湖南省浏阳一中2023年数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC中，．则的取值范围是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）2．如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．这15天日平均温度的极差为B．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C．由折线图能预测16日温度要低于D．由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数3．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为().A． B． C． D．4．已知圆与交于两点，其中一交点的坐标为，两圆的半径之积为9，轴与直线都与两圆相切，则实数（）A． B． C． D．5．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A． B．C． D．6．若,则下列不等式成立的是()A． B．C． D．7．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．88．给出函数为常数，且，，无论a取何值，函数恒过定点P，则P的坐标是A． B． C． D．9．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．10．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，且，则=_______.12．已知数列满足且，则____________．13．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.14．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积_____．15．已知向量，且，则___________．16．正六棱柱各棱长均为，则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若是各项均为正数的数列的前项和，且．（1）求，的值；（2）设，求数列的前项和．18．设向量，，.（1）若，求实数的值；（2）求在方向上的投影.19．已知关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）求函数的最小值.20．已知函数（1）解不等式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．21．已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求；（2）求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

试题分析：由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.考点：三角形中正余弦定理的运用.2、B【解析】

利用折线图的性质，结合各选项进行判断，即可得解．【详解】由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得：在中，这15天日平均温度的极差为：，故错误；在中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故正确；在中，由折线图无法预测16日温度要是否低于，故错误；在中，由折线图无法预测本月温度小于的天数是否少于温度大于的天数，故错误．故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．3、D【解析】

运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.【详解】因为，所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.4、A【解析】

根据圆的切线性质可知连心线过原点,故设连心线,再代入,根据方程的表达式分析出是方程的两根,再根据韦达定理结合两圆的半径之积为9求解即可.【详解】因为两切线均过原点,有对称性可知连心线所在的直线经过原点,设该直线为,设两圆与轴的切点分别为,则两圆方程为：,因为圆与交于两点,其中一交点的坐标为.所以①,②.又两圆半径之积为9,所以③联立①②可知是方程的两根,化简得,即.代入③可得,由题意可知,故.因为的倾斜角是连心线所在的直线的倾斜角的两倍.故,故.故选：A【点睛】本题主要考查了圆的方程的综合运用,需要根据题意列出对应的方程,结合韦达定理以及直线的斜率关系求解.属于难题.5、D【解析】

圆的圆心为O，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到，求出直线的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.【详解】设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：，因为，所以，因此直线的方程为，故本题选D.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式.6、B【解析】

利用不等式的性质，进行判断即可.【详解】因为，故由均值不等式可知：；因为，故；因为，故；综上所述：.故选：B.【点睛】本题考查均值不等式及利用不等式性质比较大小.7、D【解析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．8、D【解析】试题分析：因为恒过定点，所以函数恒过定点.故选D.考点：指数函数的性质.9、A【解析】

先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.【详解】由题得正方体的对角线长为，所以.故选A【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、D【解析】分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，所以中间一个矩形最该，故数据的众数为，而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，所以中位数是，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由的值及，可得的值，计算可得的值.【详解】解：由，且，由，可得，故，故答案为：.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，熟练掌握其基本关系是解题的关键.12、【解析】

由题得为等差数列，得，则可求【详解】由题：为等差数列且首项为2，则，所以．故答案为：2550【点睛】本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题13、.【解析】

由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的平均数为，所以该组数据的方差是.【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.14、.【解析】

由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．【详解】如图，∵正三棱锥A﹣BCD中，底面边长为，底面外接圆半径为侧棱长为2，BE=1,在三角形ABE中，根据勾股定理得到：高AE得到球心O到四个顶点的距离相等，O点在AE上，在直角三角形BOE中BO＝R，EOR，BE＝1，由BO2＝BE2+EO2，得R∴外接球的半径为，表面积为：故答案为．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.15、【解析】

把平方，将代入，化简即可得结果.【详解】因为，所以，，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.16、【解析】

根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.【详解】将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.，，，故从A沿正侧面和上表面到D1的路程最短为故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间几何体展形图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1，3；（2）.【解析】

（1）当时，，解得．由数列为正项数列，可得．当时，，又，解得．由，解得；（2）由．可得．当时，．当时，，可得．由．利用裂项求和方法即可得出．【详解】（1）当时，，解得．数列为正项数列，∴．当时，，又，解得．由，解得．（2），∴．∴．当时，．当时，．时也符合上式．∴．．故．【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18、（1）；（2）.【解析】

（1）计算出的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数的值；（2）求出和，从而可得出在方向上的投影为.【详解】（1），，，，，，解得；（2），，在方向上的投影.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.19、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用根与系数的关系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化简函数的解析式，利用基本不等式可以求出函数的最小值.【详解】解：（1）由题意知：，解得．（2）由（1）知，∴，而时，当且仅当，即时取等号而，∴的最小值为1．【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可；（2）将问题转化为恒成立的问题，通过基本不等式求得的最小值，则.【详解】（1）或所求不等式解集为：（2）当时，可化为：又（