小学数学建模的多重教学情境及其相互关系

小学数学建模的多重教学情境及其相互关系摘要：模型思想是数学学科重要的基本思想之一，小学建模教学需要符号具象、现实抽象、化繁为简、推理论证、语言生成等要素支撑。因此，数学建模教学要求教师创设具有生活性、相似性、挑战性等特性的多重教学情境，并厘清它们之间互联互转的关系，使之合理应用于课堂教学，从而激发学生学习数学的兴趣，形成初步的数学模型思想与相应的建模能力。关键词：小学数学建模 教学情境 相互关系 互相转化模型思想是数学学科重要的基本思想之一。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”[1]在小学阶段培养学生初步的模型思想和相应的建模能力，对于增强学生学习数学的兴趣和应用数学的意识具有重要意义。基于小学生的认知发展特点，在小学阶段，数学建模的过程是学生在教师预设的相关教学情境中，通过一定的活动，建立和应用数学模型，以此完成数学知识学习的过程。教学情境是指带有积极情感导向的、具象的、特定的教学环境和教学过程。运用教学情境开展教学，从方法论角度也称为“情境教学法”，有助于引导学生产生积极的学习情感，提升学生对数学建模的认知与理解。以下就小学数学建模的多重情境创设及其相互关系做解析。一、小学数学建模的多重教学情境（-）生活性情境生活性情境利用学生在生活中接触过或可能接触到的、比较好理解的素材导入建模教学。这样的素材呈现在建模课堂上，不但可以使学生感受到数学与生活的紧密联系，更能够大大降低学生对建模认知的阻抗系数。因此，生活性情境具有情感与认知的双重意义。教育心理学提示我们：学生年龄越小，其建立在生活经验之上的学习效率就越高。因为在前运算阶段，学生年龄越小，其心理图式就越呈图像式，也即所谓的“形象思维”，这是一种直接经验式的思维。教师利用生活情境，将数学建模知识融于经验式图像中，引导学生借助经验有效理解数学建模知识，进而逐步内化并抽象出数学建模。比如，当教学“接近整百整十数加减法的简便算法”时，如果仅仅列出“154-98=154—100+2”，学生一时可能难以理解。教师可以创设这样的“生活性教学情境”：妈妈带了154元钱，去医药商店买一盒98元的枸杞，准备给爷爷补身体。她付给营业员100元的钞票一张，找回2元。最终妈妈还剩多少钱？通过学生熟悉的生活场景，把抽象的数字转化为学生可以直接感知与理解的小金额商品，并顺利计算出得数：妈妈给商店1张100元的人民币，手上剩54元，又找回了2元，加在54元上，妈妈还剩56元。之后，在面对"154-98=154-100+2”这样的“接近整百整十数加减法”的简便计算题，学生就可以触类旁通，真正理解“接近整百整十数加减”时可以直接通过心算与口算得到正确的运算过程及答案，并归纳出更为抽象的数学模型：当b是一个接近整百的数b=100-/+c时，a-b=a-100+/-c。这时候，学生的现实抽象和语言生成能力等也得到了训练，他们接下来可以归纳出：接近整十的数先拟作整十数（多给的数后面扣还），方便进行加（减）；然后这个数再加（减）整十数与接近整十数的减法（扣还）的得数，这样就可以简便而有效地得到正确的计算结果。同理，借助生活情境对理解和掌握“接近整百整十数加减法的简便算”，如“154-102=154-100-2”的数理以及突破两者间的区别和联系也就水到渠成了。生活性情境多适用于数学建模知识的新授课。当新知识出现在课堂上，而相当一部分学生的认知基础又比较欠缺时，与其在抽象的理论上纠缠不清，不如创设亲切、直观的生活性教学情境，减少学生学习的阻力，使其增强信心，顺利完成新知识的学习。（二）相似性情境数学知识来源于自然与生活，自然与生活中诸多的相似性现象也会反映到数学上，与数学知识具有相似性。数学建模教学中，教师可以将新知识分解为几个学生学过的知识，对其进行重新组合或叠加，在这个过程中，学生面对分解后的知识，会感到似曾相识，其认知结构也就能够顺利地接纳新的知识，从而比较快地理解与掌握新的数学原理。这种情境我们称之为“相似性情境”。