2021年北京第十五中学高一数学文期末试卷含解析

2021年北京第十五中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象必经过定点（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：因当时,,此时函数的取值与无关,故应选D.考点：指数函数的图象和性质及运用.2.已知，，，，则（▲）A．

B.

C.

D.参考答案：D由题意得，，，因为，又，所以，即，故选D.

3.若，则的大小关系为A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用作差比较法判断得解.【详解】①，∵，∴，故.②∵，∴，所以a＞ab.综上，故选：A.【点睛】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4.设，则有(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据题意，利用辅助角公式得，对于，根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对进行处理，即可得到；对于，利用二倍角公式对变形处理可以得到，再根据正弦函数的单调性即可比较大小.【详解】由题意得因为正弦函数在上为增函数，所以,选A.【点睛】本题是一道关于三角函数值大小比较的题目，解答本题的关键是掌握三角函数公式；二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数的基本关系等。属于中等题。5.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=，高h=3，故该几何体的体积V==9，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．6.棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是()A．1∶7

B．2∶7C．7∶19

D．5∶16参考答案：C7.（5分）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是（） A． 垂直且相交 B． 相交但不一定垂直 C． 垂直但不相交 D． 不垂直也不相交参考答案：C考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．专题： 空间位置关系与距离．分析： 取BD中点E，连结AE、CE，由已知条件推导出BD⊥平面AEC．从而得到BD⊥AC．解答： 取BD中点E，连结AE、CE．∵AB=AD=BC=CD，∴AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥平面AEC．又AC?面AEC，∴BD⊥AC．故选：C．点评： 本题考查两直线的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．8.设全集U=R，集合，，则（

）A．(2,+∞)

B．(3,+∞)

C．[0,3]

D．(－∞,－3]∪{3}参考答案：C，，，.

9.（5分）若a是函数f（x）=x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（） A． f（x0）=0 B． f（x0）＜0 C． f（x0）＞0 D． f（x0）的符号不确定参考答案：B考点： 函数的零点．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数零点的定义分别判断做出函数的图象，利用图象判断f（x0）的符合．解答： 由f（x）=x=0得，分别设，在同一坐标系中分别作出两个函数的图象，因为a是函数f（x）=x的零点，所以当0＜x＜a时，，所以此时f（x）=x＜0．故选B．点评： 本题主要考查函数与方程的关系以及函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.下列图形中不一定是平面图形的是（

）A.三角形 B.平行四边形C.梯形 D.四边相等的四边形参考答案：D【分析】利用平面基本性质及推论求解．【详解】利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形．故选D．【点睛】本题考查图形是否是平面图形有判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知关于的不等式的解集为,且中共含有个整数,则当最小时实数的值为______________.参考答案：略12.化简sin15°cos75°+cos15°sin105°=．参考答案：1略13.正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AA1和BD1所成角的余弦值是________.参考答案：【分析】由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】因为，所以异面直线和所成角，设正方体的棱长为，则直角三角形中，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.14.若正四棱谁的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为____.参考答案：45°【分析】先作出线面角，再利用三角函数求解即可．【详解】如图，设正四棱锥的棱长为1，作在底面的射影，则为与底面所成角，为正方形的中心，，，，故答案为：45°．【点睛】本题考查线面角，考查学生的计算能力，作出线面角是关键．属于基础题.15.已知x与y之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么t的值为（

）x2468y345tA.5 B.6 C.7 D.8参考答案：B【分析】由线性回归方程过样本中心，通过表中数据计算求解即可.【详解】根据表中数据计算得：，将代入，可得，解得.故选B.【点睛】本题主要考查了线性回归方程过样本中心的性质，属于基础题.16.十进制1039（10）转化为8进制为（8）．参考答案：2017【考点】EM：进位制．【分析】利用除8求余法，逐次得到相应的余数，倒序排列可得答案．【解答】解：∵1039÷8=129…7；129÷8=16…1；16÷8=2…0；2÷8=0…2；∴1039（10）=2017（7）．故答案为：2017．17.当<α<2π时，arccos(sinα)的值等于 。参考答案：–α三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知函数是二次函数，且，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求证在区间上是减函数.参考答案：

解：（Ⅰ）设又结合已知得

（Ⅱ）证明：设任意的且则又由假设知而在区间上是减函数.

19.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时,的图象关于直线对称;②;③f(x)在R上的最小值为0；（1）求函数f(x)的解析式；（2）求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f(x+t)≤x参考答案：解析：（1）∵f(x)的对称轴为x=–1，∴=–1即b=2a．又f(1)=1，即a+b+c=1．由条件③知：a＞0，且=0，即b2=4ac．由上可求得∴．（2）由（1）知：f(x)=(x+1)2，图象开口向上．而y=f(x+t)的图象是由y=f(x)平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f(x+t)≤x，即y=f(x+t)的图象在y=x的图象的下方，且m最大．∴1，m应该是y=f(x+t)与y=x的交点横坐标，即1，m是(x+t+1)2=x的两根，由1是(x+t+1)2=x的一个根，得(t+2)2=4，解得t=0，或t=-4，把t=0代入原方程得x1=x2=1(这与m＞1矛盾)把t=–4代入原方程得x2–10x+9=0，解得x1=1，x2=9．∴m=9．综上知：m的最大值为9．20.（本小题满分12分）求函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值．参考答案：f(x)＝2＋3－．(1)当＜－1，即a＜－2时，f(x)的最小值为f(－1)＝5＋2a；……（4分）(2)当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(x)的最小值为＝3－；…（8分）21.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB=5.点D是AB的中点，(I）求证：AC⊥BC1；(II）求证：AC1//平面CDB1；(III）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

参考答案：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，又因为面ABC

又

面

面

AC⊥BC1；(II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；(III）∵DE//AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.22.(10分)（I）求值：(II)某同学在学习