高三数学-专题复习-向量专题向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)

高三数学-角形四心向量关系-心、外心、重心、垂心（附向量知识点）一、三角形四心知识点（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3内心——角平分线的交（内切圆的圆心角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、向量知识点☆零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的0与任意向量平行☆单位向量：模为1个单位长度的向量

向量a为单位向量｜｜00☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量☆向量BC=向量加法有“角形则”平行形法”：CDAR但这时必须“首尾相连”．☆实数与向量的积：①实数λ与向量的积是一个向量，记作a它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）

；（Ⅱ）

0时，a的方向与的方向相同；0时，λa的方向a的方向相反；当

时，

，方向是任意的☆两个向量共线定理：向量与非零向量共有只有一个实数使b=☆平面向量的基本定理

如果

ee1

是一个平面内的两个不共线向量那么对这一平面内的任一向量a有且只有一1

rrrrrrrrrrabrrrrrrrrrrrrrabrrrrrrr2rr对实数

1

使a212

，其中不共线的向量

e,e1

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底☆平面向量的坐标运算：(1)若

,,1

，则

ra,12

2

，

ra2

(2)若

A,,xy，则ABxyy22

rr(3)=(x,y)，则a(4)若

,,1

，则

ra//2(5)若

,,1

r，则，y01☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质☆两个向量的数量积：r已知两个非零向量a与，它们的夹角则·=︱︱·︱︱cr叫做a与的数量积（或内积）规定r☆向量的投影：︱b︱c=r∈R，称为向量b在a向上的投影投影的绝对值称为射影|r☆数量积的几何意义：a·等于的长度b在方向上的投影的乘积☆向量的模与平方的关系：

ra|☆乘法公式成立：

rr2ab

；

rrraa

2rr☆向量的夹角：已知两个非零向量与，作,b,则∠AOB=（0）r叫做向量a与的夹角2

rr,=rrr,=rr，rra•xxybr•x22yr当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0，当且仅与反方向时θ0，同与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点设是直1122212

l

上两点，P点在l上且不同于、，若存在一实数12

，使P，则1

叫做P有向线段P1

所成的比（，在线段12

内，，在P12

外），且xx12yy12

，P为中点时1

xy

xy

x12y12如：，Ax，y，x，y，x，y

则ABC重心的坐是

xxyyy333

3

ACAC三、三角形四心与向量关系型例题：例1：O是面一点，、B、C是平上不线的个点动P满

()，轨迹一定通过ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示ABC，、分别为边、AC的中点.ACAD

AP2

//点轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例2：O是面一点，、B、C是平上不线的个点动满OP

(

AC

)，迹一定通过ABC的（B）

ACA．外心B．内心C．重心D．垂心分析：

AB、分别为方向上的单位向量，AB

ABAB

平BAC,AC点轨迹一定通过ABC的内心，即选.例3：O是面一点，、B、C是平上不线的个点动P满OPOA

(

AC

)，0,，则点的轨迹一定通ABC（）

ACcosCA．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足(

cos

ACACcosC

)

D4

=

ABABcos

ACAC=

ABB

ACC

=+=0AB

ACcosC点轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.三、四心与向量的结合（1）OA0是ABC的重心.A

证法1：x,),A(y),,y,y)1123O

E

OB

)x)x)y))y)03BDC

3y

是的重心.证法2：如图OAOCOAOD02A、、点共线，为2：1是的重心（2）OBO为的垂.证明：如图所示O是三角形ABC垂心，BE垂直，AD垂直，D、E是垂足OAOBOB(OAOC)

A同理，OCO为的垂心

E（3）设a,b,c是三角形三条边，是ABC的心

OB

DC5

证明：ABAB（证明：ABAB（