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文档简介
所表示的曲面称为二次曲面.讨论二次曲面的性质使用截痕法:用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截,考察所得交线(截痕)的形状,通过截痕形状研究曲面的性状.§7.6二次曲面编辑ppt一、椭球面1.范围:
|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c.图形在x=±a,y=±b,z=±c所围成的长方体内.2.对称性:
图形关于三个坐标面、三个坐标轴及原点对称.编辑ppt3.截痕
椭球面与三个坐标面的交线:编辑ppt椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面
和的交线也是椭圆.编辑ppt椭球面的几种特殊情况:旋转椭球面由椭圆
绕轴旋转而成.方程可写为球面方程可写为编辑ppt二、抛物面(与
同号)(1)范围:若p>0且q>0,
则图形在xOy平面上方,否则在xO
y平面下方.(2)对称性:图形关于z轴、yOz平面、xOz平面对称.1、椭圆抛物面编辑ppt(3)截痕10
用坐标面与曲面相截截得一点,即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.编辑ppt当变动时,这种椭圆的中心都在轴上.与平面的交线为椭圆.与平面不相交.
20用坐标面与曲面相截截得抛物线编辑ppt与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点30
用坐标面,与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.编辑pptzxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下:编辑ppt特殊地:当时,方程变为旋转抛物面(由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的)与平面的交线为圆.当变动时,这种圆的中心都在轴上.编辑ppt2.双曲抛物面(马鞍面)(1)范围:x,y,zR,曲面可向各方向无限延伸.(2)对称性:图形关于z轴、yOz平面、xOz平面对称.编辑ppt(3)截痕
(设p<0,q<0)
用平面z=z0
(z0
0)截曲面所得截痕为双曲线用平面x=x0
与y=y0截曲面所得截痕为这是两条抛物线.编辑ppt双曲抛物面图形如下:xyzo编辑ppt三、双曲面1.单叶双曲面(2)对称性:图形关于三个坐标轴、三个坐标面以及原点都对称.(1)范围:
故曲面在椭圆柱面的外部;编辑ppt(3)截痕用平面z=z0截曲面所得截痕为椭圆:用平面x=x0,y=y
0截曲面所得截痕为:这是两条双曲线.编辑ppt单叶双曲面xyoz的图形如下:思考题:的形状如何?编辑ppt2.双叶双曲面思考题:的图形怎样?xyoz编辑ppt例1
将二次曲面z=f(x,y)=xy用正交变换化为标准形,并由此判断是何曲面?解编辑ppt
z=xy
为双曲抛物面.存在正交变换X=CY,其中使编辑ppt例2
设f(x1,x2,x3)=XTAX
为实二次型,则
f(x1,x2,x3)=1为椭球面A为正定矩阵.证
将f(X)=XTAX
用正交变换X=CY
化为标准形
1y12+
2
y22+3
y32则
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