这种情境下的教学利用知识的可迁移性，大大降低了数学建模教学中新知识的学习难度。皮亚杰的发生认识论告诉我们：图式指的是某种经常出现的结构或组织在大脑中的反映，它可以引发迁移或者概括。相似性情境引发的是知识的迁移，这就是相似性情境教学的基本原理。比如，教学《平行四边形的面积》一课时，面积模型概念（格子图）和长方形面积计算公式模型（长方形图）对平行四边形面积的学习有正迁移作用，但如果迁移不当，也会起一定的负作用，使得学生因为思维干扰而产生“相邻两边相乘得到面积”的错误结论。因此，教师要做好充分的预设，创设相似性情境，利用学生的旧知，将平行四边形分割成若干个学生学过并已掌握计算方法的图形，引导学生顺利将新知识纳入已有旧知识系统中，真正理解“平行四边形的面积与它的底和高有关”这一单位面积累加的本质属性——这种情境教学能够激发学生的认知冲突，让学生通过自主操作解决问题，最终得出抽象概括结论。具体实施过程如下:图1课堂伊始，教师创设了一个“需要铺上多大的草坪？”的情境（图1）。这一情境激发了学生的认知冲突，课堂上出现了两种求平行四边形面积的方法（6x5或6*3），这正是学生对已有知识经验进行迁移的结果（但不一定是正确的结果）。两种认知冲突的路径创设为后面围绕冲突展开一系列建构活动一一“数方格，剪和拼，图形变式”奠定了认知基础。通过数方格以及剪拼（把平行四边形转化为长方形）等具体的操作活动，教师适时呈现大量的图像结果，借助推理，学生可以直观地理解，这个平行四边形其实是2个三角形与1个长方形的组合，组合的结果是组成一个新的长方形。像这样，学生在教师指导下迁移原有知识，利用旧知识完善新知识，经过迁移与组合，实现了对新知识的理解。学生能把多个集合图形的组合叙述清楚，并能大体理解与表述这样的数学建模内涵：“平行四边形面积其实就是一个个面积单位的累加”，从而自主完成“平行四边形”的模型建构，掌握计算方法，提高语言生成能力；而在这一过程中，学生初步掌握数学建模中“分割与组合”的思维方法论，有利于他们今后在学习中举一反三、触类旁通。相似性情境的主要特征在于“相似”，即分割后的新知识与学过的旧知识相似，让学生掌握数学模型新知识的过程变得比较顺利。它适用于教学某种意义上由旧知识组合而成的新知识，尤其适合几何图形的教学，因为几何图形之间容易互相转换，可以视为是其他图形的组合或叠加；它还适用于学生运用模型进行迁移，以解决“不同情境，相同本质”这一类型的问题，并将其巩固、运用到模型拓展的练习环节中。(三)挑战性情境在学生原有的建模知识与能力水平基础上，教师提出明显具有一定难度的问题，使学生在普遍感到有难度的同时，又不会觉得自己无法解决，而是经过思考后可以解开问题，这就是创设“挑战性情境”。即将建模教学的目标设在学生的最近发展区，让学生意识到学习的挑战，从而情绪激昂地谋求“跳一跳，摘果子”，它利用的是学习者好奇的天性与心理潜能。这样，学生的学习愿望与情感就会更强烈，探究思维就会自然而然地产生。在学习动力明显加强、学习情感浓厚的教学情境下，学习效率与教学质量也有望得到提升。以人教版数学六年级下册《数学思考》一课的教学为例，基于最近发展区理论，从创设问题情境开始，教师将本课需要建立的数学模型“两点连一条线段，N点就能连1+2+3+4+……+(N-1)，或N(N—1)；2条线段”融入情境中。原设题为：梧村小学六年级有6个班，每个班都组建一支足球队参加年级足球比赛。第一轮先进行循环赛，即每2支球队之间都要比一场，一共要进行多少场比赛？依据最近发展区理论创设挑战性情境，把题目调整为：思明区有48所学校，每所学校组建一支足球队参加足球比赛。如果第一轮先进行循环赛，即每2支球队之间都要比一场，一共要进行多少场比赛？情境调整后的题目的挑战性就在于：原设题目中，学生通过直观操作能够独立解决问题，难度不大；调整后的题目因数据变大，无法直观解题，为学生尝试进行符号化表达提出挑战。教师通过引导，促使一部分学生尝试运用建模思想，将数据化大为小，并在合作交流中探索蕴藏其中的规律，经历推理、抽象的过程，建立解决这一类问题的数学模型，最终使问题得以解决。