,求证:点F到AB,AC的距离相等.[思路分析]F点在AD的延长线上移至AD上,结论仍然成立.可仿扩散五便可一路顺风达到目的.证法留给同学们完成.[扩散七]已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,求证:点F到AB,AC的距离相等.[思路分析]当点F在DA的延长线上(如图),结论亦然成立.思路亦然如旧,请同学们自行完成.[扩散八]已知:如图,AB=AC,DB=DC,点F在直线AD上运动,那么点F到AB,AC的距离有何关系?请提出你的猜想,并进行证明.[思路分析]本例可仿照扩散四进行探索.请同学们照此完成吧.由原例扩散,把本单元用一线穿珠的办法连为一体,使所学知识系统化,条理化.使所学知识掌握的更牢固,应用的更灵活.在学习时,一定要掌握这种学习方法,它是提高数学素养非常行之有效的好方法.本例在扩散中,由静到动,栩栩如生.提出猜想,对培养同学们的探索能力恰到好处.不管图形多变化,其规律不变,万变不离其宗.只要抓住万变中的不变,即可一不变应万变,学一例,会一片,诸类旁通,左右逢源.通过以上的学习,对证线段相等,两角相等.两直线平等或垂直等,通常可转化为证明三角形全等,思路便可找到,望同学们在今后学习中不断演练,将会更上一层楼.【例5】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,DF⊥AB,DE⊥AC,求证:DE=DF.2.求证:三角形一边上的中线小于其它两边和的一半.3.如图,在△ABC中,AD为∠A的平分线,E为BC的中点,过E作EF∥AD交AB于G,交CA的延长线于F,求证:BG=CF.[思路分析]1.(如原题图).∵AD⊥BC(已知)∴△ABD和△ACD为Rt△.∵AB=AC(已知)AD=AD(公用边)∴Rt△ABD≌Rt△ACD∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)∵DF⊥AB,DE⊥AC(已知)∴∠AFD=∠AED在△ADF和△ADE中∠1=∠2(已证)∠AFD=∠AED(已证)AD=AD(公共边)∴△ADF≌△ADE(AAS)∴DE=DF(全等三角形对应边相等)【例6】延长AD至E,使DE=AD,连结BE.则AD=AE.在△ACD和△EBD中AD=DE(由作图知)∠1=∠2(对顶角相等)BD=DC(已知)∴△ACD≌△EBD(SAS)∴BE=AC(全等三角形对应边相等)在△ABE中,AE<AB+BE(三角形的两边之和大于第三边)∴AE<AB+AC(等量代换)∴AE<(AB+AC)∴AD<(AB+AC)【例7】(参照原题图)过B,C分别作BP⊥EF,CQ⊥FE.垂足分别为P,Q,则BP∥CQ.(垂直于同一条直线的两条直线平行)∴∠PBE=∠QCE(两直线平行内错角相等)在△BPE和△CQE中∠PBE=∠QCE(已证)∠BPE=∠CQE=90°(已知)BE=CE(已知)∴△BPE≌△CQE(AAS)∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)∵EF∥DA(已知)∴∠BGE=∠BAD(二直线平行同位角相等)∵AD平分∠BAC(已知)∴∠BAD=∠CAD(角平分线定义)∵EF∥DA(已知)∴∠CAD=∠F(二直线平行,同位角相等)∴∠BGE=∠F(等量代换)在△BPG和△CQF中∠BGP=∠F(已证)∠BPG=∠CQF=90°(已知)BP=CQ(已证)∴△BPG≌△CQF(AAS)∴BG=CF(全等三角形的对应角相等)【例8】1.如图,已知,在△ABC中,∠1=∠2,AB+BP=AC.求证:∠B=2∠C.2.如图,已知,在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠C的平分线.求证:BC=AC+AD.3.如图,已知:在△ABC中,AB>AC,AD是∠A的平分线,求证:BD>DC.[思路分析]1.