福建省莆田重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题及参考答案

莆田重点中学2022-2023学年下学期期中考试数学（学科）试题满分：150分时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A．B．C．D．2．下列选项中，表示的不是同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与3．点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知sinα+cosα＝，则sin2α＝（）A． B． C． D．5．在中，，且，则的值为（

）．A．2 B． C．1 D．6．已知，，则cos()=（

）A． B． C． D．7．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，，，则（

）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．要得到的图象,可以将函数y＝sinx的图象上所有的点()A.向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍B.向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍C.横坐标缩短到原来的倍,再把所得各点向右平行移动个单位长度D.横坐标缩短到原来的倍,再把所得各点向右平行移动个单位长度10．设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下：0123若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（

）A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.4411．下列说法正确的是（

）A．若与平行，与平行，则与平行 B．C．若且则D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．12．已知一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知为钝角，且，则______．14．设，则

．15．设若，则________．16．定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是________．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）．化简求值：(1)；(2).18（12分）．已知不共线的向量满足的夹角为.(1)若，求的值；(2)若，求的值.19（12分）．已知函数是指数函数，求的解析式；判断的奇偶性，并加以证明；求不等式的解集：．20（12分）．已知，，向量，的夹角为60°，，，则当m为何值时，与垂直?21（12分）．已知函数．(1)求函数的零点；(2)讨论函数在上的零点个数．22（12分）．已知函数，．(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)求方程在内的所有实数根之和．参考答案1．B【分析】先将集合分别求解，再计算.【详解】，，故选：B.2．D【分析】分别判断函数的定义域和对应关系，判断两个函数是否是同一函数.【详解】对于A选项，的定义域是，解得：，所以的定义域是，的定义域是，解得：，所以的定义域是，并且，所以两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是同一函数；对于B选项，，，两个函数的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以是同一函数；对于C选项，两个函数的定义域相同，当与时，，故两个函数对应法则也相同，所以是同一函数；对于D选项，的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：D3．C【分析】根据终边相同的角确定角度与弧度所在的象限，从而得，，即可知点在平面直角坐标系中的象限位置.【详解】解：因为，，故2023°为第三象限角，故，因为8与终边相同，又，故8是第二象限角，故，则点在第三象限.故选：C.4．【答案】A【分析】利用同角的平方和关系和二倍角公式即可.【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：A．5．【答案】C【分析】由已知分析出点在的延长线上，且为的中点，然后利用三角形法则用向量，表示出向量，进而可以求解．【详解】解：因为，则，即点在的延长线上，且为的中点，则，所以，，则，故选：．6．A【分析】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.【详解】，，，故选：A7．A【分析】不等式恒成立，即为不等式恒成立，根据基本不等式求出的最小值，从而可得出答案.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立.又，所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，则不等式恒成立，即为，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A.8．A【分析】函数满足，则有，，再利用函数在上单调递增比较大小.【详解】函数满足，所以有：，，函数满足在上单调递增，由，所以，即，故选：A9．【答案】AD【解析】将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin(x),再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin(2x).也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x,再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin2(x)＝sin(2x).10．BC【分析】f(x)在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间﹒【详解】与都是上的单调递增函数，是上的单调递增函数，在上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，在上有唯一零点，零点所在的区间为，即方程有且仅有一个解，且在区间内，，内的任意一个数都可以作为方程的近似解，，符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒故选：BC﹒11．【答案】BD【分析】当为零向量时,利用零向量和任意向量都平行的规定可以判定A错误；根据向量的数量积的定义，结合三角函数的值域可以判定B正确；由移项，提取公因式，可等价转化为与垂直，进而判定C错误；利用投影向量的定义和数量积的定义运算可以判定D正确.【详解】当为零向量时，对于任意的与，与平行，与平行总是成立，故A错误；，故B正确；等价于，当与垂直时成立，不一定，即推不出，故C错误；在上的投影向量为，，所以和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．故正确.故选：.12．BC【解析】设，利用已知条件得到，求解即可得出结果.【详解】设，由，可得，解得：，又因为，得或，故选：BC.13．【答案】【分析】由已知可求出，由两角差的正弦公式代入即可得出的值.【详解】因为，所以，因为为钝角，解得：，所以.故答案为：14．【答案】

解：由得，，所以，，

所以．

故应填．15．【分析】分和两种情况讨论，结合函数的解析式解方程，可求得实数的值，进而求得结果.【详解】若，则，由，得，即，解得：（舍去）或；若，由，得，该方程无解.综上可知，，故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查分段函数方程的求解，注意分类讨论a的取值范围，根据分段函数的解析式代入解方程即可，考查计算能力，属于基础题.16．8【分析】根据给定条件，依次求出函数在上的最大值、最小值，再借助函数图象求解作答.【详解】上函数满足，当时，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，由得，，因此当时，恒成立，观察图象知，，则有，所以m的最小值是8.故答案为：8【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.17．(1)12(2)10【分析】（1）利用指数的性质和运算法则求解；（3）利用对数的性质及运算法则结合换底公式求解即可.【详解】（1）（3）.18．【答案】(1)(2)【分析】（1）对式子进行平方运算，即可得到答案；（2）根据向量垂直，数量积为0，即可得到答案；（1）（2），，，，，.19．【答案】解：函数是指数函数，，

，且，可得或舍去，

；

是奇函数，

证明如下：

由得，定义域为，关于原点对称，

又，

是奇函数；

由得，不等式即：，

所以，

，

故解集为

20.【答案】【分析】利用垂直向量的数量积为0可求的值.【详解】由已知得.由，知，即，所以，即当时，与垂直.21．(1)和(2)答案见解析．【分析】（1）由题知，进而解方程即可得答案；（2）根据题意，将问题转化为函数在上的图像与直线的交点个数，进而数形结合求解即可.【详解】（1）解：由，得，化简为，解得或，所以，或．所以，的零点为和．（2）解：由题意得，令，得，令，，则，所以在上的零点个数等于函数在上的图像与直线的交点个数．在上的图像如图所示．所以，当或时，在上的图像与直线无交点，所以，在上的零点个数为；当或时在上的图像与直线有个交点，所以，在上的零点个数为；当时，在上的图像与直线有个交点，所以，在上的零点个数为．综上，当或时，在上的零点个数为；当或时，在上的零点个数为；当时，在上的零点个数为．22.【答案】(1)最小正周期为，增区间为(2)【分析】（1）利用三角恒等化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的增区间；（2），数形结合可知函数与