其他学生也可以在观察、思考这部分学生的发言、解题与演示的过程中，得到思维的启迪，最终顺利掌握本课要学习的数学模型及其蕴含的数学思想。挑战性情境教学的主要特征是探究与自主，让学生在点燃对数学模型的认知欲望的情况下，自行或合作对模型新知进行认知探索，最终在教师的帮助下“跳起来”摘下“果子”。基于最近发展区的挑战性情境教学，依照学生的数学思维能力，衡量比较有难度的数学问题并将其放到课堂的教学过程中，让学生经历简化数据、化难为易，关联数据、抽象概括，推断数据、提炼问题等各个环节，将复杂问题抽象、简化为近似的或者本质相通的数学模型，从而获得数学建模的经验和方法，并达到完整的内化，以便在以后的学习中能够灵活应对各种难题，提升应用和解决问题的能力。二、多重教学情境的相互关系及其转化皮亚杰认为，儿童是在与环境的相互作用中发展认知结构的。当儿童个体的认知成功地作用于环境时，“同化”效应产生；当环境成功作用于儿童的认知时，“顺应”效应产生。在数学建模教学中创设情境，目的是促进学生的数学建模认知发生“同化”与“顺应”，无论是建模教学的“生活性情境”，还是“相似性情境”，或者是“挑战性情境”，都是如此。同时，我们还要认识到：这几种教学情境并非是孤立的、静止的，它们彼此互相连结、互相交叉。一个“生活性情境”，从数学经验迁移的角度看，何尝不是“迁移性情境”？对于未曾经历此种计算的学生，又何尝不是一种挑战？认识这些数学建模教学情境的相对性，对于灵活运用数学建模情境教学，提高建模教学质量具有重要意义。如果说数学是自然与生活的空间形式与数量关系的科学反映，数学建模的教学情境是互相连结的，那么我们也可以认为：数学建模教学情境相互之间的关系也是结构性的,它可以构成一个完整的三维结构（图2）。小学数学建模教学的课堂状况是动态的，各种教学情况随时都可能会发生。情境教学并非是一成不变的法宝或僵硬的套路，教师需要根据课堂教学状况妥当而巧妙地调整教学安排。数学建模三维教学情境结构图在这方面给我们启迪：它们彼此无法截然分割，每一维都是这个连结体不同侧面的表现，同时，它们在某些条件下又是可以相互转化的。比如，当挑战性情境里的数据过大而阻碍了学生的思考时，教师可以把过大的数据按比例调整为生活中学生可以直观把握的小数据，降低学生认知的难度。这时，挑战性教学情境就转化为生活性教学情境。而学生从转化为多个小数据的生活情境中探得规律，再根据知识迁移的原理，运用规律解决大数据问题时，预设的数学建模教学目标也就达成了。如本文第三部分所列举的挑战性情境问题，对于学生而言，直接转化为直观操作或图示是有一定困难的，但是在教师引导下，学生可以将数据化小，转化为一般的生活性情境问题，这样的小数据问题，借助直观图示是很容易解决的。而后教师可继续提出“能否从多个小数据问题的解决中寻找到解决此类问题的规律”，引导学生借助经验进行探索，从“2所、3所、4所学校……进行每2队比赛一场的循环赛，一共要打几场比赛？”的生活问题中，抽象出解决“2点、3点、4点……能连几条线段？”的数学问题。借助归纳推理，学生总结出“N点能连1+2+3+4+……+(N-1)条线段或N(N—1)；2”的数学模型，进而运用模型解决上述挑战性问题。运用知识的迁移可以使相关问题得以简化并解决，提升效率的同时也增进了学生数学学习的主动性。在这个过程中，学生不仅解决了问题，更积累了经验。在数学建模的相似性情境提出后，学生有时会遗忘以往的数学知识，导致难以顺利迁移。这时候教师也可以进行情境转化，把相似性教学情境转化为生活性情境，以减少学生认知的难度，推动学习的顺利进行。如本文第二部分呈现相似性情境后，教师引导思考，提出问题：“这个平行四边形的面积怎么计算？”并启发学生：“用什么方法能够解决这个问题？”此时，如果学生还不能够将已有的平行四边形转化为长方形进行探究，教师即可将此情境转化为“求这个长方形草地面积”的生活性情境，并提出几个问题让学生思考：“你现在能解决这个问题吗？为什么？”进而追问：“之前学习长方形的面积时我