证明:在AC上截取AB’=AB,连结PB’在△ABP和△AB’P中AB=AB’(由作图知)∠1=∠2(已知)AP=AP(公用边)∴△ABP≌△AB’P(SAS)∴∠B=∠AB’P(全等三角形对应角相等,对应边相等)∵AC=AB+BP(已知)AC=AB’+CB’(如图)AB=AB’(由作图知)∴PB’=B’C=PB∴∠C=∠B’PC∵∠AB’P=∠C+∠B’PC=2∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)∴∠B=2∠C又证:延长AB至C’,且使AC’=AC.连结PC’.在△ACP和△AC’P中AC=AC’(由作图知)∠1=∠2(已知)AP=AP(公用边)∴△ACP≌△AC’P(SAS)∴∠C=∠C’(全等三角形的对应角相等)∵AC=AB+BP(已知)AC’=AB+BC’(如图)∵AC=AC’(由作图知)∴BP=∠BC’∴∠C’=∠BPC’∵∠ABP=∠C’+∠BPC’=2∠C’(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)∴∠ABP=2∠C.即∠B=2∠C2、3两个小题证法与此同时相仿，每小题同样可找到两种类似证法，留给同学们研究.【例9】已知：如图，A，C是∠O的一边上的两点，B，D是∠O的另一边上的两点，并且OA=OB，OC=OD，设线段AD，BC相交于点T．求证：射线OT平分∠O．[分析]如图，要证明OT平分∠O，显然只要证明了△AOT≌△BOT或△COT≌△DOT，问题就解决了．由于OT是上述两组三角形的公共边；又OA=OB，OC=OD，所以要证明上述两组三角形中的一组全等，必须证明TA=TB，或TC=TD．而要证明这两组线段中的一组相等，就需证明△ACT≌△BDT．在这两个三角形中，AC=BD．所以要证明它们全等，还需证明它们有两组对应角相等．为达到此目的，需证明△OAD≌△OBC．但由已知条件立即可知这两个三角形全等．于是问题得到解决，即先证明△OAD≌△OBC，再证明△ACT≌△BDT，最后证明△AOT≌△BOT或△COT≌△DOT，就得∠AOT=∠BOT．证明请读者自己完成．点评请读者根据本例拟出用直尺、圆规二等分已知角的一种方法．【例10】已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠A的平分线．求证：AB＋BD=AC．[分析一]如图（a），要证明AB＋BD=AC，可延长AB到C′，使BC′=BD，然后证明AC′=AC．为证明AC′=AC，连结C′D，只需证明△AC′D≌△ACD．要证明这两个三角形全等，只需证明∠C′=∠C．这只要应用已知条件∠B=2∠C就解决了．[证法一]如图（a），延长AB到C′，使BC′=BD，连结C′D．在△AC′D和△ACD中，AD=AD，∠C′AD=∠CAD．又由于BC′=BD，所以∠C′=∠BDC′，所以∠B=∠C′＋∠BDC′=2∠C′，而∠B=2∠C，所以∠C′=∠C．从而△AC′D≌△ACD．所以AB＋BD=AB＋BC′=AC′=AC．[分析二]以上的分析和证明用的是“延长”的方法．证明本例也可以用“截取”的方法．如图（b），先在AC上取点B′，使AB=AB′．然后证明BD=B′C．而要证明BD=B′C，只要借助B′D就可以了．[证法二]如图（b），在AC上取点B′，使AB=AB′，连结B′D．显然△ABD≌△AB′D，所以∠ABD=∠AB'D．而∠ABD=2∠C，所以∠AB′D=2∠C．而∠AB′D=∠C＋∠B′DC，所以∠C=∠B′DC，所以BD=B′D=B′C．从而AB＋BD=AB′＋B′C=AC．[点评]要证明线段AB＋CD=EF，可用“延长”的方法：延长AB到G，使BG=CD，然后证明AG=EF．也可用“截取”的方法：在EF上取点H，使EH=AB，然后证明HF=CD．在具体问题中要考虑哪种方法可行．用“延长”的方法时，要考虑延长哪条线段，向什么方向延长．用“截取”的方法时，要考虑如何截取．【例11】已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是∠A的平分线，P是AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB－PC．[分析]本例涉及四条线段差的不等关系，与本例有关的定理是“三角形任意两边的差小于第三边”．因此要用这定理解决本例，须把本例